Spécialité Terminale S IE4 Bézout - Fermat S1 2011

Spécialité Terminale S
IE4 Bézout - Fermat
S1 2011-2012
Exercice 1 :
1)
/4
Soit p ∈ V, p premier.
A l'aide du petit théorème de Fermat, démontrer que, pour tout n ∈ W, on a :
np n [p].
2) a) Montrer que pour tout n ∈ W, n13 – n est divisible par 546.
b) En déduire l'ensemble des entiers relatifs n tels que n13 – n soit divisible par 1 092.
Exercice 2 :
1)
/6
On considère l’équation (E) dans W² :
8x + 5y = 1
a) Donner une solution particulière de (E).
b) Résoudre l’équation (E).
2) Soit N un entier naturel tel qu’il existe un couple (a ;b) de nombres entiers vérifiant :
N = 8a + 1

N = 5b + 2
a) Montrer que (a ;-b) est solution de (E).
b) Quel est le reste dans la division de N par 40 ?
3) a) Résoudre dans W² l’équation (E’) :
8x + 5y = 100
b) Au VIII siècle, un groupe d’hommes et de femmes a dépensé 100 pièces de monnaie dans une
auberge. Les hommes ont dépensé 8 pièces chacun et les femmes 5 pièces chacune.
Combien pouvait-il y avoir d’hommes et de femmes dans le groupe ?
e
1
Spécialité Terminale S
IE4 Bézout - Fermat
S2 2011-2012
Exercice 1 :
1)
/4
Soit p ∈ V, p premier.
A l'aide du petit théorème de Fermat, démontrer que, pour tout n ∈ W, on a :
np n [p].
2) a) Montrer que pour tout n ∈ W, n13 – n est divisible par 546.
b) En déduire l'ensemble des entiers relatifs n tels que n13 – n soit divisible par 1 092.
Exercice 2 :
1)
/6
On considère l’équation (E) dans W² :
11x + 8y = 1
a) Donner une solution particulière de (E).
b) Résoudre l’équation (E).
2) Soit N un entier naturel tel qu’il existe un couple (a ;b) de nombres entiers vérifiant :
N = 11a + 3

N = 8b + 2
a) Montrer que (-a ;b) est solution de (E).
b) Quel est le reste dans la division de N par 88 ?
3) a) Résoudre dans W² l’équation (E’) :
11x + 8y = 200
b) Au VIIIe siècle, un groupe d’hommes et de femmes a dépensé 200 pièces de monnaie dans une
auberge. Les hommes ont dépensé 8 pièces chacun et les femmes 11 pièces chacune.
Combien pouvait-il y avoir d’hommes et de femmes dans le groupe ?
2
Spécialité Terminale S
IE5 Nombres premiers entre eux - Bézout
CORRECTION
S1 2011-2012
Exercice 1 :
1)
/4
Soit p ∈ V, p premier.
A l'aide du petit théorème de Fermat, démontrer que, pour tout n ∈ W, on a :
np n [p].
2) a) Montrer que pour tout n ∈ W, n13 – n est divisible par 546.
b) En déduire l'ensemble des entiers relatifs n tels que n13 – n soit divisible par 1 092.
1) Si p divise n alors np – n 0 [p] donc np n [p].
Si p ne divise pas n, alors n et p sont premiers entre eux, alors d'après le petit théorème de
Fermat np-1 1 [p]; donc p | divise np-1 – 1; donc p divise n(np-1 – 1) donc np n [p].
2) a) n13 – n 0 [13] car 13 est premier.
n13 – n = (n7 – n)(n6 + 1)
= n(n3 – 1)(n3 + 1)(n6 + 1)
= (n² - n)(n² + n + 1)(n3 + 1)(n6 + 1)
Or n7 - n 0 [7], n² - n 0 [2], n3 – n 0 [3].
Donc 2, 3, 7 et 13 sont des diviseurs de n13 – n.
On en déduit que 2×3×7×13 = 546 divise n13 – n car ces quatre entiers sont premiers entre
eux.
b)
n13 – n = (n² - n)(n² + n + 1)(n3 + 1)(n6 + 1).
1096 = 2×2×274
On sait que 2 divise n2 – n, il faudrait donc que 2 divise (n² + n + 1)(n3 + 1)(n6 + 1).
Or si n est impair, les trois facteurs sont pairs et si n est pair les trois facteurs sont
pairs.
Conclusion : n13 – n est divisible par 1092 si n est impair ou si n est divisible par 4.
Exercice 2 :
1)
/6
On considère l’équation (E) dans W² :
8x + 5y = 1
a) Donner une solution particulière de (E).
b) Résoudre l’équation (E).
2) Soit N un entier naturel tel qu’il existe un couple (a ;b) de nombres entiers vérifiant :
N = 8a + 1

N = 5b + 2
a) Montrer que (a ;-b) est solution de (E).
b) Quel est le reste dans la division de N par 40 ?
3) a) Résoudre dans W² l’équation (E’) :
8x + 5y = 100
b) Au VIII siècle, un groupe d’hommes et de femmes a dépensé 100 pièces de monnaie dans une
auberge. Les hommes ont dépensé 8 pièces chacun et les femmes 5 pièces chacune.
Combien pouvait-il y avoir d’hommes et de femmes dans le groupe ?
e
1) a) Remarque préliminaire : comme 5 et 8 sont premiers entre eux, le théorème de Bézout
assure que l’équation (E) a des solutions.
On peut utiliser l’algorithme d’Euclide pour déterminer une solution particulière.
3
Spécialité Terminale S
IE5 Nombres premiers entre eux - Bézout
CORRECTION
S1 2011-2012
Une solution évidente est (x ;y) = (2 ;-3).
En effet, 8×2 + 5×(-3) = 16 – 15 = 1
c) Soit (x ;y) une solution de l’équation (E).
8x + 5y = 1
On a : 
8×2 + 5×(-3) = 1
Par soustraction, on obtient l’équation : 8(x – 2) + 5(y + 3) = 0
Ou encore 8(2 – x) = 5(y + 3)
Donc 8 divise 5(y + 3).
Or 8 et 5 sont premiers entre eux ; donc selon le théorème de Gauss, 8 divise y + 3.
Il existe donc un entier relatif k tel que y = -3 + 8k
On a alors : 8(2 – x) = 5×8k
Soit x = 2 – 5k
Réciproquement pour tout entier relatif k :
Si x = 2 – 5k et y = -3 + 8k alors 8x + 5y = 16 – 40k -15 + 40k = 1
Les couples solutions de l’équation (E) sont donc de la forme (x ;y) = (2 – 5k ;-3 + 8k) avec k
entier relatif.
2)
a) On a N = 8a + 1 = 5b + 2
Donc : 8a + 5×(-b) = 1
Donc le couple (a ;-b) est bien solution de l’équation (E).
b) Comme le couple (a ;-b) est solution de (E), on a d’après la question 1) :
a = 2 – 5k et b = 3 – 8k avec k entier relatif.
On a alors : N = 5b + 2 = 15 -40k + 2 = 17 – 40k
On en déduit que le reste de la division euclidienne de N par 40 est 17.
3)
a) Une solution particulière de (E’) est (200 ;-300).
Les solutions de (E’) sont de la forme (x ;y) = (200 – 5k ;-300 + 8k)
b) Les solutions positives en x et y impose les contraintes suivantes pour k :
200 – 5k ≥ 0 et -300 + 8k ≥ 0
200
300
≤k≤
soit k = 38 ou 39 ou 40
Soit :
5
8
Soient les couples (10 ;4) ou (5 ;12) ou (0 ;20)
Il y avait donc(3 possibilités) :
• 10 hommes et 4 femmes
• ou bien 5 hommes et 12 femmes
• ou bien aucun homme et 20 femmes.
4
Spécialité Terminale S
IE5 Nombres premiers entre eux - Bézout
CORRECTION
S2 2011-2012
Exercice 1 :
/4
3) Soit p ∈ V, p premier.
A l'aide du petit théorème de Fermat, démontrer que, pour tout n ∈ W, on a :
np n [p].
4) a) Montrer que pour tout n ∈ W, n13 – n est divisible par 546.
b) En déduire l'ensemble des entiers relatifs n tels que n13 – n soit divisible par 1 092.
3) Si p divise n alors np – n 0 [p] donc np n [p].
Si p ne divise pas n, alors n et p sont premiers entre eux, alors d'après le petit théorème de
Fermat np-1 1 [p]; donc p | divise np-1 – 1; donc p divise n(np-1 – 1) donc np n [p].
4) a) n13 – n 0 [13] car 13 est premier.
n13 – n = (n7 – n)(n6 + 1)
= n(n3 – 1)(n3 + 1)(n6 + 1)
= (n² - n)(n² + n + 1)(n3 + 1)(n6 + 1)
Or n7 - n 0 [7], n² - n 0 [2], n3 – n 0 [3].
Donc 2, 3, 7 et 13 sont des diviseurs de n13 – n.
On en déduit que 2×3×7×13 = 546 divise n13 – n car ces quatre entiers sont premiers entre
eux.
b)
n13 – n = (n² - n)(n² + n + 1)(n3 + 1)(n6 + 1).
1096 = 2×2×274
On sait que 2 divise n2 – n, il faudrait donc que 2 divise (n² + n + 1)(n3 + 1)(n6 + 1).
Or si n est impair, les trois facteurs sont pairs et si n est pair les trois facteurs sont
pairs.
Conclusion : n13 – n est divisible par 1092 si n est impair ou si n est divisible par 4.
Exercice 2 :
/6
4) On considère l’équation (E) dans W² :
11x + 8y = 1
c) Donner une solution particulière de (E).
d) Résoudre l’équation (E).
5) Soit N un entier naturel tel qu’il existe un couple (a ;b) de nombres entiers vérifiant :
N = 11a + 3

N = 8b + 2
c) Montrer que (-a ;b) est solution de (E).
d) Quel est le reste dans la division de N par 88 ?
6) a) Résoudre dans W² l’équation (E’) :
11x + 8y = 200
b) Au VIII siècle, un groupe d’hommes et de femmes a dépensé 200 pièces de monnaie dans une
auberge. Les hommes ont dépensé 8 pièces chacun et les femmes 11 pièces chacune.
Combien pouvait-il y avoir d’hommes et de femmes dans le groupe ?
e
1)
a) Remarque préliminaire : comme 11 et 8 sont premiers entre eux, le théorème de Bézout
assure que l’équation (E) a des solutions.
5
Spécialité Terminale S
IE5 Nombres premiers entre eux - Bézout
CORRECTION
S2 2011-2012
On peut utiliser l’algorithme d’Euclide pour déterminer une solution particulière :
11 = 8×1 + 3
1 = 3 - 2×1
8 = 3×2 + 2
1 = 3 – (8 - 3×2) = 3×3 - 8
3 = 2×1 + 1
1 = 3×(11 – 8) – 8 = 3×11 -4×8
Donc (3 ;-4) est une solution particulière de (E).
b) Soit (x ;y) une solution de l’équation (E).
11x + 8y = 1
On a : 
11×3+ 8×(-4) = 1
Par soustraction, on obtient l’équation : 11(x – 3) + 8(y + 4) = 0
Ou encore 11(3 – x) = 8(y + 4)
Donc 11 divise 8(y + 4).
Or 11 et 8 sont premiers entre eux ; donc selon le théorème de Gauss, 11 divise y + 4.
Il existe donc un entier relatif k tel que y = -4 + 11k
On a alors : 11(3 – x) = 8×11k
Soit x = 3 – 8k
Réciproquement pour tout entier relatif k :
Si x = 3 – 8k et y = -4 + 11k alors 11x + 8y = 33 – 88k - 32 + 88k = 1
Les couples solutions de l’équation (E) sont donc de la forme (x ;y) = (3 – 8k ;-4 + 11k) avec k
entier relatif.
2)
a) On a N = 11a + 3 = 8b + 2
Donc : 11×(-a) + 8b = 1
Donc le couple (-a ;b) est bien solution de l’équation (E).
b) Comme le couple (-a ;b) est solution de (E), on a d’après la question 1) :
a = -3 + 8k et b = -4 + 11k avec k entier relatif.
On a alors : N = 11a + 3 = -33 + 88k + 3 = -30 + 88k = 58 + 88(k – 1)
On en déduit que le reste de la division euclidienne de N par 40 est 58.
3)
a) Une solution particulière de (E’) est (600 ;-800).
Les solutions de (E’) sont de la forme (x ;y) = (600 – 8k ;-800 + 11k)
600
800
c) 600 – 8k ≥ 0 et -800 + 11k ≥ 0
≤k≤
k = 73 ou k = 74 ou k = 75
8
11
Pour k = 73, on obtient le couple (16 ;3)
Pour k = 74, on obtient le couple (8 ;14)
Pour k = 75, on obtient le couple (0 ;25)
Il y avait donc 3 possibilités :
• 3 hommes et 16 femmes
• ou bien 14 hommes et 8 femmes
• ou bien 25 hommes et aucune femme
6