Calcul littéral

Equation du premier degré à une inconnue
1) Généralités
a) Définitions :
Une équation est une égalité dans laquelle interviennent un ou plusieurs nombre(s) inconnu(s).
Ceux-ci sont le plus souvent désignés par des lettres.
Exemple :
5 14 2xx  
est une équation d’inconnue
x
.
premier membre second membre
5 14 2xx  
Résoudre une équation d’inconnue
x
, c’est trouver toutes les valeurs possibles du nombre
x
(si elles
existent) qui vérifient l’égalité, c'est-à-dire telles que l’égalité soit vraie.
Chacune de ces valeurs est une solution de l’équation.
Exemple :
On considère l’équation d’inconnue
x
:
2 4 1 3xx  
Le nombre 2 est-il solution de l’équation ?
Calcul du 1er membre pour
2x
:
2 2 4 4 4 0
Calcul du 2nd membre pour
2x
:
1 3 2 1 6 7    
L’égalité n’est pas vérifiée pour
2x
, donc 2 n’est pas solution de cette équation.
Vocabulaire : dire qu’une égalité ne change pas signifie que :
Si elle est vraie, elle reste vraie et si elle est fausse, elle reste fausse.
b) Propriétés : a, b et c désignent des nombres relatifs.
On ne change pas une égalité lorsqu’on ajoute (ou on soustrait) un même nombre à chacun de ses
membres.
 Si
ab
, alors
a c b c  
 Si
ab
, alors
a c b c  
Exemple :
23x   
En ajoutant 2 à chaque membre de l’égalité, on obtient :
2 2 3 2x     
, c'est-à-dire :
1x
On ne change pas une égalité lorsqu’on multiplie (ou on divise) chacun de ses membres par un nombre non
nul.
 Si
ab
, alors
ac bc
 Si
ab
, alors
ab
cc
Exemple :
56x
En divisant par -5 chaque membre de l’égalité, on obtient :
56
55
x
, c'est-à-dire :
6
5
x

2) Résoudre une équation à une inconnue
Exemple : On considère l’équation d’inconnue
x
:
7 4 3 8xx  
i. On rassemble tous les termes en
x
dans un membre de l’équation
7 4 3 3 8 3
4 4 8
x x x x
x
ii. On rassemble tous les termes constants dans l’autre membre l’équation
4 4 4 8 4
4 12
x
x
iii. On obtient la valeur de
x
4 12
44
x
La seule valeur possible de
x
dans cette dernière équation est 3
3x
iv. On vérifie que 3 est bien solution de l’équation initiale,
7 3 4 21 4 17    
on test alors l’égalité pour
3x
.
3 3 8 9 8 17    
v. On conclut, L’équation admet une solution : 3.
3) Résoudre un problème
Exemple : Deux amis, Pierre et Saïd collectionnent les timbres.
«J’en possède 40 de moins que toi.» dit Pierre.
«J’en ai trois fois plus que toi. » dit Saïd.
Combien de timbres possède Pierre ?
 Etape 1 : Choix de l’inconnue.
Désignons par
x
le nombre de timbres que possède
Pierre.
x
est un nombre entier positif.
 Etape 2 : Mise en équation du problème.
Saïd possède alors
3x
timbres ou bien
40x
timbres.
On a donc
3 40xx
 Etape 3 : Résolution de l’équation.
3 40
3 40
2 40
2 40
22
20
xx
x x x x
x
x
x
 Etape 4 : Vérification du résultat.
20 40 60
et
3 20 60
 Etape 5 : Interprétation et conclusion.
Le résultat est un nombre entier positif ; ce résultat est
cohérent.
Pierre possède 20 timbres.