Exercice 8 (France métropolitaine – Septembre 2000)

Exercice 1 (Nouvelle-Calédonie – novembre 2003)
L’espace est rapporté à un repère orthonormal
k , j , i ; O
; on considère les points
A(3 ; 0 ; 10) , B(0 ; 0 ; 15) et C(0 ; 20 ; 0).
1. a. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (AB)
b. Montrer que la droite (AB) coupe l’axe des abscisses au point E(9 ; 0 ; 0).
c. Justifier que les points A, B et C ne sont pas alignés.
2. Soit H le pied de la hauteur issue de O dans le triangle OBC.
a. Justifier que la droite (BC) est perpendiculaire au plan (OEH). En déduire que (EH) est
la hauteur issue de E dans le triangle EBC.
b. Déterminer une équation cartésienne du plan (OEH).
c. Vérifier que le plan (ABC) admet pour équation cartésienne :
20x + 9y + 12z – 180 = 0.
d. Montrer que le système :
0 180 - 12z 9y 20x
0 3z -4y
0 x
a une solution unique. Que représente cette solution ?
e. Calculer la distance OH, en déduire que EH = 15 et l’aire du triangle EBC.
3. En exprimant de deux façons le volume du tétraèdre OEBC, déterminer la distance du
point O au plan (ABC).
Pouvait-on prévoir le résultat à partir de l’équation obtenue en 2. c. ?
QUELQUES EXERCICES PÊLE-MÊLE …

Exercice 1
1. a. Soit M un point de l’espace, de coordonnées (x, y, z). M est un point de la droite (AB) si, et seulement
si, les vecteurs
ABet AM
sont colinéaires, c’est-à-dire si, et seulement si, il existe un réel t tel que :
5t 10 - z
0 y
3t - 3 -x
AB t AM
.
Donc
b. L’axe des abscisses est caractérisé par le système d’équations
0 z
0 y
. La droite (AB) et l’axe des
abscisses sont sécants si, et seulement si, le système
0 z
10 5t z
0 y
3t - 3x
où t , admet un triplet (x, y, z) solution.
La résolution de ce système montre qu’il est encore équivalent à
0 z
2 - t
0 y
3t - 3x
. Autrement dit,
c. Les points A, B et C ne sont pas alignés si, et seulement si, les vecteurs
ACet AB
ne sont pas
colinéaires. Ces deux vecteurs ont pour coordonnées respectives (- 3, 0, 5) et (- 3, 20, - 10).
On constate qu’il n’existe pas de réel k vérifiant simultanément : - 3 = - 3k et 0 = 20k et 5 = - 10k.
Par conséquent, les points A, B et C ne sont pas alignés.
2. a. Le point E est situé sur l’axe des abscisses (cf. la question 1. b.) donc la droite (OE) est l’axe de repère
i ; O
. On en déduit que, le repère étant orthonormal, la droite (OE) est perpendiculaire au plan de repère
k , j ; O
, plan auquel appartiennent les points B et C puisque ceux-ci se trouvent respectivement sur les
axes de repère
k ; O
et
j ; O
. Sachant que la droite (OE) est orthogonale à toute droite du plan de repère
k , j ; O
, on en déduit, en particulier que : (OE)  (BC).
Par ailleurs, (OH)  (BC) car, par hypothèse, H est le pied de la hauteur issue de O dans le triangle OBC.
Ainsi, la droite (BC) est orthogonale à (OE) et (OH) qui sont deux droites sécantes du plan (OEH).
On peut donc conclure que :
On en déduit alors que la droite (BC) est orthogonale à toute droite de ce plan et, en particulier :
(BC)  (EH).
Donc
une représentation paramétrique de la droite (AB) est :
10 5t z
0 y
3t -3 x
où t 
la droite (AB) coupe l’axe des abscisses au point E de coordonnées (9 ; 0 ; 0).
la droite (BC) est perpendiculaire au plan (OEH).
(EH) est la hauteur issue de E dans le triangle EBC.

b. La droite (BC) étant orthogonale au plan (OEH),
BC
, de coordonnées (0, 20, - 15), est un vecteur
normal au plan (OEH). Celui-ci a donc une équation de la forme : 20y – 15z + d = 0 où d = 0 car O est un
point du plan (OEH).
En conclusion,
c. Les points A, B et C n’étant pas alignés (cf. la question 1. c.), ils déterminent un plan unique.
On s’assure que les coordonnées respectives de ces trois points vérifient bien l’équation donnée dans
l’énoncé : 203 + 1210 – 180 = 0 et 1215 – 180 = 0 et 920 – 180 = 0.
En conséquence
d. Le système à résoudre est encore équivalent à :
z
4
3
y
équations dernièresdeux les membre à membrent additionnaen 240 25z
0 x
3
4
par t multiplianen 240 16z 12y
3 -par t multiplianen 0 9z 12y -
0 x
180 12z 9y
0 3z -4y
0 x
En observant que x = 0 est une équation cartésienne du plan de repère
k , j ; O
, que 4y – 3z = 0 est une
équation cartésienne du plan (OEH) (cf. la question 2. b.) et enfin, que 20x + 9y + 12z – 180 = 0 est une
équation cartésienne du plan (ABC), le triplet solution du système donne les coordonnées du point seul point
commun à ces trois plans.
Donc
e. Le triangle OBC est rectangle en O. Son aire est donc égale à :
22015 2OCOB 
.
On peut aussi calculer l’aire de ce triangle en écrivant :
215 20OH 2BCOH 22 
.
En écrivant l’égalité entre ces deux calculs d’aire on obtient :
1015
225OH 
 OH =
25 21015 
.
Donc
De même, le triangle OEH est rectangle en O. En lui appliquant la propriété de Pythagore on obtient :
EH2 = OE2 + OH2  EH =
22 12 9 
car EH est une longueur.
Tous calculs faits on obtient :
une équation cartésienne du plan (OEH) est : 4y – 3z = 0.
le plan (ABC) a pour équation cartésienne 20x + 9y + 12z – 180 = 0.
le point de coordonnées
5
48
;
5
36
; 0
est le point d’intersection des trois plans.
OH = 12.
EH = 15.

L’aire du triangle EBC s’écrit alors :
22515 2BCEH 
car (EH) est la hauteur issue de E dans le triangle
EBC (cf. la question 2. a.).
Ainsi,
3. Le volume V du tétraèdre OENC peut s’écrire :
3
1
aire de OBCOE ou
3
1
aire de EBCOK, K
désignant le projeté orthogonal de O sur le plan (EBC). En égalisant ces deux calculs, on obtient :
1509 =
2
375
OK  OK =
375 29150 
.
Les points A, E, B et C sont coplanaires donc K désigne aussi le projeté orthogonal de O sur le plan (ABC).
Donc OK est la distance de O à ce plan.
En conclusion
La formule donnant la distance du point O au plan (ABC) peut se déduire directement d’une équation
cartésienne du plan. Une équation du plan (ABC) ayant été donnée dans la question 2. c. on peut calculer la
distance de O à ce plan :
5
36
25
180
625
180
12 9 20
180
222 
ce qui confirme le résultat précédent.
l’aire du triangle EBC est égale à
2
375
.
la distance de O au plan (ABC) est égale à
5
36
.

Exercice 3
Le plan est rapporté à un repère orthonormal
j , i O;
.
On note I le point de coordonnées (1 ; 0).
Soit f une fonction positive, strictement croissante et dérivable sur [0 ; 1], C sa courbe
représentative dans le repère
j , i O;
et  la portion de plan comprise entre C , l’axe des
abscisses et les droites d’équations x = 0 et x = 1.
Le but du problème est de prouver l’existence d’un unique réel  appartenant à l’intervalle
[0 ; 1] tel que, si A est le point de C d’abscisse , le segment [IA] partage  en deux régions
de même aire.
Pour tout x appartenant à l’intervalle [0 ; 1], on note Mx le point de coordonnées (x ; f(x)) et
Tx le domaine délimité par la droite (IMx), l’axe des abscisses, l’axe des ordonnées et la
courbe C .
On désigne par F la fonction définie sur [0 ; 1] par F(x) =
 x
0 f(t)dt
et par g(x) l’aire de Tx.
(Le schéma figure sur les feuilles d’exercices)
1) Exprimer, pour tout x appartenant à l’intervalle [0 ; 1], g(x) en fonction de x, f(x) et F(x).
2) Démonstration de cours : Démontrer que F est dérivable et a pour dérivée f.
3) Etudier les variations de la fonction g : x g(x) sur [0 ; 1].
4) a) Par des considérations d’aire, montrer que g(0) 
1
0 f(t)dt
2
1
.
b) Montrer qu’il existe un unique réel  de [0 ; 1] tel que g() soit égal à la moitié de
l’aire de .