MECANIQUE 2

MECANIQUE 8
ENERGIE
I. Travail d’un force
Le mouvement va de A vers B :

1 : W AB ( F )  0

2 : W AB ( F )  0


W AB ( F )  F . AB

3: W AB ( F )  0


W AB ( F )   F . AB

Si F  cte sur AB


WAB ( F )  F . AB
unités : W en Joules ( N .m)
remarque :
  
F  F1  F2

 
F . AB  ( F1  F2 ). AB


 F1. AB  F2 . AB

 F1. AB  0


WAB ( F )  F . AB

 F . AB. cos( F . AB)
 F1. AB
1. Le travail du poids :


WAB ( P)  P. AB

 P( AC  CB)

 P. AC
 P. AC  P( z A  z B )  mg ( z A  z B )
 
WAB ( P)   mgh
avec h  z A  z B
remarque :
Le travail du poids, comme le travail de toute
force constante ne dépend pas du trajet
effectivement suivit par le système.
1
exercice :
Un plongeur suit la trajectoire allant de A vers B, la hauteur de la falaise est de 10m et la masse du plongeur est
de 70kg. Calculer le travail du poids sur le trajet AB.
m  70kg g  10m.s 2

WAB ( P)  mgh  70.10.10  7000 J
2. Cas d’une force non constante :
Lorsqu’une force n’est pas constante, on décompose le trajet suivit par le système
en une somme de trajet élémentaires sur lesquels la force reste constante. On
note le travail élémentaire sur le trajet MM’ :



dWMM ' ( F )  F .MM '  F .dl

B 
W AB ( F )   F .dl
A
Le travail total pour aller de A à B est la somme (intégrale) de tous les travaux élémentaires pour aller de A à B
3. Cas de la force de rappel d’un ressort :
MM '  dl

dl  dx i


dWM M' (F)  F.dl



dWM M' (F)  k.x. i (dx. i )

dWM M' (F)  k.x.dx

x1
WM1M 2 (F)    k.x.dx
x2
x2

 1
2
WM1M 2 (F)   k.x 
 2
 x1

1
WM1M 2 (F)   k ( x 22  x12 )
2

où F  force de rappel
interprétation graphique :

x2
x1
kx.dx représente l’aire de la partie hachurée sur le
schéma. C’est aussi l’opposé du travail de la force de
rappel sur le trajet M1M2
2
Donner l’expression du travail de la force exercée par un opérateur qui étire un ressort de sa position d’équilibre à
la position d’abscisse x.
La force exercée par l’opérateur est l’opposée de la force de rappel du ressort


FOP  k.x.i

d’où : WOM ( FOP ) 
1
k .x 2
2
II. Energie potentielle
1. Energie potentielle de pesanteur :
Lorsque l’altitude d’un système de masse m augmente, le système gagne de l’énergie dite potentielle de
pesanteur, d’autant plus grande que l’altitude est élevée. Cette énergie potentielle peut être transférée en une
autre forme d’énergie (comme l’énergie cinétique).
L’énergie potentielle de pesanteur d’un système de masse m est donnée par :
EPP  m.g.z
z : l ' altitude
EPP : en Joules
remarque :
Le choix de l’origine est arbitraire, par conséquent, EPP est définie à une constante près. Ce sont les variations
de EPP qui importent.
2. Energie potentielle élastique :
On considère un système solide ressort :
Lorsqu’on allonge ou que l’on comprime le ressort, le système acquiert une énergie dite potentielle élastique
d’expression : E Pe 
1
k .x 2 en Joules
2
3
III. Energie mécanique :
L’énergie mécanique d’un système est la somme de son énergie cinétique et de son énergie
potentielle : E M  EC  E P
exemples :
1. E M 
1 2
mv  mgz
2
2. E M 
1 2 1 2
mv  k .x
2
2
3. E M 
1 2
1
mv  mgz  k .x 2
2
2
4. E M 
1 2
mv  mgz
2
Conservation de l’énergie mécanique :
- L’énergie mécanique d’un projectile en mouvement dans le champ de pesanteur (en l’absence de
frottements) se conserve (elle est constante au cours du temps)
- L’énergie mécanique d’un dispositif solide/ressort (en l’absence de frottements) se conserve.
remarques :
Lorsque l’énergie mécanique se conserve, il y a transfert entre l’énergie cinétique et l’énergie potentielle de telle
en énergie sorte que la somme des deux se conserve.
En présence de frottement, l’énergie potentielle de pesanteur ne se conserve pas, elle diminue (il y a transfert de
l’énergie mécanique d’agitation thermique).
exercices :
4
Un plongeur de masse m=70kg, plonge dans le champ de pesanteur, d’une hauteur h=10m. Déterminer, en
négligeant les frottements, la vitesse du plongeur lorsqu’il entre en contact avec l’eau.
En l’absence de frottements, on sait que l’énergie mécanique d’un système dans le champ de pesanteur est
constante. Ainsi EM = cte = EMA = EMB, avec A, le point de départ du plongeur et B son point d’arrivée.
EMA=ECA+EPPA
ECA=0
et EPPA=mgh
EMB=ECB+EPPB
ECB=1/2 mvB² et EPPB=0
On considère un dispositif solide/ressort, k=20 N.m -1, m=100g
On lâche la masse m de la position x=3cm, sans vitesse initiale. Calculer la vitesse de la masse m lorsqu’elle
passe à x=0.
En l’absence de frottement on sait que l’énergie mécanique d’un système dans le champ de pesanteur est
constante. Ainsi EM = cte = EM 0 = EM x
EM=EC0+EPe0
EC0=1/2 mv²
et EPe0=0
EM x=EC x+EPe x
EC x=0
et EPPB=1/2 kx²
½ mv² = ½ kx² et
v
kx²
 0,42m.s 1
m
EVOLUTION TEMPORELLE DE DEUX OSCILLATEURS (question 3)
a. EP=1/2 kx²
EC=1/2 mv²
EM=EC+EP
b. Etant donné qu’il n’y a pas de frottement, E est une constante au cours du temps et t=0s, EM=EC+EPP
Comme on lâche le solide sans vitesse initiale, EC=0 et E=EP=1/2 kx² donc E=1/2 kx²
A sa position d’équilibre, E=1/2 mv² et comme E est constante, ½ mv²=1/2 kx² et donc
v
kx²
m
c. Au cours du temps, E est constante et ne varie pas.
A t=0s,
EP=1/2 kx² = 0,02J,
Ec=O pour t=0s car on lâche le ressort sans vitesse initiale
d. Dans le cas d’un régime pseudo périodique, il y a présence de frottements. Ainsi, l’énergie mécanique se
transforme en une autre forme d’énergie, l’énergie d’agitation thermique.
AUTRE EXERCICE
On néglige les frottements ; t = 0s
 =30°
1. Tracer l’allure de Ec=f(t) et EP= f(t) sur la même courbe.
2. Même question en présence de frottements
5