Spécialité Terminale S IE4 Bézout - Fermat S1 2011

Spécialité Terminale S IE4 Bézout - Fermat S1 2011-2012
1
Exercice 1 : /4
1) Soit p ∈ V , p premier.
A l'aide du petit théorème de Fermat, démontrer que, pour tout n ∈ W , on a :
n
p
 n [p].
2) a) Montrer que pour tout n ∈ W , n
13
– n est divisible par 546.
b) En déduire l'ensemble des entiers relatifs n tels que n
13
– n soit divisible par 1 092.
Exercice 2 : /6
1) On considère l’équation (E) dans W ² :
8x + 5y = 1
a) Donner une solution particulière de (E).
b) Résoudre l’équation (E).
2) Soit N un entier naturel tel qu’il existe un couple (a ;b) de nombres entiers vérifiant :
N = 8a + 1
N = 5b + 2
a) Montrer que (a ;-b) est solution de (E).
b) Quel est le reste dans la division de N par 40 ?
3) a) Résoudre dans W ² l’équation (E’) :
8x + 5y = 100
b) Au VIII
e
siècle, un groupe d’hommes et de femmes a dépensé 100 pièces de monnaie dans une
auberge. Les hommes ont dépensé 8 pièces chacun et les femmes 5 pièces chacune.
Combien pouvait-il y avoir d’hommes et de femmes dans le groupe ?

Spécialité Terminale S IE4 Bézout - Fermat S2 2011-2012
2
Exercice 1 : /4
1) Soit p ∈ V , p premier.
A l'aide du petit théorème de Fermat, démontrer que, pour tout n ∈ W , on a :
n
p
 n [p].
2) a) Montrer que pour tout n ∈ W , n
13
– n est divisible par 546.
b) En déduire l'ensemble des entiers relatifs n tels que n
13
– n soit divisible par 1 092.
Exercice 2 : /6
1) On considère l’équation (E) dans W ² :
11x + 8y = 1
a) Donner une solution particulière de (E).
b) Résoudre l’équation (E).
2) Soit N un entier naturel tel qu’il existe un couple (a ;b) de nombres entiers vérifiant :
N = 11a + 3
N = 8b + 2
a) Montrer que (-a ;b) est solution de (E).
b) Quel est le reste dans la division de N par 88 ?
3) a) Résoudre dans W ² l’équation (E’) :
11x + 8y = 200
b) Au VIII
e
siècle, un groupe d’hommes et de femmes a dépensé 200 pièces de monnaie dans une
auberge. Les hommes ont dépensé 8 pièces chacun et les femmes 11 pièces chacune.
Combien pouvait-il y avoir d’hommes et de femmes dans le groupe ?

Spécialité Terminale S IE5 Nombres premiers entre eux - Bézout S1 2011-2012
CORRECTION
3
Exercice 1 : /4
1) Soit p ∈ V , p premier.
A l'aide du petit théorème de Fermat, démontrer que, pour tout n ∈ W , on a :
n
p
 n [p].
2) a) Montrer que pour tout n ∈ W , n
13
– n est divisible par 546.
b) En déduire l'ensemble des entiers relatifs n tels que n
13
– n soit divisible par 1 092.
1) Si p divise n alors n
p
– n  0 [p] donc n
p
 n [p].
Si p ne divise pas n, alors n et p sont premiers entre eux, alors d'après le petit théorème de
Fermat n
p-1
 1 [p]; donc p | divise n
p-1
– 1; donc p divise n(n
p-1
– 1) donc n
p
 n [p].
2) a) n
13
– n  0 [13] car 13 est premier.
n
13
– n = (n
7
– n)(n
6
+ 1)
= n(n
3
– 1)(n
3
+ 1)(n
6
+ 1)
= (n² - n)(n² + n + 1)(n
3
+ 1)(n
6
+ 1)
Or n
7
- n  0 [7], n² - n  0 [2], n
3
– n  0 [3].
Donc 2, 3, 7 et 13 sont des diviseurs de n
13
– n.
On en déduit que 2×3×7×13 = 546 divise n
13
– n car ces quatre entiers sont premiers entre
eux.
b) n
13
– n = (n² - n)(n² + n + 1)(n
3
+ 1)(n
6
+ 1).
1096 = 2×2×274
On sait que 2 divise n
2
– n, il faudrait donc que 2 divise (n² + n + 1)(n
3
+ 1)(n
6
+ 1).
Or si n est impair, les trois facteurs sont pairs et si n est pair les trois facteurs sont
pairs.
Conclusion : n
13
– n est divisible par 1092 si n est impair ou si n est divisible par 4.
Exercice 2 : /6
1) On considère l’équation (E) dans W ² :
8x + 5y = 1
a) Donner une solution particulière de (E).
b) Résoudre l’équation (E).
2) Soit N un entier naturel tel qu’il existe un couple (a ;b) de nombres entiers vérifiant :
N = 8a + 1
N = 5b + 2
a) Montrer que (a ;-b) est solution de (E).
b) Quel est le reste dans la division de N par 40 ?
3) a) Résoudre dans W ² l’équation (E’) :
8x + 5y = 100
b) Au VIII
e
siècle, un groupe d’hommes et de femmes a dépensé 100 pièces de monnaie dans une
auberge. Les hommes ont dépensé 8 pièces chacun et les femmes 5 pièces chacune.
Combien pouvait-il y avoir d’hommes et de femmes dans le groupe ?
1) a) Remarque préliminaire : comme 5 et 8 sont premiers entre eux, le théorème de Bézout
assure que l’équation (E) a des solutions.
On peut utiliser l’algorithme d’Euclide pour déterminer une solution particulière.

Spécialité Terminale S IE5 Nombres premiers entre eux - Bézout S1 2011-2012
CORRECTION
4
Une solution évidente est (x ;y) = (2 ;-3).
En effet, 8×2 + 5×(-3) = 16 – 15 = 1
c) Soit (x ;y) une solution de l’équation (E).
On a :
8x + 5y = 1
8×2 + 5×(-3) = 1
Par soustraction, on obtient l’équation : 8(x – 2) + 5(y + 3) = 0
Ou encore 8(2 – x) = 5(y + 3)
Donc 8 divise 5(y + 3).
Or 8 et 5 sont premiers entre eux ; donc selon le théorème de Gauss, 8 divise y + 3.
Il existe donc un entier relatif k tel que y = -3 + 8k
On a alors : 8(2 – x) = 5×8k
Soit x = 2 – 5k
Réciproquement pour tout entier relatif k :
Si x = 2 – 5k et y = -3 + 8k alors 8x + 5y = 16 – 40k -15 + 40k = 1
Les couples solutions de l’équation (E) sont donc de la forme (x ;y) = (2 – 5k ;-3 + 8k) avec k
entier relatif.
2) a) On a N = 8a + 1 = 5b + 2
Donc : 8a + 5×(-b) = 1
Donc le couple (a ;-b) est bien solution de l’équation (E).
b) Comme le couple (a ;-b) est solution de (E), on a d’après la question 1) :
a = 2 – 5k et b = 3 – 8k avec k entier relatif.
On a alors : N = 5b + 2 = 15 -40k + 2 = 17 – 40k
On en déduit que le reste de la division euclidienne de N par 40 est 17.
3) a) Une solution particulière de (E’) est (200 ;-300).
Les solutions de (E’) sont de la forme (x ;y) = (200 – 5k ;-300 + 8k)
b) Les solutions positives en x et y impose les contraintes suivantes pour k :
200 – 5k ≥ 0 et -300 + 8k ≥ 0
Soit : 300
8 ≤ k ≤ 200 5 soit k = 38 ou 39 ou 40
Soient les couples (10 ;4) ou (5 ;12) ou (0 ;20)
Il y avait donc(3 possibilités) :
• 10 hommes et 4 femmes
• ou bien 5 hommes et 12 femmes
• ou bien aucun homme et 20 femmes.

Spécialité Terminale S IE5 Nombres premiers entre eux - Bézout S2 2011-2012
CORRECTION
5
Exercice 1 : /4
3) Soit p ∈ V , p premier.
A l'aide du petit théorème de Fermat, démontrer que, pour tout n ∈ W , on a :
n
p
 n [p].
4) a) Montrer que pour tout n ∈ W , n
13
– n est divisible par 546.
b) En déduire l'ensemble des entiers relatifs n tels que n
13
– n soit divisible par 1 092.
3) Si p divise n alors n
p
– n  0 [p] donc n
p
 n [p].
Si p ne divise pas n, alors n et p sont premiers entre eux, alors d'après le petit théorème de
Fermat n
p-1
 1 [p]; donc p | divise n
p-1
– 1; donc p divise n(n
p-1
– 1) donc n
p
 n [p].
4) a) n
13
– n  0 [13] car 13 est premier.
n
13
– n = (n
7
– n)(n
6
+ 1)
= n(n
3
– 1)(n
3
+ 1)(n
6
+ 1)
= (n² - n)(n² + n + 1)(n
3
+ 1)(n
6
+ 1)
Or n
7
- n  0 [7], n² - n  0 [2], n
3
– n  0 [3].
Donc 2, 3, 7 et 13 sont des diviseurs de n
13
– n.
On en déduit que 2×3×7×13 = 546 divise n
13
– n car ces quatre entiers sont premiers entre
eux.
b) n
13
– n = (n² - n)(n² + n + 1)(n
3
+ 1)(n
6
+ 1).
1096 = 2×2×274
On sait que 2 divise n
2
– n, il faudrait donc que 2 divise (n² + n + 1)(n
3
+ 1)(n
6
+ 1).
Or si n est impair, les trois facteurs sont pairs et si n est pair les trois facteurs sont
pairs.
Conclusion : n
13
– n est divisible par 1092 si n est impair ou si n est divisible par 4.
Exercice 2 : /6
4) On considère l’équation (E) dans W ² :
11x + 8y = 1
c) Donner une solution particulière de (E).
d) Résoudre l’équation (E).
5) Soit N un entier naturel tel qu’il existe un couple (a ;b) de nombres entiers vérifiant :
N = 11a + 3
N = 8b + 2
c) Montrer que (-a ;b) est solution de (E).
d) Quel est le reste dans la division de N par 88 ?
6) a) Résoudre dans W ² l’équation (E’) :
11x + 8y = 200
b) Au VIII
e
siècle, un groupe d’hommes et de femmes a dépensé 200 pièces de monnaie dans une
auberge. Les hommes ont dépensé 8 pièces chacun et les femmes 11 pièces chacune.
Combien pouvait-il y avoir d’hommes et de femmes dans le groupe ?
1) a) Remarque préliminaire : comme 11 et 8 sont premiers entre eux, le théorème de Bézout
assure que l’équation (E) a des solutions.