mécanique

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TS Cours Physique
Chap 8 : Modélisation des oscillateurs
D’une certaine manière, l’attitude scientifique consiste à
ramener le « changeant » au « permanent » (ouah… ça en
jette dans une dissertation de philo ou dans une tentative de
drague en discothèque !). Je m’explique : le « changeant » ce
sont les phénomènes auxquels la physique s’intéresse et qui
évoluent dans le temps (mouvement d’un objet, oscillations
d’un pont ou d’un courant…). Et le « permanent » ce sont les
lois universelles que les physiciens élaborent à partir de
l’observation des phénomènes et qui ne doivent pas faire
référence au temps.
Pour y arriver, les physiciens utilisent le formalisme mathématique qui leurs fournit :
- des outils intéressants mais en nombre limité (en TSMP : 4 opérations de base (+ , − ,  , / ) et la dérivation et l’intégration),
- des possibilités de décrire les grandeurs physiques également en nombre limité (en TSMP : scalaire (masse par ex) et vecteur
(force par ex)).
Bref, ces limites nous permettent de « retomber assez vite sur les mêmes équations » pour des thèmes d’étude parfois complètement
différents. C’est ce que va illustrer ce chapitre où l’on a rassemblé les oscillateurs mécaniques et électriques pour les étudier dans un
cadre commun.
I. Oscillateur sinusoïdal libre non amorti
1) L’oscillateur harmonique à 1 dimension
a) Rappels de 1ère
A une dimension, une coordonnée ou abscisse X permet de repérer l’état d’un oscillateur au cours de son évolution. Ce repérage se
fait par rapport à un état de référence : l’état d’équilibre.
Exemples :
Abscisse linéaire = longueur
Pendule élastique (mécanique)
Abscisse électrique = tension ou intensité
Générateur Basses Fréquences (électrique)
Abscisse angulaire = angle
Pendule simple (mécanique)
Abscisse angulaire = angle
Pendule de torsion (mécanique)
 L’abscisse notée X d’un oscillateur mesure l’……………………
de l’oscillateur par rapport à son état d’équilibre.
 L’amplitude notée Xm correspond à la valeur ……………………
de l’abscisse.
U ou I
t
Um
- Um
Etat
d’équilibre
Position d’équilibre
m
m
Position d’équilibre
x
xm
- xm

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b) Intérêt général (version math sup…)
On considère un « système » au sens large : planète autour du Soleil,
électron autour du noyau, pendule simple ou élastique, circuit (RLC)…
On suppose que ce système possède une énergie potentielle qui est une
fonction à une dimension d’une coordonnée générale ou abscisse X :
Ep(X). On considère aussi que le système est décrit par une position
d’équilibre pour X = 0 où l’on a Ep(X = 0) = 0.
Rem : ces hypothèses définissent ce qu’on appelle les « systèmes
conservatifs ». L’énergie potentielle peut être mécanique (pesanteur,
élastique) ou électrique ou magnétique, ou autre…non étudiée en classe.
 Si l’équilibre est stable, l’énergie potentielle doit être minimum. Ce qui se traduit mathématiquement par
0
)(
0 X
X
dxXdEp
et
0
)(
0
2
2
X
dX XEpd
 Une petite perturbation provoquera un petit écart du système par rapport à sa position d’équilibre. Les mathématiciens nous
disent alors que dans un tel cas, la fonction Ep(x) peut s’approximer par :
Ep(X) Ep(X = 0) + X*
0
)(
X
dXXdEp
+
0
2
2
2)(
*
2
1
x
dX XEpd
X
c’est ce que l’on appelle le « développement limité de Ep(x) au
voisinage de X = 0 » ou encore « formule de Taylor ».
Dans notre cas précis, Ep(X) 0 + X*0 +
0
2
2
2)(
*
2
1
x
dX XEpd
X
=
2
*
2
1XK
avec K =
0
)(
0
2
2
X
dX XEpd
Cette formule rappelle celle de l’énergie potentielle élastique d’un système « masse-ressort » ou pendule élastique : Epe =
2
*
2
1xk
avec dans ce cas, k = constante de raideur du ressort. Par analogie des équations, nous pourrons modéliser tout système physique
faiblement perturbé au voisinage d’une position d’équilibre stable par un pendule élastique.
A retenir : au voisinage d’une position d’équilibre ……………………., tout système physique ………………………..…perturbé
peut être modélisé par un pendule élastique ou ……………………………………………..
Rem 1 : cette modélisation concerne aussi bien l’échelle cosmologique (modélisation de l’atmosphère terrestre sous l’effet d’une
éruption (Krakatoa 1883), modélisation des masses d’eau sous l’action conjuguée de la Lune et du Soleil (marées) que l’échelle
microscopique (modélisation sous l’effet d’une excitation (rayonnement ou chaleur) du comportement des électrons autour du
noyau, ou des atomes autour de leur position d’équilibre dans une molécule…).
Rem 2 : cette modélisation permet d’étudier facilement la résonance des systèmes modélisés, pour le meilleur (instruments de
musique, LASER, IRM en médecine, four à micro-onde, tympan de l’oreille…) ou pour le pire (pont de Tacoma en haut, machines
tournantes, voitures…).
c) L’équation horaire
Dans le cas du pendule élasique horizontal, nous avions vu en 1ère que l’abscisse X
obéit à l’équation horaire :
X(t) = Xm*cos( .t + )
Avec Xm : amplitude des oscillations,
: pulsation propre de l’oscillateur
=
0
0
.2
2f
T
T0 et f0 sont les périodes propres et fréquences propres.
est une constante appelée : phase initiale. Sa valeur est déterminée par les conditions initiales.
Ex : sur la figure de droite X(t = 0) = Xm*cos(
*0 +
) = Xm*cos( )= Xm donc cos( )= ……… et = …………
t
xm
- xm
Position
d’équilibre
Abcisse X = x, , , U, I…
Ep
X
0
Ep = ½ K*X2
Approximation
harmonique
Courbe
réelle

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Nous généralisons ces résultats à tous les oscillateurs dits « harmoniques ».
L’équation horaire de l’évolution (par rapport à sa position d’équilibre) d’un oscillateur harmonique libre non amorti est une
fonction sinusoïdale du temps : X(t) = ……………………………….
d) L’équation différentielle
X(t) = Xm*cos( .t+ ) 
dt
dX
X
= ……………………………………….et
2
2
dtXd
X
= ……………………………………
On remarque que :
 XX 2
0
……………………………………….............................................................................................
L’équation différentielle caractéristique d’un oscillateur harmonique libre non amorti est de la forme : ………………………..
e) Intérêt général (version TSMP…)
Si l’étude d’un phénomène physique quelconque conduit à une équation différentielle de la forme :
 XKX
0, avec K >
0, alors on peut énoncer le résultat suivant sans démonstration supplémentaire :
Le système se comporte comme un oscillateur harmonique libre non amorti de pulsation propre
02 = ……. donc 0 = …….
Alors T0 = ……………….. et f0 = ……………………..
2) Le pendule élastique horizontal
a) L’équation différentielle
On néglige tous les frottements. Appliquer le PFD pour établir l’équa-diff
du mouvement. En déduire les expressions de
0 et 0.
Syst : Ref :
ext
F
: (à représenter)
PFD (appliqué au cdi) :
b) Mouvement du solide
Trouver les équations horaires :
 de la position x(t) :
 de la vitesse vx(t) =
x
:
 et de l’accélération ax(t) =
x
:
Rem : l’accélération est en …………………………………………….. par rapport à la position et la vitesse est en ………………....
………………………… sur la position.
Position d’équilibre
x
xm
- xm
(0)
z
x

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Détermination de : influence des conditions initiales (CI)
Ecrire les équations horaires pour t = 0 :
 de la position x(t = 0) :
 et de la vitesse vx(t = 0) :
En déduire les expressions de cos et de sin en fonction des valeurs initiales et des valeurs maximales :
cos = ………………. et sin = ……………….
Application : déterminer la valeur de dans les 3 cas suivants :
C.I n° 1 : à t = 0, le pendule est lâché sans vitesse initiale (vx0 = 0) à partir de l’abscisse x0 = xm.
C.I n° 2 : à t = 0, le pendule est lâché avec sa vitesse maximale (vx0 = vxm) à partir de sa position d’équilibre x0 = 0.
C.I n° 3 : quelle vitesse initiale (vx0) doit-on donner au pendule à partir d’une position initiale x0 = xm / 2 pour qu’il arrive
bien à sa position maximale xm ?
c) Conservation de l’énergie
Trouver les équations horaires :
 de l’énergie cinétique Ec(t) :
 de l’énergie potentielle élastique Epe(t) :
 de l’énergie mécanique totale Em(t) :
Conclusion : l’énergie mécanique totale d’un pendule élastique horizontal non amorti est ………………………
Durant les oscillations mécaniques dont l’amplitude est constante, il y a transformation mutuelle d’énergie
………………………………………………………… en énergie ……………………………… sans pertes.
Retrouver l’équa-diff du mouvement en dérivant l’expression générale de l’énergie mécanique :
3) Le dipôle (L,C)
a) L’équation différentielle
On néglige toute résistance électrique. Appliquer la loi d’additivité
des tensions pour établir l’équa-diff du dipôle. En déduire les
expressions de
0 et 0.
C
i
A
uC
B
(L, r = 0)
uL
D
E

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b) Variations de q et i
Trouver les équations horaires :
 de la charge q(t) et de la tension uc(t) aux bornes du condensateur :
 de l’intensité i(t) =
q
:
 de la tension uL(t) aux bornes de la bobine :
Rem : uL(t) est en ……………………………………………….. par rapport à uc(t) et l’intensité i(t) est en ……………………...
………………………… sur la charge q(t).
c) Conservation de l’énergie
Trouver les équations horaires :
 de l’énergie potentielle électrique Ee(t) :
 de l’énergie potentielle magnétique Em(t) :
 de l’énergie électromagnétique totale Eem(t) :
Conclusion : l’énergie électromagnétique totale d’un dipôle (L,C) sans résistance est ………………………
Durant les oscillations électriques dont l’amplitude est constante, il y a transformation mutuelle d’énergie
………………………………………………………… en énergie ……………………………………………… sans pertes.
Retrouver l’équa-diff du circuit en dérivant l’expression générale de l’énergie électromagnétique :
4) Le pendule simple
a) L’équation différentielle
On néglige tous les frottements. Appliquer le PFD et effectuer une projection sur l’axe (M,
) de
la base de Frenet pour trouver une relation entre m, g, sin et dv/dt :
Syst : Ref :
ext
F
: (à représenter)
PFD (appliqué au cdi) :
Position d’équilibre
m
m