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1ERE S CHAPITRE 2 : TRIGONOMÉTRIE
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Soit (O ; I, J) un repère orthonormé du plan.
I Cercle trigonométrique
1. Définition
2. Le radian
Les mesures en radians sont proportionnelles aux mesures en degrés. D’où le tableau de proportionnalité
ci-dessous :
Degrés
0°
30°
45°
60°
90°
180°
x (en radians)
0
6
6
6
6
3. Cosinus et sinus d’un réel
Le tableau suivant donne les valeurs usuelles :
Définition 1
Le cercle de centre O et de rayon 1 sur lequel on a choisi un sens positif,
le sens inverse des aiguilles d'une montre, est appelé cercle trigonométrique.
Le sens positif est le sens direct. L’autre sens est le sens négatif ou indirect.
Propriété 2
Soit
x
un réel et M le point du cercle trigonométrique associé au réel
x
, alors le point M est associé à tous
les réels de la forme
 2kx
, où
k
est un réel.
Propriété 1
Soit 𝒟 la tangente au cercle trigonométrique au point I. Et K le point de 𝒟 de coordonnées (1 ; 1).
Par le procédé de l’enroulement de 𝒟 autour du cercle :
 à tout point de 𝒟, d’abscisse
x
, correspond un point M du cercle ;
 tout point du cercle est associé à une infinité de points de l’axe 𝒟.
𝒟
Définition 3
Soit M le point du cercle trigonométrique associé au réel
.
On appelle cosinus du réel
, l’abscisse du point M.
On appelle sinus du réel
, l’ordonnée du point M.
Définition 2
Le radian est la mesure de l’angle géométrique interceptant un arc
de longueur 1sur le cercle trigonométrique.

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Exercice
En s'aidant du cercle trigonométrique, démontrer que pour tout x réel
1
22  xsinxcos
.
Exemple 1 Calculons
3
19
cos
et
4
7
sin
1.
23
33
18
33
19
, donc
2
1
3
23
33
19  coscoscos
2.
21
44
8
44
7
, donc
2
2
4
21
44
7
sinsinsin
II Mesures d’un angle orienté de vecteurs
1. Angle orienté de vecteurs non nuls
Exemple 2
23
66
36
66
37
, or
6
]- π ; π] et l’entier k vaut 5. Ainsi la mesure principale de
6
37
est
6
.
2. Propriétés des angles orientés
Propriété 4
Deux vecteurs non nuls sont colinéaires si, et seulement si :
 2kv ,u
ou
 2kv ,u
, avec k un
entier.
Propriété 3 : Pour tout réel
,
 – 1≤ cos
≤ 1 et – 1≤ sin
≤ 1
 cos (
+2k
) = cos
et sin (
+2k
) = sin
, avec k un entier
1
22  sincos
Définition 4
Soit
u
et
v
deux vecteurs non nuls. Soit 𝒟1et 𝒟2 les demi-droites
d’origine O, ayant pour direction respectives
u
et
v
et coupant le cercle
trigonométrique en A et B, alors l’angle orienté
v ,u
est le couple
OB ,OA
.
Définition 5
Parmi les mesures
 2kx
d’un angle orienté
v ,u
de deux vecteurs non nuls, il existe une et une seule
dans l’intervalle]- π ; π]. Cette mesure est la mesure principale de
v ,u
.
Propriété 5
Deux vecteurs non nuls sont orthogonaux si, et seulement si :
2
2kv ,u
ou
 2
2kv ,u
, avec k
un entier.

1ERE S CHAPITRE 2 : TRIGONOMÉTRIE
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Corollaire de la relation de Chasles :
Pour tous vecteurs
u
et
v
non nuls :
 2ku ,vv ,u
, avec k entier :
v ,u
et
u ,v
sont opposés.
 2kv ,uv ,u
, avec k entier.
 2kv ,uv ,u
, avec k entier.
III Trigonométrie
1. Angles associés
2. Équations trigonométriques
Exemple 3
 Les solutions de l’équation
3
cosxcos
sont
k2
3
et
k2
3
 Les solutions de l’équation
6
sinxsin
sont
k2
6
et
k2
6
5
Propriété 6 Relation de Chasles
Pour tous vecteurs non nuls
u
,
v
et
w
, on a :
 2kw ,uw ,vv ,u
, avec k entier.
Propriété 7
Les fonctions cosinus et sinus possèdent des propriétés particulières dues à la symétrie. Pour tout x réel, on
a :
xcosxcos 
;
xcosxcos 
;
xcosxcos 
xsinxsin 
;
xsinxsin 
;
xsinxsin 
Propriété 8
Pour tout x réel, on a :
xsinxcos 
2
;
xsinxcos 
2
xcosxsin 
2
;
xcosxsin 
2
Propriété 9
Soit
un nombre réel.
L’équation
cosxcos
a pour solutions les nombres réels
 kx 2
et
 kx 2
où k
ℤ
Propriété 10
Soit
un nombre réel.
L’équation
 sinxsin
a pour solutions les nombres réels
 kx 2
et
 kx 2
où k
ℤ