Exercice - Google Groups

E.N.I.T
Série d’exercices N°1
Exercice1 :
Dans une population, il y a 60% d’hommes et 40% de femmes.
80% des hommes fument et 70% des femmes fument.
1) Quelle est la proportion de fumeurs dans la population ?
2) On tire au hasard une personne de la population. Quelle est la probabilité que ce soit
un homme sachant que la personne tirée fume ?
Exercice 2 :
Dans la coupe de Tunisie de football, une équipa E de première division estime qu’elle
gagnera si elle rencontre une équipe de seconde division et qu’elle a une chance sur deux de
gagner si c’est une équipe de première division. Sachant que la proportion d’équipes de
seconde division engagée en coupe est p, calculer la probabilité que E ait rencontré une
équipe de seconde division, sachant qu’elle a remporté le match.
Exercice 3 :
La proportion réelle des électeurs votant pour le candidat A est p. Au cours d’un sondage,
un électeur qui va réellement voter pour le candidat A répond honnêtement avec la probabilité
90%. Ceux qui ne voteront pas pour A répondent honnêtement à 95%.
1) Calculer en fonction de p la probabilité q pour qu’un électeur, pris au hasard, réponde
qu’il va voter pour A.
2) En déduire en fonction de p la probabilité r pour qu’un électeur, pris au hasard, vote
réellement pour A sachant qu’il a répondu qu’il vote pour A.
Exercice 4 :
On considère trois étudiants qui passent un examen de fin d’année, et on note les
événements suivant, pour i=1,2,3.
Soit les événements Ai : « L’événement n°i est Admis »
Ri : « L’étudiant n°i est refusé »
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Connaissant leurs résultats et leur travail pendant l’année, on retient les probabilités suivantes
P( A1 )=0.8
1) Calculer P( R i )
P( A2 )=0.9
P( A3 )=0.2
i=1,2,3.
2) On admet que les événements A1 , A2 , A3 sont indépendants.
Calculer la probabilité des événements suivants :
E1 : Les trois étudiants sont admis
E2 : Aucun des étudiants n’est admis
E3 : Un seul est admis
Exercice 5 :
Un livre contient 5 erreurs. A chaque relecture, la probabilité pour une faute d’être corrigé
est de 1/3. On effectue plusieurs relectures indépendantes. Quel est le nombre de relectures
nécessaires pour qu’il ne reste aucune faute avec une probabilité supérieure à 0,9 ?
Exercice 6:
Si A et B sont deux événements indépendants, alors A et B sont indépendants, A et B sont
indépendant et A et B sont indépendants.
Déduire l’équivalence :
A et B indépendants
P(A∩ B).P( A  B )  P( A  B ).P( A  B)
Exercice 7 :
Une maladie M affecte un français sur mille. On dispose d’un test sanguin qui détecte M avec
une fiabilité de 99% lorsque cette maladie est effectivement présente. Cependant, on obtient
un résultat faussement positif pour 0,2% saines testées. Quelle est la probabilité qu’une
personne soit réellement malade lorsqu’elle a un test positif ?
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E.N.I.T
Série d’exercices N°2
Exercice 1 :
Lors d’une enquête on a interrogé 5 hommes et 3 femmes. On choisit au hasard et sans
remise les personnes une à une jusqu’à obtention d’un homme.
Soit X la v.a.r. égale au nombre de tirages nécessaires. Donner la loi de X.
Exercice 2 :
Une pièce de monnaie fait Pile avec une probabilité p. on la lance n fois. Soit X le nombre
de Pile obtenus. Donner la loi de X et vérifier que l’on a bien une loi de probabilité.
Exercice 3 :
On jette 5 dés. Après le premier lancer, on reprend et on lance les dés qui n'ont pas donné
de six, jusqu'à ce qu'on obtienne 5 six. Soit X le nombre de lancers nécessaires.
Calculer P(X <= n) puis P(X = n) pour tout n Є N*.
Exercice 4 :
On considère le jeu suivant : le joueur paie 3 euros pour jouer. Ensuite, il lance trois dés
équilibrés. Pour chaque "Pile" qu’il obtient, il gagne 2 euros.
On désigne par X le nombre de "Pile" obtenus et par Y le gain (algébrique) du joueur.
1. Exprimer Y en fonction de X:
2. Donner la loi de X puis calculer E(X) et V (X):
3. Déterminer E(Y ) et V (Y ): Le joueur est-il gagnant en moyenne ?
4. Expliciter la loi de Y
Exercice 5 :
On tire, au hasard et sans remise, 5 cartes d’un jeu de 32 cartes.
Soit X le nombre de rois obtenus
1. Déterminer la loi de X et son espérance.
2. Un jeu consiste à miser 2 euros et à recevoir a > 0 euros par roi obtenu.
Soit GX la variable aléatoire égale au gain en euro.
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(a) Exprimer GX en fonction de X et de a et calculer l’espérance de GX
(b) Pour quelles valeurs de a le jeu est-il favorable au joueur ?
(c) Donner la loi de GX
Exercice 6 :
On considère une pièce telle que la probabilité d’obtenir "pile" est p Є ]0; 1[\{1/2}:
On lance indéfiniment la pièce et on note T la variable égale au nombre de lancers nécessaires pour obtenir, pour la première fois, la séquence PF.
1. Calculer les probabilités P(T = 2); P(T = 3) et P(T = 4):
n2
2. Justifier que  n > 2; P(T = n) =
q
k 1
p n  k 1
k 0
En déduire que  n 2; P(T = n) =
pq
p n 1  q n 1
p q
3. Justifier que T admet une espérance et la calculer.
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E.N.I.T
Génie civil
Octobre 2007
Lois de probabilité usuelles
Exercice 1
Soit X une v.a. de densité f définie par f(x) = 0 si x < 0 et f(x) = x.exp(-x2/2) sinon.
1. Vérifier f est une densité de probabilité.
2. Montrer que Y = X2 est une v.a. à densité, dont on précisera la loi.
3. Calculer l'espérance et la variance de Y
Exercice 2
On prend un échantillon de 1000 pièces. Il y a 995 pièces dont le poids est inférieur à
700g et 750 pièces dont le poids est supérieur à 620g.
Si le poids X de ces pièces suit une loi normale, déterminer les paramètres de cette loi.
Exercice 3
Une société de textile développe son activité en créant des représentations dans les petites
villes et en les confiant à un commerçant de vêtements. On remarque que :
La durée moyenne de recherche du représentant est de 38 jours
Il y a 47% de chances que la recherche dure entre 28 et 48 jours
1/ Si la durée de recherche du représentant est une v.a. qui suit une loi normale, quels sont les
paramètres de cette loi.
2/ En tenant compte du fait que le représentant, une fois sélectionné, suit une formation de 30
jours, quelle est la probabilité que le représentant ne soit pas prêt pour l’implantation du
produit qui est prévu 78 jours après le début des recherches.
Exercice 4 :
La note obtenue par les étudiants à un examen est variable normale de moyenne 7,4 et
d’écart type 3. Calculer :
1/ Le pourcentage d’étudiants ayant plus de 10.
2/ La note en dessous de laquelle se trouvent 10% des étudiants
Compte tenu de ces résultats, on décide de revaloriser l’ensemble des notes par une
transformation linéaire y=ax+b.
Quelles valeurs doit on donner à a et b pour que les valeurs précédentes passent
respectivement à 50% et à 7 ?
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Exercice 5
On considère la fonction f définie par
¼ - λx2
si x € [-1,1], λ € R
f(x)=
0
sinon
1/ Déterminer λ pour que f soit une densité de probabilité
2/ Soit X une v.a de densité f. Calculer E(X) et V(x).
Exercice 6
1. Dans la journée, un métro passe toutes les 6 minutes à la station n°14.
Soit X le temps d'attente d'une personne à cette station. On suppose que X suit la loi uniforme
sur [0 ; 6].
Quelle est la probabilité que cette personne attende entre 3 et 5 minutes ?
2. On suppose que la durée de vie X d'une voiture suit une loi exponentielle de paramètre 0,1.
(de densité f(x)=0,1.exp(-0,1.x) si x ≥0 et 0 sinon)
a. Calculer la probabilité qu'une voiture dépasse 10 ans de durée de vie
b. On sait qu'une voiture a duré déjà 10 ans.
Quelle est la probabilité qu'elle dépasse 12 ans de durée de vie ?
c. Comparer le résultat précédent avec la probabilité que la durée de vie de la voiture dépasse
deux ans.
Exercice 7
Un usager de métro effectue régulièrement 100 voyages/mois en 1ère classe. On admet
qu’à chacun de ses voyages, cet usager a une chance sur dix d’être contrôlé. Soit X le nombre
de fois où l’usager est contrôlé pendant un mois.
1/ Quelle est la loi de X, en déduire E(X) et V(X).
2/Montrer que l’on peut approximer la loi de X par la loi normale dont on précisera les
paramètres. Calculer alors P(X < 4) et P(X > 16)
3/ On suppose que cet usager fraude systématiquement en voyageant en première classe avec
un billet de seconde. La différence entre les prix des billets de première et de seconde place
est de 150 millimes, mais à chaque contrôle l’usager doit payer une amende a.
a/ Appelons B le bénéfice fait par l’usager pendant un mois grâce à cette fraude.
Quelle est la loi de B.
b/ Déterminer le montant minimum a0 de l’amende qu’il faudrait infliger à l’usager
pour que celui-ci ait 95% de chances d’être perdant à la fin du mois.
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Exercice 8
Un examen par questions à choix multiples comporte 10 questions, pour les quelles sont
offertes 5 réponses possibles. Un candidat répond absolument au hasard. Quelle est
l’espérance mathématique du nombre de réponses correctes ? La variance ?
S’il faut 6 bonnes réponses pour être admis, quelle est sa probabilité de succès ?
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E.N.I.T
Génie civil
Novembre 2007
Vecteurs aléatoires
Exercice 1 :
On lance une pièce de monnaie 3 fois. Soit X la variable aléatoire égale à 1 si « le coté
face obtenu au 3ème jet » et 0 sinon. Soit Y la var désignant le nombre total de face (obtenu
dans les 3 jets).
1/ Déterminer la loi du couple (X,Y), en déduire les lois marginales de X et de Y.
2/ X et Y sont elles indépendantes ? Sinon calculer leur coefficient de corrélation.
3/ Soit Z = X+Y, déterminer la loi de Z, déduire son espérance et sa variance.
Exercice 2 :
Soient X et Y 2 variables aléatoires réelles telles que :
Pour tout x  {1,2,3,4}, P(X=x) = x/a.
Pour tout y  {1,2,3,4}, P(Y=y) = y/b.
X et Y sont indépendantes.
1/ Trouver les valeurs adéquates de a et b.
2/ Déterminer la loi du couple (X,Y).
3/ Dresser le tableau de la loi de la variable Z=X .Y.
4/ Calculer E(Z) et V(Z).
Exercice 3 :
On suppose que la loi du couple de variables (X, Y) et donnée par le tableau suivant :
X\Y -1
1
0
a
1/2 -a
1
2/3 -a a-1/6
Où a est un paramètre réel.
1/ Déterminer les lois marginales de X et de Y.
2/ Calculer le coefficient de corrélation linéaire entre X et Y.
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3/ Pour quelle(s) valeurs(s) de a les variables X et Y sont elles indépendantes.
4/ Soit la variable aléatoire Z=
X
.
Y
a/ Déterminer la loi de Z.
b/ Quelle est la loi du couple (X,Z).
c/ X et Z sont elles indépendantes pour la ou les valeurs de a déterminés à 3/.
Exercice 4 :
On dispose de deux dés :
un dé cubique D1 comporte 1 face marquée 0, 3 faces marquées 2, 2 faces marquées 1. un dé
D2 comportant 3 faces marquées 0, 2 faces marquées 1, 1 face marquée 2.
1. On lance le dé D1 et on note X1 le nombre obtenu.
Déterminer la loi de X1 son espérance, sa variance.
2. Mêmes questions pour X2 le nombre obtenu en lançant le dé D2:
3. On lance D1 et D2 simultanément,
(a) Calculer l’espérance de Z = X1 + X2 et de T = X1 - X2.
(b) Déterminer la loi de Z, de T et de R = X1X2.
Exercice 5:
Soient X et Y 2 variables aléatoires indépendantes telles que :
E(X)=1
E(Y)=-1
V(X)=2
V(Y)=3
On pose Z=2X+3Y-5 et T=-2X+3Y+5.
1/ Déterminer E(Z) et V(Z) et V(T) en déduire V(Z2) et E(T2).
2/ Déterminer Cov(Z,T), en déduire E(ZT) et
 (Z,T).
Exercice 6
On considère deux variables X et Y telles que X(Ω) = Y (Ω) = IN* et
pour tout i, j dans IN*; P(X = i ∩ Y = j) = pi+1(1- p)j + (1 - p)i+1pj :
1. Donner les lois de X et de Y.
2. Montrer que X et Y admettent des espérances et expliciter E(X) et E(Y ).
3. Justifier que la variable X(X - 1) admet une espérance et la calculer.
En déduire V (X). Procéder de même avec Y.
4. Si p =1/2 ; montrer que X et Y sont dépendantes (utiliser P(X = 1 ∩ Y = 1))
5. Montrer que X et Y sont indépendantes lorsque p =1/2.
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Exercice 7
Soient a et b deux réels tels que 0 < a < 1 et 0 < b < 1:
On effectue une suite d’expériences aléatoires consistant à jeter simultanément deux pièces de
monnaie notées A et B. On suppose que ces expériences sont indépendantes et qu’à chaque
expérience les résultats des deux pièces sont indépendants. On suppose que, lors d’une
expérience, la probabilité que la pièce A donne "pile" est a; et que la probabilité que la pièce
B donne "pile" est b.
Soit X le nombre d’expériences qu’il faut réaliser avant que la pièce A donne "face" pour la
première fois, et Y le nombre d’expériences qu’il faut réaliser avant que la pièce B donne
"face" pour la première fois.
1. Quelles sont les lois de probabilités de X et de Y ? Calculer E(X).
2. Calculer la probabilité de l’évènement (X = Y). Interprétation.
3. Trouver, pour k dans IN, la valeur de P(X > k). En déduire les probabilités P(X >Y) et
P(X ≥ Y).
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