II. Limites de fonctions de référence

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Chapitre … : Les Limites
I – LIMITE EN UNE POINT
Déterminer
lim ( )
xa
fx
c’est examiner les valeurs f (x) d’une fonction f lorsque x est proche
d’une valeur a, sans pour cela l’atteindre.
Exemple :
Soit f la fonction définie sur …………… par
32
3
26
xx
fx x
La fonction f n’est pas définie pour x = 3. En effet si on remplace x par 3 on obtient la forme
indéterminée 0/0.
Dans les tableaux ci-contre figurent quelques
valeurs de la fonction pour des valeurs de x
proches de 3.
Il semble que plus x est proche de 3 plus f (x)
prend des valeurs proches de 4,5. Cependant
on ne peut pas être certain de ce résultat
puisque seule quelques valeurs ont été
calculées.
Or
23
23
xx
fx x
et pour
2
3 ( ) 2
x
x f x
.
La courbe représentative de la fonction f est une parabole privée du
point de coordonnées ( 3 ; 4,5).
Graphiquement quand x est proche de 3, f (x) prend des valeurs
proches de 4,5.
Dans ce cas on écrit que
3
lim ( ) 4,5
xfx
. Cela signifie que nous
pouvons rendre f (x) aussi proche de 4,5 que l’on veut en choisissant une valeur de x suffisamment
proche de 3 et x  3.
La notion de proximité est employée ici dans le sens intuitif, ce n’est que lors d’études ultérieures
que cette notion sera définie mathématiquement.
x
f(x)
x
f(x)
2,9
4,205000...
3,1
4,805000...
2,99
4,470050...
3,01
4,530050...
2,999
4,497000...
3,001
4,503000...
2,9999
4,499700...
3,0001
4,500300...
2,99999
4,499970...
3,00001
4,500030...
2,999999
4,499997...
3,000001
4,500003...
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
-5 0 5

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NOTATION
SIGNIFICATION INTUITIVE
ILLUSTRATION GRAPHIQUE
lim ( )
xa
fx
= L
On peut rendre f (x) proche de L
en choisissant une valeur de x
suffisamment proche de a et x  a.
lim ( )
xafx
= L
( limite à gauche)
On peut rendre f (x) proche de L
en choisissant une valeur de x
suffisamment proche de a et x < a.
lim ( )
xafx
= L
( limite à droite)
On peut rendre f (x) proche de L
en choisissant une valeur de x
suffisamment proche de a et x > a.
II. LIMITES DE FONCTIONS DE REFERENCE (Résultats admis)
²)( xxf 
définie sur IR
lim ( )
xfx
lim ( )
xfx
x
xg 1 )( 
définie sur ] – , 0[  ] 0, + [
0
0
0
0
lim ( ) 0 lim ( )
lim ( ) 0 lim ( )
xx
x
xx
x
g x g x
g x g x
h ( x ) = x 3 définie sur IR
lim ( )
xhx
lim ( )
xhx
xxk )(
définie sur IR +
0
0
lim ( ) lim ( ) 0
xx
x
k x k x
x
a
L
y= f(x)
L
y= f(x)
x
x
a
x
a
L
y= f(x)

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Ces limites interviennent comme éléments d’expressions plus compliquées. Beaucoup de fonctions
sont des sommes des produits et des quotients d’autres fonctions.
Si f et g sont des fonctions, L et M des nombres réels tels que
lim ( ) et lim ( )
x a x a
f x L g x M
on peut s’attendre à ce que
lim ( ) ( )
xa
f x g x L M
. Les théorèmes suivants (admis)
établissent les règles usuelles de calculs sur les limites.
III. OPERATIONS SUR LES LIMITES
Dans tous les théorèmes de ce paragraphe  désigne un nombre réel, ou +  ou  , L et M sont
des nombres réels.
1. Limite de la somme de deux fonctions.
Si f a pour limite en 
L
L
L
+ 
+ 
Si g a pour limite en 
M
+ 
+ 
Alors f + g a pour limite en 
L + M
+ 
+ 
À ETUDIER
Exemple :
Quelle est la limite en +  de la fonction f définie sur ] 0 ; + [ par
21
()f x x x
?
2. Limite du produit de deux fonctions.
Si f a pour limite en 
L
L 0
0
Si g a pour limite en 
M
Alors f  g a pour limite en 
L  M
À ETUDIER
Pour déterminer le signe de la limite du produit f  g on utilise la règle des signes.
Exemple :
Quelle est la limite en +  de la fonction f définie sur ] 0; + [ par
21
( ) 1f x x x
?
3. Limite du quotient de deux fonctions.
Si f a pour limite en 
L
L  0
0
Si g a pour limite en 
M  0
0
M
0
Alors
f
g
a pour limite en 
L
M
À ETUDIER
À ETUDIER
Pour déterminer le signe de la limite du quotient
f
g
on utilise la règle des signes.
Exemple :
Quelle est la limite en 1 de la fonction f définie sur ] 1; + [ par
3
2
() 1
x
fx x
?
IV.FORMES INDETERMINEES
Nous avons quatre cas de formes indéterminées «    » ; « 0 » ; « » ; «
0
0
». Lorsqu’on
rencontre l’une de ces formes une étude particulière s’impose car tout peut arriver.

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Exemple 1 :
Déterminer la limite en + de la fonction définie sur ]1;+[ par
42
5
3 6 1
() 1
xx
fx x
Pour tout réel x non nul
4
42 2 4 2 4
5555
2 1 2 1
3 1 3 1
3 6 1 33
11
111
x
xx x x x x
xxx
xx
Or
24
21
lim 1 1
3
xxx
et
5
1
lim 1 1
xx
d’où
3
lim ( ) lim
xx
fx x
Donc
lim ( ) 0
xfx
Exemple 2 :
Déterminer la limite en 1 de la fonction définie sur ]1;+[ par
21
() 1
x
fx x
Pour tout réel x  1
211
11
11
xx
xx
xx
Or
1
lim 1 2
xx
d’où
1
lim ( ) 2
xfx
1. Limite en l’infini d’une fonction polynôme
a) Théorème
Soit n un entier naturel non nul et an, an 1, …, a1, a0 des réels avec an  0.
La limite en +  (resp. en  ) de la fonction polynôme :
x anxn + an
1 xn
1 + … + a1x + a0
est égale à la limite en +  (resp. en  ) de la fonction : x  anxn
b) Démonstration
Soit f (x) = anxn + an 1 xn
1 + … + a1x + a0 un polynôme de degré n
Pour tout réel x  0 :
anxn + an 1 xn
1 + … + a1x + a0 =
10
11
1
nn
nnn
n n n
aa
a
ax a x a x a x
.
Or la limite en +  (ou en  ) de chacun des termes
10
;;
nn
nn
aa
a x a x
est égale à 0.
D’où
10
11
lim 1 1
nnn
xn n n
aa
a
a x a x a x
et la limite de f(x) est celle de anxn
2. Limite en l’infini d’une fonction rationnelle
A) THEOREME
Soit n et p des entiers naturels non nuls an, an 1, …, a1, a0 et bp, bp 1, …, b1, b0 des
réels avec an  0 et bp  0
La limite en +  (resp. en  ) de la fonction rationnelle :
1
1 1 0
1
1 1 0
nn
nn
pp
pp
a x a x a x a
xb x b x b x b
est égale à la limite en +  (resp. en  ) de la fonction :
n
np
p
ax
xbx

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b) Démonstration
V.LIMITE D’UNE FONCTION COMPOSEE
THEOREME (ADMIS)
, m et L désignent des nombres réels ou +  ou  
Si
lim ( )
xu x m
et
lim ( )
xm
v x L
alors
lim ( )
xv u x L
Exemple
Soit f la fonction définie sur ……….. par
2
( ) 2f x x x  
f peut s’écrire sous la forme v o u avec u(x) =…………. et v(x) =………….
lim
x  … f(x) = ………
VI.LIMITE PAR COMPARAISON
THEOREME (ADMIS)
désigne un nombre réel ou +  ou  . f et g sont deux fonctions définies sur un
intervalle I.
Si pour tout réel x de l’intervalle I , f(x)  g(x) et
lim ( )
xgx
alors
lim ( )
xfx
Exemple
Soit f la fonction définie sur …….. par
2
( ) 9 1 2f x x x  
pour tout réel positif x , 9x 2 + 1  9x 2
donc …………………………………….
ainsi pour tout réel positif x f (x)  ………… et
lim ( )
xfx
THEOREME (ADMIS)
désigne un nombre réel ou +  ou  . f et g sont deux fonctions définies sur un
intervalle I.
Si pour tout réel x de l’intervalle I f(x)  g(x) et
lim ( )
xgx
alors
lim ( )
xfx