5 Limite en l`infini d`une fonction polynôme

Première S2 Chapitre 7 : feuilles annexes. Page n ° 1
2007 2008
1 Limite en l'infini d'une fonction polynôme.
f ( x ) = -3x² + 15x + 50.
Soit x  0 alors f ( x ) = - 3x²  [ 1 + (
²x3x15
) + (
²x3
50
) ] = - 3 x² ( 1  5
x 
²x3
50
).
Or
xlim
( - 3 x² ) = -  et
xlim
( 1 ) = 1 et
xlim
(- 5
x ) = 0 et
xlim
( -
²x3
50
) = 0.
Donc
xlim
( 1  5
x 
²x3
50
) = 1 et par conséquent
xlim
f ( x ) = - .
2 Limite en l'infini d'une fonction rationnelle.
f ( x ) =
2x3 1x2 
Soit x  0 et x  2
3 alors f ( x ) =
x3
2
1x3 x2
1
1x2
= - 2
3 
x3
2
1x2
1
1
.
Or
xlim
( - 2
3 ) = - 2 3 et
xlim
( 1 ) = 1 et
xlim
( - 1
2x ) = 0 et
xlim
( - 2
3x ) = 0.
Donc
xlim
x3
2
1x2
1
1
= 1 et
xlim
f ( x ) = - 2
3 .
3 Limites de fonctions en un point.
Autres notations :
0xlim
1
x = + 
0xlim
1
x =  
axlim
ax1
= + 
f ( x ) =
3x 4x3 
3  ( - 3 ) + 4 = - 9 + 4 = - 5.
Trouver la limite de f en - 3 à droite cela signifie rechercher la limite de f lorsque x tend vers - 3 et x > -3.
Or si x > - 3 alors x + 3 > 0
Donc
3x 3xlim
( x + 3 ) = 0 donc
3x 3xlim
3x1
= +  d'après le théorème sur la limite de l'inverse d'une fonction.
Or
3x 3xlim
3x + 4 = - 5 donc
3x 3xlim
f ( x ) =   d'après le théorème sur la limite du produit de deux fonctions.

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5 Asymptotes horizontale et verticale.
Premier exemple :
Soit la fonction f définie sur ] 0 ; +  [ par f ( x ) = 1
x + 9,2.
Trouvons une équation de l'asymptote horizontale à la courbe de f.
xlim
1
x = 0 et
xlim
9,2 = 9,2.
D'après le théorème sur la limite de la somme de deux fonctions,
xlim
f ( x ) = 9,2.
Cela signifie que lorsque x tend vers + , la courbe de f se rapproche de la droite d'équation y = 9,2.
Donc une équation de l'asymptote horizontale à la courbe de f est y = 9,2.
Deuxième exemple :
Soit la fonction f définie sur ] 1 ; +  [ par f ( x ) = - 2 +
)²1x( 1
.
Trouvons une équation de l'asymptote verticale à la courbe de f. Traçons une allure de la courbe de f.
1x 1x
lim
- 2 = - 2 et
1x 1x
lim
)²1x( 1
= +  donc
1x 1x
lim
f ( x ) = + 
Lorsque x tend vers 1 par valeurs supérieures, la courbe de f se rapproche de la droite d'équation x = 1.
Donc une équation de l'asymptote verticale à la courbe de f est x = 1.

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6 Asymptote oblique.
Soit la fonction f définie sur ] 0 ; +  [ par f ( x ) = -x + 3 +
²x
1
.
Trouvons une équation de l'asymptote oblique à la courbe de f.
xlim
²x
1
= 0 et
xlim
²x
1
= 0
Posons g ( x ) =
²x
1
pour tout x  0.
Alors la fonction f est donnée par l'expression f ( x ) = -x + 3 + g ( x ) avec
xlim
g ( x ) = 0 et
xlim
g ( x ) = 0.
Donc au voisinage de +  ( et de   ) la courbe de f se rapproche de la droite d'équation y = - x + 3.
Une équation de l'asymptote oblique à la courbe de f est donc y = - x + 3.