Equation du premier degré à une inconnue 1) Généralités a) Définitions : Une équation est une égalité dans laquelle interviennent un ou plusieurs nombre(s) inconnu(s). Ceux-ci sont le plus souvent désignés par des lettres. Exemple : x 5 14 2x est une équation d’inconnue x . x5 premier membre 14 2 x second membre Résoudre une équation d’inconnue x , c’est trouver toutes les valeurs possibles du nombre x (si elles existent) qui vérifient l’égalité, c'est-à-dire telles que l’égalité soit vraie. Chacune de ces valeurs est une solution de l’équation. Exemple : On considère l’équation d’inconnue x : 2x 4 1 3x Le nombre 2 est-il solution de l’équation ? Calcul du 1er membre pour x 2 : 2 2 4 4 4 0 Calcul du 2nd membre pour x 2 : 1 3 2 1 6 7 L’égalité n’est pas vérifiée pour x 2 , donc 2 n’est pas solution de cette équation. Vocabulaire : dire qu’une égalité ne change pas signifie que : Si elle est vraie, elle reste vraie et si elle est fausse, elle reste fausse. b) Propriétés : a, b et c désignent des nombres relatifs. On ne change pas une égalité lorsqu’on ajoute (ou on soustrait) un même nombre à chacun de ses membres. Si a b , alors a c b c Si a b , alors a c b c Exemple : 2 x 3 En ajoutant 2 à chaque membre de l’égalité, on obtient : 2 x 2 3 2 , c'est-à-dire : x 1 On ne change pas une égalité lorsqu’on multiplie (ou on divise) chacun de ses membres par un nombre non nul. Si a b , alors ac bc a b Si a b , alors c c Exemple : 5x 6 En divisant par -5 chaque membre de l’égalité, on obtient : 5 x 6 6 , c'est-à-dire : x 5 5 5 2) Résoudre une équation à une inconnue 7 x 4 3x 8 Exemple : On considère l’équation d’inconnue x : 7 x 4 3x 3x 8 3x 4x 4 8 i. On rassemble tous les termes en x dans un membre de l’équation ii. On rassemble tous les termes constants dans l’autre membre l’équation iii. On obtient la valeur de x 4x 4 4 8 4 4 x 12 4 x 12 4 4 x 3 La seule valeur possible de x dans cette dernière équation est 3 iv. On vérifie que 3 est bien solution de l’équation initiale, on test alors l’égalité pour x 3 . 7 3 4 21 4 17 3 3 8 9 8 17 v. On conclut, L’équation admet une solution : 3. 3) Résoudre un problème Exemple : Deux amis, Pierre et Saïd collectionnent les timbres. «J’en possède 40 de moins que toi.» dit Pierre. «J’en ai trois fois plus que toi. » dit Saïd. Combien de timbres possède Pierre ? Etape 1 : Choix de l’inconnue. Désignons par x le nombre de timbres que possède Pierre. x est un nombre entier positif. Etape 2 : Mise en équation du problème. Saïd possède alors 3x timbres ou bien x 40 timbres. On a donc 3x x 40 Etape 3 : Résolution de l’équation. 3 x x 40 3 x x x 40 x 2 x 40 2 x 40 2 2 x 20 Etape 4 : Vérification du résultat. 20 40 60 et 3 20 60 Etape 5 : Interprétation et conclusion. Le résultat est un nombre entier positif ; ce résultat est cohérent. Pierre possède 20 timbres.