Applications du PGCD et du PPCM

Pierre de Fermat a établi ce
résultat en 1640 . Le grand
théorème de Fermat affirme : «
Pour tout entier n > 2 , il
est impossible de trouver un triplet (x ; y
; z) d’entiers
positifs et non nuls tels que x
n + yn = zn .
» . Fermat a
démontré cette propriété pour n = 4 et l’a conjectur
ée dans
les autres cas . Ce n’est que 350 ans plus tard que le
britannique Andrews Wiles est parvenu à démontrer ce
théorème ( sa preuve tient sur un millier de pages ) .
4ème séance
IV) PETIT THÉORÈME DE FERMAT
FRACTIONS IRRÉDUCTIBLES
Définition .
a
et
b
désignent deux entiers relatifs, avec
0
b
≠
. On dit que la
fraction
a b
est irréductible signifie que
a
et
b
sont premiers entre eux .
Propriété .
a
et
b
désignent deux entiers relatifs non nuls .
• Toute fraction
a b
est égale à une fraction irréductible
' '
a b
• Toute autre fraction égale à
a b
est de la forme
' '
ka kb
PETIT THÉORÈME DE FERMAT
Petit théorème de Fermat .
Soit
p
un nombre premier et
a
un entier naturel non divisible par
p
.
Alors
1
1
p
a
−
−
est divisible par
p
( c'est-à-dire
[
]
1
1
p
a p
−
≡
)
Puisque
p
est un nombre premier, il est premier avec
1
,
2
, … ,
1
p
−
( sinon
p
admettrait un diviseur positif autre que
1
) et donc
p
est premier avec
(
)
1 !
p
−
→
Si
k
est un entier compris entre
1
et
1
p
−
, alors le reste
k
r
de la division
euclidienne de
ka
par
p
est non nul . En effet, si
p
divise
ka
, alors il divise
a
car il est premier avec
k
; c’est absurde car
a
est non divisible par
p
.
→
Si
'
k
est un entier distinct de
k
( par exemple
'
k k
<
) compris entre
1
et
1
p
−
, alors les restes
k
r
et
'
k
r
des divisions respectives de
'
k a
et
ka
par
p
sont distincts . En effet, si
'
k k
r r
=
, alors
p
divise
(
)
' '
k a ka k k a
− = −
avec
1 ' 1
k k p
≤ − ≤ −
, ce qui est impossible car
a
n’est pas divisible par
p
.
Ainsi, les
1
p
−
restes
1
r
,
2
r
, … ,
1
p
r
−
des divisions de
a
,
2
a
, … ,
(
)
1
p a
−
par
p
sont donc des entiers naturels non nuls, strictement inférieurs à
p
et
distincts . Donc l’un de ces restes est égal à
1
, l’autre à
2
, … , l’autre à
1
p
−
.
D’où en utilisant le produit des congruences :
(
)
(
)
[
]
1 2 1
2 ... 1 ...
p
a a p a r r r p
−
− ≡ 
(
)
(
)
[
]
1
1 ! 1 !
p
p a p p
−
− ≡ −
Donc
p
divise
(
)
(
)
(
)
(
)
1 1
1 ! 1 ! 1 ! 1
p p
p a p p a
− −
− − − = − −
. Or
p
est premier
avec
(
)
1 !
p
−
, donc
p
divise
1
1
p
a−
−
d’après le théorème de Gauss .
Exemple .
7
est premier et ne divise pas
12
, donc
6
12 1
−
est divisible par
7
.

Corollaire .
Soit
p
un nombre premier et
a
un entier naturel .
Alors
p
a a
−
est divisible par
p
( c'est-à-dire
[
]
p
a a p
≡
)
On remarque, pour commencer, que
(
)
1
1
p p
a a a a
−
− = −
. Si
a
est divisible par
p
, alors
(
)
1
1
p p
a a a a
−
− = −
est divisible par
p
. Sinon
1
1
p
a
−
−
est divisible
par
p
( conséquence du petit théorème de Fermat ) et donc
(
)
1
1
p p
a a a a
−
− = −
est divisible par
p
.
EXERCICE
→
utiliser le petit théorème de Fermat pour établir une divisibilité
On considère un entier
2
n
≥
et on pose
5
a n n
= −
.
a) Démontrer que
a
est divisible par
3
n n
−
.
b) Démontrer que
a
est divisible par
30
.
a)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
5 4 2 2 3 2
1 1 1 1
n n n n n n n n n n
− = − = − + = − +
Puisque
2
1
n
+
est un entier naturel,
a
est divisible par
3
n n
−
.
b)
5
est un nombre premier, donc ( d’après un corollaire du théorème de Fermat )
il divise
5
n n
−
. De même, le nombre premier
3
divise
3
n n
−
et, d’après a), il
divise donc
5
n n
−
.
(
)
(
)
(
)
(
)
3 2 2
1 1 1
n n n n n n n n
− = − + = − +
2
est premier, il divise donc
2
n n
−
, donc
3
n n
−
, donc
5
n n
−
.
Conclusion . Premièrement,
2
divise
a
,
3
divise
a
,
2
et
3
sont premiers entre
eux, donc
2 3 6
× =
divise
a
. Deuxièmement,
6
divise
a
,
5
divise
a
,
6
et
5
sont
premiers entre eux, donc
6 5 30
× =
divise
a
.
EXERCICE 164 .
1. L’entier n ne peut être congru à 0 ou 2 modulo 4, il est donc de la forme
4 1
q
+
ou
4 1
q
−
, avec q un entier .
( ) ( ) ( )
16 2 16
16 15
4 1 1 16 4 4 ... 4
2
q q q q
×
+ = + × + + +
( )
16
4 1
q +
[
]
1 64
≡
car
( )
[
]
4 0 64
k
q ≡ pour
3
k
≥
De même :
( ) ( )
16 16
4 1 1 16 4 ... 4
q q q
− = − × + +
[
]
1 64
≡
2.
[
]
16
1 64
p≡
d’après la question 1. par p est impair, d’où
16
64 1
p
−
.
On applique 3 fois le petit théorème de Fermat, et on obtient :
[
]
2
1 3
p≡
car 3 ne divise par p, d’où :
[
]
16
1 3
p≡
et
16
3 1
p
−
.
[
]
4
1 3
p≡
car 5 ne divise par p, d’où :
[
]
16
1 5
p≡
et
16
5 1
p
−
.
[
]
16
1 17
p≡
car 17 ne divise par p, d’où :
[
]
16
1 17
p≡
et
16
17 1
p
−
.
Ainsi,
16
1
p
−
est divisible par 64, 3, 5 et 17 . Tous ces nombres sont deux à deux
premiers entre eux, donc
16
1
p
−
est divisible par leur produit 16320 .
NOTES PERSONNELLES