II. Limites de fonctions de référence

Chapitre … : Les Limites
I – LIMITE EN UNE POINT
Déterminer lim f ( x) c’est examiner les valeurs f (x) d’une fonction f lorsque x est proche
x a
d’une valeur a, sans pour cela l’atteindre.
Exemple :
x3  3x 2
Soit f la fonction définie sur …………… par f  x  
2x  6
La fonction f n’est pas définie pour x = 3. En
indéterminée 0/0.
Dans les tableaux ci-contre figurent quelques
valeurs de la fonction pour des valeurs de x
proches de 3.
Il semble que plus x est proche de 3 plus f (x)
prend des valeurs proches de 4,5. Cependant
on ne peut pas être certain de ce résultat
puisque seule quelques valeurs ont été
calculées.
x 2  x  3
Or
f  x 
x3
x2
f ( x)  .
2
2  x  3
et
effet si on remplace x par 3 on obtient la forme
x
f(x)
2,9
4,205000...
2,99
4,470050...
2,999
4,497000...
2,9999 4,499700...
2,99999 4,499970...
2,999999 4,499997...
x
f(x)
3,1
4,805000...
3,01
4,530050...
3,001
4,503000...
3,0001 4,500300...
3,00001 4,500030...
3,000001 4,500003...
9
pour
8
7
6
5
La courbe représentative de la fonction f est une parabole privée du
point de coordonnées ( 3 ; 4,5).
Graphiquement quand x est proche de 3, f (x) prend des valeurs
proches de 4,5.
Dans ce cas on écrit que lim f ( x)  4,5 . Cela signifie que nous
x 3
4
3
2
1
-5
0
-1 0
5
pouvons rendre f (x) aussi proche de 4,5 que l’on veut en choisissant une valeur de x suffisamment
proche de 3 et x  3.
La notion de proximité est employée ici dans le sens intuitif, ce n’est que lors d’études ultérieures
que cette notion sera définie mathématiquement.
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NOTATION
lim f ( x) = L
x a
SIGNIFICATION INTUITIVE
ILLUSTRATION GRAPHIQUE
On peut rendre f (x) proche de L
en choisissant une valeur de x
suffisamment proche de a et x  a.
L
y= f(x)
x
lim f ( x) = L
x a 
( limite à gauche)
On peut rendre f (x) proche de L
en choisissant une valeur de x
suffisamment proche de a et x < a.
a
y= f(x)
L
x
lim f ( x) = L
x a 
( limite à droite)
x
a
On peut rendre f (x) proche de L
en choisissant une valeur de x
suffisamment proche de a et x > a.
y= f(x)
L
x
a
II. LIMITES DE FONCTIONS DE REFERENCE (Résultats admis)
f (x)  x² définie sur IR
lim f
x  
( x)  
lim f
x  
( x)  
g (x)  1 définie sur ] – , 0[  ] 0, + [
x
lim g ( x)  0
lim g ( x)   
lim g ( x)  0
lim g ( x)   
x  
x  
h ( x ) = x 3 définie sur IR
lim h ( x)  
x  
lim h ( x)  
x  
x 0
x0
x 0
x0
k (x)  x définie sur IR +
lim k ( x)   
x  
lim k ( x)  0
x 0
x0
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Ces limites interviennent comme éléments d’expressions plus compliquées. Beaucoup de fonctions
sont des sommes des produits et des quotients d’autres fonctions.
Si f et g sont des fonctions, L et M des nombres réels tels que lim f ( x)  L et lim g ( x)  M
x a
x a
on peut s’attendre à ce que lim f ( x)  g ( x)  L  M . Les théorèmes suivants (admis)
x a
établissent les règles usuelles de calculs sur les limites.
III. OPERATIONS SUR LES LIMITES
Dans tous les théorèmes de ce paragraphe  désigne un nombre réel,
des nombres réels.
1. Limite de la somme de deux fonctions.
L
L
L
Si f a pour limite en 
M
Si g a pour limite en 
+ 
L+M
Alors f + g a pour limite en 
+ 
ou +  ou  , L et M sont
+
+
+



+

À ETUDIER
Exemple :
Quelle est la limite en +  de la fonction f définie sur ] 0 ; + [ par f ( x )  x 
2
1
?
x
2. Limite du produit de deux fonctions.
Si f a pour limite en 
Si g a pour limite en 
Alors f  g a pour limite en 
L
M
LM
L 0





0

À ETUDIER
Pour déterminer le signe de la limite du produit f  g on utilise la règle des signes.
Exemple :
 1  1 ?

x 
Quelle est la limite en +  de la fonction f définie sur ] 0; + [ par f ( x )  x 
2
3. Limite du quotient de deux fonctions.
L
Si f a pour limite en 
Si g a pour limite en 
M0
L0
0



M
f
a pour limite en 
g
L
À ETUDIER


M
f
Pour déterminer le signe de la limite du quotient
on utilise la règle des signes.
g
Alors
0
0
À ETUDIER
Exemple :
Quelle est la limite en 1 de la fonction f définie sur ] 1; + [ par f ( x) 
x
3
1 x
2
?
IV.FORMES INDETERMINEES
Nous avons quatre cas de formes indéterminées «    » ; « 0 » ; «

0
» ; « ». Lorsqu’on
0

rencontre l’une de ces formes une étude particulière s’impose car tout peut arriver.
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Exemple 1 :
3x 4  6 x 2  1
Déterminer la limite en + de la fonction définie sur ]1;+[ par f ( x) 
1  x5
2
1 
2
1 


3x 4 1  2  4  3 1  2  4 
4
2
3x  6 x  1
x
3x 
x
3x 

Pour tout réel x non nul

 
5
1
1
1 x


 x5 1  5 
 x 1  5 
x 
x 


1
2
1 
3


Or lim 1  2 
 1 et lim 1  5   1 d’où lim f ( x)  lim 

4
x 
x 
x 
x
x 
x
3x 
x


Donc lim f ( x)  0
x
Exemple 2 :
x2  1
Déterminer la limite en 1 de la fonction définie sur ]1;+[ par f ( x) 
1 x
2
x  1  x  1 x  1
Pour tout réel x  1

   x  1
1 x
1 x
Or lim  x  1  2 d’où lim f ( x)  2
x 1
x1
1. Limite en l’infini d’une fonction polynôme
a) Théorème
Soit n un entier naturel non nul et an, an 1, …, a1, a0 des réels avec an  0.
La limite en +  (resp. en  ) de la fonction polynôme :
x  anxn + an 1 xn 1 + … + a1x + a0
est égale à la limite en +  (resp. en  ) de la fonction : x  anxn
b) Démonstration
Soit f (x) = anxn + an 1 xn 1 + … + a1x + a0 un polynôme de degré n
Pour tout réel x  0 :

a 
a1
 0 n .
n 1
an x
an x 

a
a
Or la limite en +  (ou en  ) de chacun des termes n1 ; ; 0 n est égale à 0.
an x
an x
anxn + an 1 xn 1 + … + a1x + a0 = an x  1 
n

D’où lim 1 
x  

an1

an x

a
a1
 0n
n 1
an x
an x
an1

an x


n
  1 et la limite de f(x) est celle de anx

2. Limite en l’infini d’une fonction rationnelle
A) THEOREME
Soit n et p des entiers naturels non nuls an, an 1, …, a1, a0 et bp, bp 1, …, b1, b0 des
réels avec an  0 et bp  0
La limite en +  (resp. en  ) de la fonction rationnelle :
x
an x n  an 1 x n 1 
 a1 x  a0
bp x p  bp 1 x p 1 
 b1 x  b0
an x n
est égale à la limite en +  (resp. en  ) de la fonction : x 
bp x p
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b) Démonstration
V.LIMITE D’UNE FONCTION COMPOSEE
THEOREME (ADMIS)
, m et L désignent des nombres réels ou +  ou  
Si lim u ( x)  m et lim v( x)  L alors lim v u ( x)  L
x 
xm
x 
Exemple
Soit f la fonction définie sur ……….. par f ( x)  x  x  2
f peut s’écrire sous la forme v o u avec u(x) =…………. et v(x) =………….
lim f(x) = ………
2
x…
VI.LIMITE PAR COMPARAISON
THEOREME (ADMIS)
 désigne un nombre réel ou +  ou  . f et g sont deux fonctions définies sur un
intervalle I.
Si pour tout réel x de l’intervalle I , f(x)  g(x) et lim g ( x)    alors lim f ( x)   
x 
x 
Exemple
Soit f la fonction définie sur …….. par f ( x)  9 x  1  2 x
pour tout réel positif x , 9x 2 + 1  9x 2
donc …………………………………….
ainsi pour tout réel positif x f (x)  ………… et lim f ( x)   
2
x  
THEOREME (ADMIS)
 désigne un nombre réel ou +  ou  . f et g sont deux fonctions définies sur un
intervalle I.
Si pour tout réel x de l’intervalle I f(x)  g(x) et lim g ( x)   alors lim f ( x)  
x 
x 
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THEOREME DES GENDARMES
 désigne un nombre réel ou +  ou  . L désigne un réel.
f , g et h sont des fonctions définies sur un intervalle I.
Si pour tout réel x de l’intervalle I f(x)  h(x)  g(x) et lim f ( x)  lim g ( x)  L alors
x 
x 
lim h( x)  L
x 
Exemple
2
utilisons le théorème pour montrer que lim x sin
x 0
1
0
x2
 1 sin   1 pour tout réel  d’où 1  sin
1
1
x2
pour x  0, x 2  0 donc………………………………..
Cette double inégalité implique que la courbe d’équation
y  x 2 sin
1
x2
se trouve entre les paraboles d’équations
y = ……… et y = ………….
lim x 2  0 et lim x 2  0 donc lim x 2 sin
x 0
x 0
x 0
1
0
x2
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FEUILLE D’EXERCICES SUR LES LIMITES
EXERCICE 1
Soit P(x) = x 2 + x – 6 et Q(x) = 2 x 2 – 3 x – 2 deux polynômes.
1. Résoudre P(x) = 0 et Q(x) = 0. En déduire une factorisation de P(x) et Q(x).
2. Soit f la fonction définie sur ] 2 ; +  [ par f (x) =
x²  x  6
. Déterminer lim f ( x ) et
2 x ²  3x  2
x2
x2
lim f ( x) .
x 
EXERCICE 2
Déterminer les limites suivantes :
lim
x 4
1
4  x
3
lim  x3  2 x  5 
3x  1
x  x 2  3 x
2x  5
x   x 2  6 x  9
lim  2  3x 2  x3 
3x 2  1
lim
x x 2  3x
1
lim
2
x  
x 1
2 x3  5
lim
x  x 2  6 x  9
lim
x  
lim  x 4  2 x  1
x  
x  
1  2 x3
lim
x  x 4  6 x  9
x2  1
lim
x  
 x2  2 x  1 
lim 

2
x 1
 x 1 
2x 

lim  x 

x 1 
x 1
lim
2 x2
x  
4x  1
 x 1 
lim  2

x  x  1


lim
 x 1 
lim  2

x 1  x  1 
EXERCICE 3
3x  1
x 2  3x
Soit f la fonction définie sur l’intervalle I = ] 0 ; 3[ par f ( x) 
1. Etudier le signe de f sur l’intervalle I.
2x  5
x 3 x  6 x  9
2. Etudier les limites de f aux bornes de l’intervalle lim
EXERCICE 4
Soit f la fonction définie sur
\ 3 par f ( x) 
2
2x  5
x  6x  9
2
1. Etudier le signe de f.
2. Etudier les limites de f aux bornes du domaine de définition.
EXERCICE 5
On
considère
les
fonctions
f
et
g
respectivement
x 1
x
et g ( x) 
x
x 1
1. Calculer lim f ( x), lim g ( x) et en déduire lim g
définies
sur
*
et
\ 1 par
f ( x) 
x  
x 1
x  
f ( x)
2. Calculer lim f ( x), lim g ( x), lim g ( x) et en déduire lim g
x 
1
2
x  1
x  1
x  1
x  1
x 
1
2
f ( x)
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f ( x) et retrouver les limites de g
Calculer g
f en +  et 
1
2
EXERCICE 6
On donne une fonction u définie sur ] 0 ; +  [ et telle que pour tout x [ 1 ; +  [, 0  u(x)  x.
Soit f la fonction définie sur ] 0 ; +  [ par : f ( x)  1 
Montrer que si x  1, f ( x)  1 
u ( x)
.
x2
1
. Que peut-on en déduire sur la limite de f en +  ?
x
EXERCICE 7
Les courbes Cg et Cu représentent respectivement la fonction g définie sur ………. et une
fonction u définie sur ] 4 ; +  [.
Cu
6
4
O
Cg
O
2
4
6
2
On considère la fonction composée f  u  g définie sur ]
1
; 2 [  ] 3 ; +  [.
2
Déterminer graphiquement : f (1).
Déterminer graphiquement : lim f ( x) ; lim f ( x ) et lim f ( x ) .
x  
x 2
x2
x 3
x3
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