équations trigonométriques du second degré

Trigonométrie
7a. Equations trigonométriques se ramenant au second degré.
Le but est à nouveau (voir équations simples) de revenir à une des équations de base (sin x =
sin a, …) puis de résoudre cette (ces) équation(s)
Exemples :
1) 4 cos² x - 4 cos x – 3 = 0 La question étant pour quelle valeur de l'angle x cette équation
est-elle vérifiée ?
Ce qui nous gène ici, c'est bien cos x.
Remplaçons-le par y : 4 y² - 4y – 3 = 0. Plus facile, non?
On effectue alors comme une équation du second degré.
Pour rappel : le 4 de 4y² représente le a
Le 4 de 4y représente le b
Le c est représenté par (-3)
Delta = b² - 4 ac  16 – 4.(4 x (–3)) = 16 – (-48) = 64. (Delta positif  2 solutions possibles)
y = - b +/- Rac(Delta)  - (-4) +/- Rac(64) = 4 +/- 8 = 12 / 8 = 3/2 ou –4 / 8 = -1/2
2 a 2 x 4 8
Donc y peut valoir –1/2 ou 3/2. Et donc cos x peut valoir –1/2 ou 3/2 (puisque y = cos x).
Mais nous savons que le cos est compris entre –1 et 1. Donc 3/2 (> 1) est impossible.
Donc il reste y = - ½ et donc cos x = - ½
Si on regarde dans la table page 8, on voit que ½ est le cosinus de l'angle 60°
Donc cos x = - cos 60° que nous pouvons convertir (voir équations simples) en cos 240°
Nous sommes donc revenus à une équation simple de type cos x =cos a.
Ecrivons cos x = cos 240° et résolvons avec x = a + k.360° ou x = 180° - a + K.360°
Donc x = 240° + k.360° ou x = 180° - 240° + k.360°
Solutions pour k = 0  x = 240° ou x = -120°
k = 1  x = 600° ou x = 240°
k = 2  x > 960° ou x = 600°
Retenons les solutions entre 0° et 360°, il reste x = 240° ou x = 120°
L'angle x vaut donc (120° ou 240°).

2) 3 tg²x – Rac(3).tgx = 0
Remplaçons tg x par y  3 y ² - Rac(3)y = 0
Mettons en évidence y  y(3 y – Rac(3)) = 0
Ce qui signifie que :
soit y = 0  tg x = 0 (puisque nous avons dit que y = tg x)
tg x = tg 0° (équation simple  x = a + k.180°)
Equation : x = 0° + k.180°
Solutions : si k = 0 x = 0°
si k = 1 x = 0° + 180° = 180°
si k = 2 x = 0° + 2.180° = 360°
soit (3y – Rac(3)) = 0  3y = Rac(3)
y = Rac(3)/3  tg x = Rac(3)/3
tg x = tg 30° (équation : x = a + k.180°)
Equation : x = 30° + k.180°
Solutions : si k = 0 x = 30°
si k = 1 x = 30° + 180° = 210°
si k = 2 x = 30° + 360° = 390°
donc les solutions entre 0° et 360° sont (0°, 30°, 180° et 210°)
3) 2sin²2x + 3 cos 2x = 0 (rappel = sin²2x + cos²2x = 1  sin²2x = 1 – cos²2x)
Donc on remplace sin²2x par (1 – cos²2x)  2(1-cos²2x) + 3 cos 2x = 0
2 – 2 cos²2x + 3 cos 2x = 0
Remplaçons cos 2x par y  2 – 2 y² + 3 y = 0
Rangeons l'équation -2y² + 3y + 2 = 0
Delta = b² - 4 ac  9 – 4.(-2.2) = 9 + 16 = 25
Y = (- b + Rac(Delta)) / 2a  (-3 + 5) / - 4 = -1/2
Y = (- b – Rac(Delta)) / 2a  (-3 – 5) / - 4 = 2 (Impossible car y = cos2x entre – 1 et +1)
 y = cos 2x = -1/2
½ = cos 60°  cos 2x = - cos60° ou cos 240°
Equation simple : cos 2x = cos 240° (x = a + k.360° ou x = -a + K.360°)
2x = 240° + k.360°  x = 120° + k.180°  x = 120°,300°, 480°
2x = - 240° + k.360°  x = -120° + k.180°  x = -120°, 60°, 240°, 420°
Les solutions retenues pour l'angle x sont : (60°, 120°, 240°, 300°)