Applications du PGCD et du PPCM

4ème séance
Puisque p est un nombre premier, il est premier avec 1, 2 , … , p −1 ( sinon p
IV) PETIT THÉORÈME DE FERMAT
admettrait un diviseur positif autre que 1 ) et donc p est premier avec ( p − 1) !
FRACTIONS IRRÉDUCTIBLES
Définition . a et b désignent deux entiers relatifs, avec b ≠ 0 . On dit que la
fraction a b est irréductible signifie que a et b sont premiers entre eux .
→ Si k est un entier compris entre 1 et p −1 , alors le reste rk de la division
euclidienne de ka par p est non nul . En effet, si p divise ka , alors il divise a
car il est premier avec k ; c’est absurde car a est non divisible par p .
•
Toute fraction a b est égale à une fraction irréductible a ' b '
→ Si k ' est un entier distinct de k ( par exemple k < k ' ) compris entre 1 et
p −1 , alors les restes rk et rk ' des divisions respectives de k ' a et ka par p
•
Toute autre fraction égale à a b est de la forme ka ' kb '
sont distincts . En effet, si rk = rk ' , alors p divise k ' a − ka = ( k '− k ) a avec
Propriété . a et b désignent deux entiers relatifs non nuls .
1 ≤ k '− k ≤ p −1 , ce qui est impossible car a n’est pas divisible par p .
PETIT THÉORÈME DE FERMAT
Ainsi, les p −1 restes r1 , r2 , … , rp −1 des divisions de a , 2a , … , ( p − 1) a par
p sont donc des entiers naturels non nuls, strictement inférieurs à p et
distincts . Donc l’un de ces restes est égal à 1, l’autre à 2 , … , l’autre à p −1 .
Pierre de Fermat a établi ce résultat en 1640 . Le grand
théorème de Fermat affirme : « Pour tout entier n > 2 , il
est impossible de trouver un triplet (x ; y ; z) d’entiers
positifs et non nuls tels que xn + yn = zn . » . Fermat a
démontré cette propriété pour n = 4 et l’a conjecturée dans
les autres cas . Ce n’est que 350 ans plus tard que le
britannique Andrews Wiles est parvenu à démontrer ce
théorème ( sa preuve tient sur un millier de pages ) .
D’où en utilisant le produit des congruences :
a ( 2a ) ... ( p − 1) a  ≡ r1 r2 ... rp −1
[ p]
( p − 1)! a p−1 ≡ ( p −1)! [ p]
(
)
Donc p divise ( p − 1) ! a p −1 − ( p − 1) ! = ( p − 1) ! a p −1 − 1 . Or p est premier
avec ( p − 1) ! , donc p divise a p −1 − 1 d’après le théorème de Gauss .
6
Exemple . 7 est premier et ne divise pas 12 , donc 12 − 1 est divisible par 7 .
Petit théorème de Fermat .
Soit p un nombre premier et a un entier naturel non divisible par p .
Alors a
p −1
−1 est divisible par p ( c'est-à-dire a p −1 ≡ 1 [ p ] )
Corollaire .
EXERCICE 164 .
Soit p un nombre premier et a un entier naturel .
1. L’entier n ne peut être congru à 0 ou 2 modulo 4, il est donc de la forme 4 q + 1
ou 4 q − 1 , avec q un entier .
p
p
Alors a − a est divisible par p ( c'est-à-dire a ≡ a [ p ] )
(
)
On remarque, pour commencer, que a p − a = a a p −1 − 1 . Si a est divisible par
( 4q + 1)
p , alors a p − a = a ( a p −1 − 1) est divisible par p . Sinon a p−1 −1 est divisible
( 4q + 1)
par
16
16
16 ×15
2
16
( 4q ) + ... + ( 4q )
2
k
≡ 1 [ 64 ] car ( 4q ) ≡ 0 [ 64] pour k ≥ 3
= 1 + 16 × 4q +
p ( conséquence du petit théorème de Fermat ) et donc
16
a ( a p −1 − 1) = a p − a est divisible par p .
16
De même : ( 4q − 1) = 1 − 16 × 4q + ... + ( 4q ) ≡ 1 [ 64 ]
EXERCICE → utiliser le petit théorème de Fermat pour établir une divisibilité
5
2. p16 ≡ 1 [ 64 ] d’après la question 1. par p est impair, d’où 64 p 16 − 1 .
On applique 3 fois le petit théorème de Fermat, et on obtient :
p 2 ≡ 1 [3 ] car 3 ne divise par p, d’où : p 16 ≡ 1 [3 ] et 3 p 16 − 1 .
On considère un entier n ≥ 2 et on pose a = n − n .
3
a) Démontrer que a est divisible par n − n .
b) Démontrer que a est divisible par 30 .
p 4 ≡ 1 [3 ] car 5 ne divise par p, d’où : p 16 ≡ 1 [5 ] et 5 p 16 − 1 .
p16 ≡ 1 [17 ] car 17 ne divise par p, d’où : p16 ≡ 1 [17 ] et 17 p16 − 1 .
(
)
(
)(
) (
)(
)
a) n5 − n = n n 4 − 1 = n n 2 − 1 n 2 + 1 = n3 − n n 2 + 1
2
3
Puisque n +1 est un entier naturel, a est divisible par n − n .
b) 5 est un nombre premier, donc ( d’après un corollaire du théorème de Fermat )
5
3
il divise n − n . De même, le nombre premier 3 divise n − n et, d’après a), il
5
divise donc n − n .
n3 − n = n ( n − 1)( n + 1) = ( n 2 − n )( n 2 + 1)
2 est premier, il divise donc n2 − n , donc n3 − n , donc n5 − n .
Conclusion . Premièrement, 2 divise a , 3 divise a , 2 et 3 sont premiers entre
eux, donc 2 × 3 = 6 divise a . Deuxièmement, 6 divise a , 5 divise a , 6 et 5 sont
premiers entre eux, donc 6 × 5 = 30 divise a .
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Ainsi, p − 1 est divisible par 64, 3, 5 et 17 . Tous ces nombres sont deux à deux
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premiers entre eux, donc p − 1 est divisible par leur produit 16320 .
NOTES PERSONNELLES