Statistiques inférentielles

ENSEIGNEMENT DE PROMOTION SOCIALE
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Cours de
STATISTIQUES INFERENTIELLES
- Distributions théoriques -
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- version provisoire -
H. Schyns
Novembre 2011

Distributions théoriques Sommaire
H. Schyns S.1
Sommaire
1. INTRODUCTION
1.1. Position du problème
1.2. Variable aléatoire et distribution théorique
1.3. Prérequis
2. LA LOI BINOMIALE
2.1. Approche intuitive
2.1.1. Schéma de Bernoulli
2.1.2. Graphe de distribution des probabilités
2.1.3. Paramètres caractéristiques
2.2. Généralisation
2.2.1. Terme générique
2.2.2. Graphes
2.2.3. Paramètres caractéristiques
2.3. Applications
2.3.1. Exemple 1
2.3.2. Exemple 2
2.3.3. Exemple 3
2.4. Interprétation erronée de la théorie
2.5. La planche de Galton
3. DU DISCRET AU CONTINU
3.1. Position du problème
3.2. Effet du nombre d'observations
3.3. Effet du nombre de classes
3.4. Densité de fréquence relative
3.5. Densité de probabilité
4. LA LOI NORMALE
4.1. Un peu d'Histoire
4.2. Graphes
4.3. Convergence vers la loi normale
4.4. Quelques propriétés
4.4.1. Translation, dilatation
4.4.2. Composition
4.5. Loi normale réduite
4.6. Lecture de la table
4.6.1. Premier cas
4.6.2. Deuxième cas

Distributions théoriques Sommaire
H. Schyns S.2
4.6.3. Troisième cas
4.6.4. Quatrième cas
4.6.5. Quelques valeurs typiques
4.7. Applications
4.7.1. Exemple 1
4.7.2. Exemple 2
4.7.3. Exemple 3
4.8. Correction de continuité
5. LA LOI UNIFORME
5.1. Distribution Uniforme
5.1.1. Variable aléatoire discrète
5.1.2. Variable aléatoire continue
6. LA LOI EXPONENTIELLE
6.1.1. Variable aléatoire discrète
7. LA LOI DE POISSON
8. ANNEXES
8.1. Table de fonction de répartition de la loi normale
8.2. Représentation graphique
8.3. Approximations de la loi normale
8.3.1. Approximation par Taylor
8.3.2. Approximation de Hastings
8.4. Le triangle de Pascal
8.5. Alphabet grec
8.6. Démonstrations
8.6.1. Loi binomiale
9. EXERCICES
9.1. Exercice 1
10. SOURCES

Distributions théoriques 1 - Introduction
H. Schyns 1.1
1. Introduction
1.1. Position du problème
Dans le cours de statistique descriptive, nous avons appris comment rassembler
et analyser des données de nature qualitative ou quantitative.
En particulier, nous avons vu comment présenter les données observées sous une
forme qui facilite la prise de connaissance :
- tableaux (tableaux de fréquence, …);
- diagrammes et graphiques (histogrammes, …);
- paramètres et valeurs typiques (moyenne, écart-type, …).
L'objectif final de ces outils étant d'une part, de se faire une idée des
caractéristiques d'une population à partir des observations faites sur un
échantillon et, d'autre part, de mettre en évidence des variations de ces
caractéristiques (fig. 1.1).
Dans le cours de probabilité, la démarche est exactement l'inverse : nous avons
toute l'information nécessaire sur la population. Cette population peut être une
urne remplie de billes, un jeu de cartes ou le temps pendant lequel un feu de
signalisation est vert. Nous disposons de tous ces paramètres caractéristiques.
Effectuer un tirage au hasard dans cette population revient à en extraire un ou
plusieurs échantillons.
La question est maintenant de savoir quels sont les échantillons possibles, quelle
pourrait être leur composition, quelles sont leurs caractéristiques probables,
comment ces caractéristiques sont-elles susceptibles de varier d'un échantillon à
l'autre.
Les statistiques :
Je plonge ma main dans un seau de
billes et j'en retire une poignée.
J'ai l'information sur ce qui est dans ma
main (mon échantillon).
Qu'y a-t-il dans le seau ?
Les probabilités :
Je plonge ma main dans un seau de
billes et j'en retire une poignée
J'ai l'information sur ce qui est dans le
seau (la population).
Qu'y a-t-il dans ma main ?
fig. 1.1 Différence entre statistiques et probabilités (source : Saunders, Statistics)
1.2. Variable aléatoire et distribution théorique
Ceci nous ramène à la notion de variable aléatoire que nous avions introduite dans
le cours de probabilités.

Distributions théoriques 1 - Introduction
H. Schyns 1.2
On appelle variable aléatoire n’importe quelle fonction qui fait intervenir une
expérience aléatoire telle que le tirage d'une ou de plusieurs billes dans un seau…
ou tout autre scénario, mécanisme, épreuve, comptage, mesure, etc dont le
résultat n’est pas connu a priori.
Nous allons voir que :
- si la population (le contenu du seau, les probabilités élémentaires) est connue
et
- si la règle de tirage est connue (tirer un certain nombre de billes)
alors, nous pouvons définir les probabilités associées à chacune des valeurs
possibles de la variable aléatoire (p.ex.: nombre de billes de la même couleur).
Un exemple typique est le nombre de fois que l'on peut obtenir "pile" au terme de
cinq lancers d'une pièce de monnaie. Il est clair que ce nombre peut varier entre
zéro et cinq. A chacune de ces valeurs, nous pouvons associer une probabilité.
En faisant cette association, nous définissons une loi de distribution théorique.
Il existe quelques dizaines de lois de distribution théoriques. Dans ce document,
nous examinerons les principales : la loi binomiale, la loi normale, la loi uniforme et
quelques autres.
Statistiques Statistiques inférentielles Probabilités
Histogrammes ð Correspondance ï Lois de distribution
fig. 1.2 Rôle des statistiques inférentielles
Ceci nous amène au cœur du problème :
- d'un côté, les statistiques nous fournissent des histogrammes,
- de l'autre, les probabilités nous fournissent un ensemble de lois de distribution
théoriques.
L'un des rôles des statistiques inférentielles sera de rechercher ou de vérifier la
correspondance entre ces deux faces du problème (fig. 1.2).
C'est un rôle important en sciences car identifier une distribution théorique, établir
un modèle théorique, permet souvent de faire la lumière sur le mécanisme qui
sous-tend un phénomène physique.
1.3. Prérequis
Avant d'aborder ce chapitre, nous conseillons au lecteur de bien maîtriser les
chapitres intitulés :
- Eléments d'algèbre en mathématiques
- Statistique descriptive en statistiques
- Introduction aux probabilités en statistiques inférentielles