Questionnaire sur l`étude théorique de l`oscillateur élastique horizontal

Étude théorique de l’oscillateur élastique horizontal :
On peut modéliser un oscillateur mécanique horizontal par un système solide-ressort constitué d’un solide
de masse m, fixé à l’extrémité d’un seul ressort à spires non jointives, de masse négligeable et de constante
de raideur k.
La position du centre d’inertie G du solide est étudiée dans un référentiel terrestre considéré comme
galiléen et repérée par son abscisse x(t) sur un axe horizontal x’Ox. L’origine des abscisses correspond à
l’abscisse de G lorsque le solide est à l’équilibre. Le solide est mis en oscillation. La période propre des
oscillations est T0.
1.1. Forces exercées sur le solide en mouvement.
1.1.1. On note
F
la force exercée par le ressort sur le solide.
Pour une position quelconque du solide, nommer les quatre forces qui s’exercent sur ce
solide. Les représenter au centre d’inertie G, sans souci d’échelle, sur le schéma ci-dessous :
1.1.2. En rappelant l’expression du vecteur force
F
en fonction de l’allongement x, vérifier
mathématiquement que cette force a bien le sens attendu lorsque le centre d’inertie G se
trouve à droite de la position d’équilibre sur le schéma ci-dessus.
1.2. Équation différentielle du mouvement du solide.
1.2.1. En appliquant la deuxième loi de Newton au solide, établir l’équation différentielle du
mouvement de son centre d’inertie G. On projettera la relation vectorielle sur l’axe (Ox) dirigé vers
la droite.
1.2.2. On considère maintenant que l’on néglige les frottements. Adapter l’équation différentielle
précédente à cette nouvelle indication.
1.2.3. On propose l’expression
0m t
m
k
cosX)t(x
comme solution générale de l’équation
différentielle précédente. Vérifier que cette solution générale vérifie l’équation différentielle
précédente. Comment nomme-t-on Xm et φ0 et l’argument du cosinus ?
1.2.4. A l’instant t = 0, le solide est écarté de sa position d’équilibre x (0) = a et laché sans vitesse
initiale v (0) = 0. A l’aide de ces conditions initiales, déterminer les valeurs de Xm et φ0.
1.2.5. Représenter la courbe qui représente l’évolution de x en fonction du temps. Indiquer Xm et φ0
et la période propre T0 de l’oscillateur sur la courbe précédente. Que vaut l’argument du cosinus (sa
phase) lorsque t = T0/4 ; T0/2 ; 3T0/4 et T0 ?
1.2.6. En considérant que la fonction cosinus est périodique de période 2.π, montrer que la période
propre de l’oscillateur a pour expression T0 =
k
m
2
.
1.2.7. Vérifier l’homogénéité de l’expression de la période propre T0 par une analyse
dimensionnelle.
(k)
G (m)
O
x(t)
i
E
x
x'
(k)
G (m)
O
x(t)
i
E
x
x'

(k)
G (m)
O
x(t)
i
E
x
x'
Graphe n°2 :