équations trigonométriques du second degré
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Trigonométrie 7a. Equations trigonométriques se ramenant au second degré. Le but est à nouveau (voir équations simples) de revenir à une des équations de base (sin x = sin a, …) puis de résoudre cette (ces) équation(s) Exemples : 1) 4 cos² x - 4 cos x – 3 = 0 La question étant pour quelle valeur de l'angle x cette équation est-elle vérifiée ? Ce qui nous gène ici, c'est bien cos x. Remplaçons-le par y : 4 y² - 4y – 3 = 0. Plus facile, non? On effectue alors comme une équation du second degré. Pour rappel : le 4 de 4y² représente le a Le 4 de 4y représente le b Le c est représenté par (-3) Delta = b² - 4 ac 16 – 4.(4 x (–3)) = 16 – (-48) = 64. (Delta positif 2 solutions possibles) y = - b +/- Rac(Delta) - (-4) +/- Rac(64) = 4 +/- 8 = 12 / 8 = 3/2 ou –4 / 8 = -1/2 2a 2x4 8 Donc y peut valoir –1/2 ou 3/2. Et donc cos x peut valoir –1/2 ou 3/2 (puisque y = cos x). Mais nous savons que le cos est compris entre –1 et 1. Donc 3/2 (> 1) est impossible. Donc il reste y = - ½ et donc cos x = - ½ Si on regarde dans la table page 8, on voit que ½ est le cosinus de l'angle 60° Donc cos x = - cos 60° que nous pouvons convertir (voir équations simples) en cos 240° Nous sommes donc revenus à une équation simple de type cos x =cos a. Ecrivons cos x = cos 240° et résolvons avec x = a + k.360° ou x = 180° - a + K.360° Donc x = 240° + k.360° ou x = 180° - 240° + k.360° Solutions pour k = 0 x = 240° ou x = -120° k = 1 x = 600° ou x = 240° k = 2 x > 960° ou x = 600° Retenons les solutions entre 0° et 360°, il reste x = 240° ou x = 120° L'angle x vaut donc (120° ou 240°). 2) 3 tg²x – Rac(3).tgx = 0 Remplaçons tg x par y 3 y ² - Rac(3)y = 0 Mettons en évidence y y(3 y – Rac(3)) = 0 Ce qui signifie que : soit y = 0 tg x = 0 (puisque nous avons dit que y = tg x) tg x = tg 0° (équation simple x = a + k.180°) Equation : x = 0° + k.180° Solutions : si k = 0 x = 0° si k = 1 x = 0° + 180° = 180° si k = 2 x = 0° + 2.180° = 360° soit (3y – Rac(3)) = 0 3y = Rac(3) y = Rac(3)/3 tg x = Rac(3)/3 tg x = tg 30° (équation : x = a + k.180°) Equation : x = 30° + k.180° Solutions : si k = 0 x = 30° si k = 1 x = 30° + 180° = 210° si k = 2 x = 30° + 360° = 390° donc les solutions entre 0° et 360° sont (0°, 30°, 180° et 210°) 3) 2sin²2x + 3 cos 2x = 0 (rappel = sin²2x + cos²2x = 1 sin²2x = 1 – cos²2x) Donc on remplace sin²2x par (1 – cos²2x) 2(1-cos²2x) + 3 cos 2x = 0 2 – 2 cos²2x + 3 cos 2x = 0 Remplaçons cos 2x par y 2 – 2 y² + 3 y = 0 Rangeons l'équation -2y² + 3y + 2 = 0 Delta = b² - 4 ac 9 – 4.(-2.2) = 9 + 16 = 25 Y = (- b + Rac(Delta)) / 2a (-3 + 5) / - 4 = -1/2 Y = (- b – Rac(Delta)) / 2a (-3 – 5) / - 4 = 2 (Impossible car y = cos2x entre – 1 et +1) y = cos 2x = -1/2 ½ = cos 60° cos 2x = - cos60° ou cos 240° Equation simple : cos 2x = cos 240° (x = a + k.360° ou x = -a + K.360°) 2x = 240° + k.360° x = 120° + k.180° x = 120°,300°, 480° 2x = - 240° + k.360° x = -120° + k.180° x = -120°, 60°, 240°, 420° Les solutions retenues pour l'angle x sont : (60°, 120°, 240°, 300°)
