mécanique

1
TS
Cours Physique
Chap 8
Modélisation des oscillateurs
D’une certaine manière, l’attitude scientifique consiste à
ramener le « changeant » au « permanent » (ouah… ça en
jette dans une dissertation de philo ou dans une discussion en
discothèque !). Je m’explique : le « changeant » ce sont les
phénomènes auxquels la physique s’intéresse et qui évoluent
dans le temps (mouvement d’un objet, oscillations d’un pont
ou d’un courant…). Et le « permanent » ce sont les lois
universelles que les physiciens élaborent à partir de
l’observation des phénomènes et qui ne doivent pas faire
référence au temps.
Pour y arriver, les physiciens utilisent le formalisme mathématique qui leurs fournit :
- des outils intéressants mais en nombre limité (pour la TSMP : 4 opérations de base (+ , − ,  , /) et la dérivation et l’intégration),
- des possibilités de décrire les grandeurs physiques également en nombre limité (pour la TSMP : scalaire (masse par ex) et
vecteur (force par ex)).
Bref, ces limites nous permettent de « retomber assez vite sur les mêmes équations » pour des thèmes d’étude parfois complètement
différents. C’est ce que va illustrer ce chapitre où l’on a rassemblé les oscillateurs mécaniques et électriques pour les étudier dans un
cadre commun.
I.
Oscillateur sinusoïdal libre non amorti
1) L’oscillateur harmonique à 1 dimension
a) Rappels de 1ère
A une dimension, une coordonnée ou abscisse X permet de repérer l’état d’un oscillateur au cours de son évolution. Ce repérage se
fait par rapport à un état de référence : l’état d’équilibre.
Exemples :
Position d’équilibre
m
- xm
x
m
xm
Position d’équilibre

Abscisse linéaire = longueur
Pendule élastique (mécanique)
Abscisse angulaire = angle
Pendule simple (mécanique)
Abscisse électrique = tension ou intensité
Générateur basses fréquences (électrique)
U ou I
Abscisse angulaire = angle
Pendule de torsion (mécanique)
 L’abscisse notée X d’un oscillateur mesure l’……………………
de l’oscillateur par rapport à son état d’équilibre
Um
Etat
d’équilibre
- Um
 L’amplitude notée Xm correspond à la valeur ……………………
t
de l’abscisse.
2
b) Intérêt général (version math sup…)
On considère un « système » au sens large : planète autour du Soleil,
électron autour du noyau, pendule simple ou élastique, circuit (RLC)…
On suppose que ce système possède une énergie potentielle qui est une
fonction à une dimension d’une coordonnée générale ou abscisse X :
Ep(X). On considère aussi que le système est décrit par une position
d’équilibre pour X = 0 où l’on a Ep(X = 0) = 0
Ep
Approximation
harmonique
Ep = ½ K.X2
X
Rem : Ces hypothèses définissent ce qu’on appelle les « systèmes
conservatifs ». L’énergie potentielle peut être mécanique (pesanteur,
élastique) ou électrique ou magnétique, ou autre…non étudiée en classe.

Courbe
réelle
0
Si l’équilibre est stable, l’énergie potentielle doit être minimum. Ce qui se traduit mathématiquement par  dEp( X ) X 
0
 dx
 X 0
2
et  d Ep( X ) 



dX 2
0

 X 0
Une petite perturbation provoquera un petit écart du système par rapport à sa position d’équilibre. Les mathématiciens nous
disent alors que dans un tel cas, la fonction Ep(x) peut s’approximer par :
Ep(X)  Ep(X = 0) + x* 
dEp( X ) 
 d 2 Ep( X )  c’est ce que l’on appelle le « développement limité de Ep(x) au
1

 + X 2 * 
2
 dX  X 0 2
 dX
 x 0
voisinage de X = 0 » ou encore « formule de Taylor ».
2
Dans notre cas précis, Ep(X)  0 + X*0 + 1 X 2 *  d Ep( X )  = 1 K * X 2 avec K =
 dX 2 
2

 x 0 2
 d 2 Ep( X ) 


0
2
 dX
 X 0
Cette formule rappelle celle de l’énergie potentielle élastique d’un système « masse-ressort » ou pendule élastique :
Epe = 1 k * x 2 avec dans ce cas k = cte de raideur du ressort.
2
Par analogie des équations, nous pourrons modéliser tout système physique faiblement perturbé au voisinage d’une position
d’équilibre stable par un pendule élastique.
A retenir : Au voisinage d’une position d’équilibre ……………………., tout système physique ………………………..…perturbé
peut être modélisé par un pendule élastique ou ……………………………………………..
Rem 1: cette modélisation concerne aussi bien l’échelle cosmologique (modélisation de l’atmosphère terrestre sous l’effet d’une
éruption (Krakatoa 1883), modélisation des masses d’eau sous l’action conjuguée de la Lune et du Soleil (marées) que l’échelle
microscopique (modélisation sous l’effet d’une excitation (rayonnement ou chaleur) du comportement des électrons autour du
noyau, ou des atomes autour de leur position d’équilibre dans une molécule…)
Rem 2: cette modélisation permet d’étudier facilement la résonance des systèmes modélisés, pour le meilleur (instruments de
musique, LASER, IRM en médecine, four à micro-onde, tympan de l’oreille… ) ou pour le pire (pont de Tacoma en haut, machines
tournantes, voitures… )
c)
L’équation horaire
Dans le cas du pendule élasique horizontal, nous avions vu en 1 ère que l’abscisse X
obéit à l’équation horaire :
Abcisse X = x, , , U, I…
xm
X(t) = Xm.cos(.t+)
Position
d’équilibre
Avec Xm : amplitude des oscillations,
 : pulsation propre de l’oscillateur = 2  2 . f 0
T0
T0 et f0 sont les périodes propres et fréquences propres
t
- xm
3
 est une constante appelée : phase initiale. Sa valeur est déterminée par les conditions initiales.
Ex : sur la figure de droite X(t = 0) = Xm.cos(0*t + ) = Xm.cos()= Xm. donc cos()= ……… et  = ………..
Nous généralisons ces résultats à tous les oscillateurs dits « harmoniques ».
L’équation horaire de l’évolution (par rapport à sa position d’équilibre) d’un oscillateur harmonique libre non amorti est une
fonction sinusoïdale du temps : X(t) = ……………………………….
d) L’équation différentielle
X(t) = Xm.cos(.t+)  X 
2
dX
  d X = ……………………………………
= ……………………………………….et X
dt
dt 2
   2 . X  ……………………………………….............................................................................................
On remarque que : X
0
L’équation différentielle caractéristique d’un oscillateur harmonique libre non amorti est de la forme : ………………………..
e)
Intérêt général (version TSMP…)
Si l’étude d’un phénomène physique quelconque conduit à une équation différentielle de la forme : X  K . X  0, avec K > 0,
alors on peut énoncer le résultat suivant sans démonstration supplémentaire :
Le système se comporte comme un oscillateur harmonique libre non amorti de pulsation propre 02 = ……. donc 0 = …….
Alors T0 = ……………….. et f0 = ……………………..
2) Le pendule élastique horizontal
a) L’équation différentielle
z
On néglige tous les frottements. Appliquer le PFD pour établir l’équa-diff
du mouvement. En déduire les expressions de 0 et 0
Syst :
(0)
x
Ref :

F
 ext : (à représenter)
- xm
x
Position d’équilibre
xm
PFD (appliqué au cdi) :
b)
Mouvement du solide
Trouver les équations horaires :

de la position x(t) :

de la vitesse vx(t) = x :

et de l’accélération ax(t) = x :
Rem : l’accélération est en …………………………………………….. par rapport à la position et la vitesse est en ………………....
………………………… sur la position
4
Détermination de  : influences des conditions initiales (CI)
Ecrire les équations horaires pour t = 0 :

de la position x(t = 0) :

et de la vitesse vx(t = 0) :
En déduire les expressions de cos et de sin en fonction des valeurs initiales et des valeurs maximales :
cos = ………………. et sin = ……………….
Application : déterminer la valeur de  dans les 3 cas suivants :
C.I n° 1 : à t = 0, le pendule est lâché sans vitesse initiale (vx0 = 0) à partir de l’abscisse x0 = xm
C.I n° 2 : à t = 0, le pendule est lâché avec sa vitesse maximale (vx0 = vxm) à partir de sa position d’équilibre x0 = 0
C.I n° 3 : Quelle vitesse initiale (vx0) doit-on donner au pendule à partir d’une position initiale x0 = xm / 2 pour qu’il arrive
bien à sa position maximale xm ?
c)
Conservation de l’énergie
Trouver les équations horaires :

de l’énergie cinétique Ec(t) :

de l’énergie potentielle élastique Epe(t) :

de l’énergie mécanique totale Em(t) :
Conclusion : L’énergie mécanique totale d’un pendule élastique horizontal non amorti est ………………………
Durant
les
oscillations
mécaniques
dont
l’amplitude
est
constante,
il
y
a
transformation
mutuelle
d’énergie
………………………………………………………… en énergie ……………………………… sans pertes.
Retrouver l’équa-diff du mouvement en dérivant l’expression générale de l’énergie mécanique :
3) Le dipôle (L,C)
a) L’équation différentielle
On néglige toute résistance électrique. Appliquer la loi d’additivité
des tensions pour établir l’équa-diff du dipôle. En déduire les
expressions de 0 et 0
A
E
i
uC
C
B
(L, r = 0)
uL
D
5
b) Variations de q et i
Trouver les équations horaires :

de la charge q(t) et de la tension uc(t) aux bornes du condensateur :

de l’intensité i(t) = q :

de la tension uL(t) aux bornes de la bobine :
Rem : uL(t) est en …………………………………………….. par rapport à uc(t) et l’intensité i(t) est en ………………....
………………………… sur la charge q(t)
c) Conservation de l’énergie
Trouver les équations horaires :

de l’énergie potentielle électrique Ee(t) :

de l’énergie potentielle magnétique Em(t) :

de l’énergie électromagnétique totale Eem(t) :
Conclusion : L’énergie électromagnétique totale d’un dipôle (L,C) sans résistance est ………………………
Durant
les
oscillations
électriques
dont
l’amplitude
est
constante,
il
y
a
transformation
mutuelle
d’énergie
………………………………………………………… en énergie ……………………………………………… sans pertes.
Retrouver l’équa-diff du mouvement en dérivant l’expression générale de l’énergie mécanique :
4) Le pendule simple
a) L’équation différentielle
On néglige tous les frottements. Appliquer le PFD et effectuer une projection sur l’axe (M,
la base de Frenet pour trouver une relation entre m, g, sin et dv/dt :
Syst :
Ref :


Position d’équilibre
) de
m
m

F
ext
: (à représenter)
PFD (appliqué au cdi) :

6

Sachant que v = .l = .l (avec  vitesse angulaire), trouver une relation entre, g, l, sin et  (avec  accélération angulaire)
 Lorsque  reste petit, on peut utiliser l’approximation suivante : sin  
En déduire l’équa-diff des petits mouvements et les expressions de 0 et 0
Rem : on retrouve les résultats que l’on connaissait déjà (classe de 1ère)et qui ne sont valables que pour les petites amplitudes, sinon
notre approximation sin   n’est plus valable… On retrouve ici l’idée d’un système physique faiblement perturbé autour de sa
position d’équilibre qui se comporte comme un oscillateur (harmonique).
II. Oscillateur sinusoïdal libre amorti
1) Le circuit (R,L,C) série
a) L’équation différentielle
On ajoute une résistance électrique au circuit précédent. Cette
résistance est responsable de l’amortissement des oscillations.
Appliquer la loi d’additivité des tensions pour établir l’équa-diff du
circuit. La mettre sous la forme : q
  A.q  0 2 .q  0
Donner les expressions de A et 0
A
E
R
i
uR
uC
C
B
(L, r = 0)
uL
D
0 est encore la …………………………………….…… du circuit oscillant.
A est un terme supplémentaire responsable de l’……………………………..….. des oscillations. Donner sa dimension
b) Pertes d’énergie
On a
q
 R.q  L.q  0 (1)
C
A l’aide de quelques manipulations mathématiques, montrer que la variation élémentaire de l’énergie électromagnétique
dEem correspond au travail perdu par effet Joule à cause de la résistance du circuit.
Conclusion : La diminution de l’énergie électromagnétique totale d’un dipôle (R,L,C) correspond aux pertes par effet Joule à cause
de la ………………………………….
7
2) Le pendule élastique horizontal amorti
a) L’équation différentielle
z

On modélise les forces de frottement par une résultante f proportionnelle


(0)
au vecteur vitesse de l’oscillateur et de sens opposé : f   .v .
(modélisation valable aux petites vitesses voir cours de 1 ère)
Appliquer le PFD pour établir l’équa-diff du mouvement. La mettre sous
2
la forme : x  A.x  0 .x  0
Donner les expressions de A et 0
Syst :
Ref :
- xm
x
Position d’équilibre
x
xm

F
 ext : (à représenter)
PFD (appliqué au cdi) :
0 est encore la …………………………………….…… du circuit oscillant.
A est un terme supplémentaire responsable de l’……………………………..….. des oscillations. Donner sa dimension
b) Pertes d’énergie
On a m.x  .x  k.x  0 (1)
A l’aide de quelques manipulations mathématiques, montrer que la variation élémentaire de l’énergie mécanique dEm correspond
au travail perdu par la force de frottement.
Conclusion : La diminution de l’énergie mécanique totale d’un pendule élastique correspond aux pertes par travail mécanique à
cause des ………………………………….
3) Solutions des équations différentielles
L’équation différentielle caractéristique d’un oscillateur harmonique libre amorti est de la forme : …………………………...
A est le terme d’…………………………………. .
Rem : Le terme
1
qui possède la dimension d’une …………………………… est appelé temps de relaxation du système. Il
A
caractérise la durée de l’amortissement des oscillations.
8
L’étude des solutions de cette équa-diff n’est pas au programme.
2
La résolution de l’équation caractéristique associée : r 2  A.r  0  0 donne 3 types de solutions suivant la valeur de A (et donc
suivant le signe du discriminant correspondant à l’équation caractéristique)
a) Amortissement faible (A petit)
La solution est de la forme : X  B.e
A
 t
2
Abcisse X = x, , , U, I…
. cos(.t   ) avec B = cte
Xm
Cette solution correspond au régime …………………………………………
La pseudo-période T est légèrement supérieure à la période propre T0.
b) Amortissement critique (A = 2 0)
La solution est de la forme : X  ( B  C.t ).e
A
 t
2
Position
d’équilibre
t
- Xm
Abcisse X = x, , , U, I…
avec B et C = cte
Xm
Cette solution correspond au régime …………………………………………
C’est le cas où l’amortissement des oscillations st le plus ………………..
c) Amortissement important (A grand)
e
A
 t
2
Position
d’équilibre
t
- Xm
Abcisse X = x, , , U, I…
La solution est de la forme : X  B.e r1t  C.e r2t avec r1 et r2 et C = cte < 0
Cette solution correspond au régime …………………………………………
En pratique, X s’amortit principalement en B.e 
e
A
 t
2
r .t
Xm
Position
d’équilibre
- Xm
e
 r .t
t
9
III. Analogies électromécaniques
Voici pour finir (et pour le plaisir…comme l’aurait chanté Herbert Léonard) un tableau récapitulant les analogies entre grandeurs
mécaniques et grandeurs électriques.
Oscillateurs
mécanique
électrique
Pendule élastique
Circuit (RLC) série
Variable (grandeur perturbée)
Abscisse linéaire
Charge électrique
Limite étude
x petit
q
Dérivée première de la variable
Vitesse linéaire
Intensité électrique
v = x = dx/dt
i = q = dq/dt
Dérivée seconde de la variable
Accélération linéaire
a = x = d2x/dt2
q = d2q/dt2
Inertie du système
Masse m
Inductance L
Action « inertielle »
Force
Tension
PFD:
Additivité tensions :
Loi physique associée


Fext  m.x
Grandeur s’opposant
Ressort de constante de raideur
à la perturbation
k
Action « de rappel » vers l’état d’équilibre


FR   k .x
- uC = - q / C
Grandeur « dissipative »
Coefficient de frottement 
Résistance électrique R
Action « dissipative »


f   .v .
- uR = - R.i
Equation différentielle (du système)
Equation horaire sans amortissement
Période propre T0 
2
0
x 

m
.x 
k
.x  0
m
x = xm.cos (0t + φ)
2
m
k
- uC - uR = uL = L. q
Condensateur dont l’inverse
de la capacité électrique est :
1/C
q 
R
1
.q 
.q  0
L
LC
q = qm.cos (0t + φ)
2 LC
Energie potentielle
Epe = ½ k.x2
Ee = ½ q2/ C
Energie « inertielle »
Ec = ½ m.v2
Em = ½ L.i 2
Travail dissipatif élémentaire
dW(f) = -v.dx = f.dx
dW(uR) = - R.i2.dt = dWJ
= f.v.dt = P(f).dt
= - uR. i.dt = PJ.dt
dEm = dW(f)
dEem = dWJ
Perte d’énergie