corrigé activité 8 : grille interprétation des productions de l`adulte

Avril 2016 Formation Mathématique-FBD
Corrigé intégrant des pistes de solutions
Rappel de l’énoncé du problème :
À vol d’avion !
Dans le but d’illustrer le concept de vitesse relative (vitesse perçue au sol) aux apprentis
pilote d’avion, les instructeurs proposent la situation suivante :
Un avion, de type Dash 8-400, quitte l’aéroport de Montréal pour l’aéroport de Gaspé avec
une vitesse aérodynamique de 467 km/h dans la direction de 36,87o nord-est.
Si l’avion maintient sa vitesse constante et est soumis à des vents de 90 km/h dans la
direction de 71,44o nord-ouest, déterminer la vitesse relative de l’avion.
Appropriation de la situation
Dans cet énoncé, la compréhension du contexte est nécessaire.
L’adulte doit donc comprendre que la vitesse ici cherchée est la vitesse perçue au sol.
Il peut esquisser la situation dans un plan cartésien ou non. Cette esquisse peut être à
l’échelle ou non.
Lorsqu’un objet semble avoir un mouvement selon un premier
observateur, mais un mouvement différent selon un deuxième
observateur, on dit qu’il s’agit de mouvement relatif parce que les
observateurs font partie de systèmes de référence différents. La vitesse
vectorielle d’un objet en fonction d’un système de référence s’appelle la
vitesse vectorielle relative ou vélocité relative.
INFOS POUR L’ENSEIGNANT : Dans les avions, les navigateurs
utilisent des termes précis pour certains concepts de la vélocité
relative. La vitesse aérodynamique est la vitesse d’un avion par
rapport  l’air. La vitesse du vent est la vitesse du vent par
rapport au sol. La vitesse par rapport au sol est la vitesse de
l’avion par rapport au sol. Le cap est l’orientation de l’avion.
la vitesse de l’avion par rapport
au sol. Le cap est l’orientation de l’avion. La route est la trajectoire par rapport  la
Terre ou au sol. Sur la mer, les navigateurs utilisent de la mme faon les termes «cap»
et «route».

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Un premier vecteur,  pourra représenter la vitesse, le sens et la direction de l’appareil
par rapport à l’air.
Un second vecteur  représentera la vitesse, le sens et la direction du vent par rapport à
la terre (au sol).
L’interprétation du sens du vecteur peut semer confusion. La direction «36,87o nord-est»
signifie 36,87o au nord de l’est. L’angle est donc défini à partir de l’axe des x positifs vers le
nord.
De même, la direction «71,44o nord-ouest» signifie 36,87o au nord de l’ouest.
Modélisation de la situation dans le plan cartésien et à l’aide de vecteurs
Une représentation par mise bout à bout des vecteurs a été retenue ici (triangle vectoriel). Il
serait aussi possible de proposer une représentation du parallélogramme vectoriel.

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L’adulte doit comprendre que la recherche de la vitesse relative revient à chercher le
vecteur résultant par l’addition des vecteurs  et  .
= +  .
Différentes méthodes sont alors possibles pour résoudre le problème :
 Résolution par déductions à l’aide d’une représentation vectorielle à l’échelle.
 Résolution par déductions à utilisant la trigonométrie
 Résolution par une méthode algébrique s’appuyant sur les composantes des
vecteurs.
La première n’est pas exposée dans ce corrigé. Il serait assez simple de l’appliquer en
prenant la représentation fournie ci-bas. Il suffirait de rechercher l’échelle respectée dans
la représentation, d’utiliser la règle pour mesurer le vecteur «vitesse relative» pour ensuite
lui appliquer le coefficient de proportionnalité trouvé.
Méthode par analyse de la représentation vectorielle dans le plan et déductions
Pour déterminer le vecteur vitesse relative  :
 On déduit l’angle défini par les deux
vecteurs   et  .
o Un raisonnement possible est de reconnaître
l’angle correspondant en P à l’angle de
36,87o. Par la suite, par angles opposés par le
sommet en P, on trouvera que
 = 36,87 o +71,44 o = 108,31 o
 À l’aide de la loi des cosinus, on déduit la norme de «vitesse relative » :
o (vitesse_relative)2 = 4672+902-2(467)(90)cos(108,31)
= 218 089+8100 +26 408,13
vitesse_relative = 502,59km/h
 Par observation du vecteur résultat, on identifie sens.
vitesse_relative = 502,59km/h nord-est

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 À l’aide de la loi des cosinus, on déduit l’angle du vecteur :
902 = 4672+502,592-2(467)(502,69)cos
=9,85 o
vitesse_relative = 502,59km/h, 46,7 o nord-est
Méthode algébrique s’appuyant sur les composantes des vecteurs.
 Soit  , le vecteur de l’appareil par rapport à l’air.
 Soit  , le vecteur du vent par rapport au sol (terre).
 Définissons ces vecteurs à partir de leurs composantes :
o  = (373,59 ; 280,26) ;
o  = (-28,65 ; 85,32) ;
 Par addition, on déduit les composantes du vecteur «vitesse_relative» :
o (373,59-28,65 ; 280,26+85,32)
o (344,94; 365,58)
 En utilisant la relation de Pythagore, on déduit la norme du vecteur
«vitesse_relative» = 502,6km/h
 À l’aide du rapport de la tangente, on déduit l’angle :
o Tan    
o   
Vitesse_relative = 502,59km/h, 46,66 nord-est

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Grille d’interprétation des productions de l’adulte
Activité sur les vecteurs
Compétence 1 : Utiliser des stratégies de résolution de situations-problèmes
Critère 1.1 Manifestation, oralement ou par écrit, d’une compréhension adéquate de la situation-
problème
Ce critère mesure la capacité de l’adulte à cerner ce qui est cherché en s’appuyant sur l’énoncé de
la question et à dégager les renseignements pertinents en tenant compte des contraintes
nécessaires au traitement mathématique de la situation.
 Tient compte qu’il y trois vecteurs en jeu (vitesse de l’avion, vitesse du vent et la
vitesse relative cherchée) ;
 Tient compte des directions et du sens des vecteurs vent et vitesse de l’avion ;
 Interprète correctement l’angle des vecteurs en lien avec la rose des vents;
 Saisit qu’il doit déterminer le vecteur vitesse relative ;
 Autre.
Critère 1.2 Mobilisation de stratégies et de savoirs mathématiques appropriés à la situation-
problème.
Ce critère mesure la capacité de l’adulte à utiliser des stratégies pertinentes pour sélectionner des
savoirs adéquats dans le but de résoudre le problème.
 Représente à l’échelle ou non, la situation dans un plan cartésien ou non
Les vecteurs pourront être mis bout à bout ou définis sur une même origine.
 Situe correctement les angles définissant la direction des vecteurs ;
 S’il a représenté à l’échelle les deux vecteurs dans un plan cartésien, il définit les
composantes de vecteurs par lecture de celles-ci ;
 Distingue les vecteurs en définissant des composantes différentes ;
 Construis un triangle ou un parallélogramme vectoriel ;
 Identifie les mesures des angles et des côtés du triangle qui sont connues et
compare ces mesures des angles et des côtés du triangle connues en vue de
déterminer un moyen permettant de trouver les mesures manquantes
 Autre.