Chap 13 étude énergétique des systèmes mécaniques I travail de la

CHAP 13
ETUDE ENERGETIQUE DES SYSTEMES MECANIQUES
I TRAVAIL DE LA FORCE EXERCEE SUR L’EXTREMITE D’UN RESSORT
1) travail d’une force constante
Nous avons vu en classe de 1ère que par définition :
Le travail WAB d’une force constante F dont le point d’application se déplace de A en B
est donné par la relation :
WAB(F)=F.AB en vect
Où F.AB est le produit scalaire des vecteurs F et AB.
Ainsi on a
WAB (F)=F.l.cosα où cosα est le cosinus de l’angle α entre F et AB. Avec l en mètre et F
en newton, WAB s’exprime en Joule.
2) Travail élémentaire d’une force
Lorsque A et B sont très proche le WAB est appelé W élémentaire. (On notera AB par dl)
Le travail élémentaire est donc noté : W=F.dl
Donc pour calculer le travail entre 2 points C et D
WCD=intégrale cD F.dl
3) Travail de la force exercée sur l’extrémité d’un ressort :
Pour un ressort : F=T=k.x et dl =dx on a donc :
W=kx.dx
a) expression du travail par une méthode graphique
x1
dx
x2
On cherche à exprimer le W de la force exercée à l’extrémité du ressort au cours de son
déplacement entre A d’abscisse x1 et B d’abscisse x2.
Le travail élémentaire kx.dx représente une aire sur le graphique ci-dessus.
Le W total entre A et B est donc la somme de tous les travaux élémentaires. Sa valeur est
donnée par l’aire située sous la droite entre x1 et x2. Elle est égale à la différence des aires
des deux triangles rectangles :
WAB=1/2(kx2)x2 – 1/2(kx1)x1=1/2(kx22-kx1²)
b) expression du travail par intégration
On intègre le travail élémentaire entre deux positions A et B
WAB(T)=int(x2 x1) kxdx=[1/2kx²] x2 x1 = 1/2kx2²-1/2kx1²
II L’ENERGIE POTENTIELLE :
1) l’énergie potentielle élastique
a) mise en évidence
Lorsque l’on déforme un ressort, il met en réserve de l’énergie.
Ex : on accroche un mobile au bout d’un ressort, on comprime le ressort et on lâche.
Obs : le mobile prend de la vitesse.
Interp : le ressort a donc fournit de l’énergie au mobile.
CC un ressort déformé possède de l’énergie. Cette énergie est appelée énergie potentielle
élastique.
b) expression de l’énergie potentielle élastique
Pour déformer un ressort on doit exercer une force dont le point d’application se déplace.
Cette force effectue un travail.
L’énergie potentielle élastique emmagasinée dans un ressort est égale au travail effectué par
un opérateur pour le déformer.
L’énergie potentielle élastique d’un ressort, de constante de raideur k, est proportionnelle au
carré de son allongement ou rétrécissement x :
Ep élas=W(f)=1/2 kx²
2) énergie potentielle de pesanteur
Comme vu en 1ère S Epp=mgz elle correspond au travail du poids.
III ENERGIE MECANIQUE DU SYSTEME SOLIDE RESSORT
1) étude énergétique du système solide-ressort horizontal
Soit un solide S de centre d’inertie G oscillant sous l’action d’un ressort sur une surface
parfaitement lisse.
L’éq diff du mouvement de G est :
Mx’’ + kx = 0
Sa solution est de la forme x=Xmcos(2.t/To + )
Donc v=dx/dt= - Xm2/T sin(2.t/To + )
Exprimons Ec et Ep élas :
2) énergie mécanique
La somme Ec + Ep est l’énergie mécanique notée Em
Elle est constante si il n’y a pas de frottements.
Em= Ec + Ep = cste
3) Conversion de l’énergie
Puisque la somme de l’énergie cinétique et de l’énergie potentielle élastique est constante,
l’énergie cinétique de la masse se transforme en énergie potentielle élastique du ressort et vice
versa.
On peut donc écrire :
Em = 1/2kx²m=1/2mv²m=1/2kx²+1/2mv²
4) oscillateur amorti
L’énergie mécanique va diminuer à cause du travail des forces de frottements.
La diminution de l’énergie mécanique est égale à la valeur absolue du travail des forces
résistantes :
Em(1) – Em(2) = valeur absolue W12(F)
IV ENERGIE MECANIQUE DU MOUVEMENT D’UN PROJECTILE
En généralisant ce que l’on vient de voir pour le système solide ressort on peut écrire que :
Em=Ec+Epp
1) en l’absence de frottement
Em =mgz + 1/2mv² = cste donc la variation de l’énergie mécanique est nulle.
2) en présence de frottements :
Il faut prendre en compte les forces de frottements qui effectuent un travail W(Ff)
Calculons la variation d’énergie mécanique entre deux points A et B
Em= Ec + Epp
or on a vu en 1ère que d’après le théorème de l’énergie cinétique, la variation de l’énergie
cinétique d’un solide dans un référentiel galiléen est égale à la somme des travaux des forces
appliquées au solide, soit:
Ec=W(F)
ici WF=W(P) + W(Ff)
donc Em= W(P) + W(Ff) + mg (zb-za)
= W(Ff)
Em est négatif car W(Ff) est un travail résistant.
Cc En présence de frottements, l’énergie mécanique d’un projectile diminue, car sa variation
est égale au travail résistants des forces de frottement : Em=W(Ff)