dm1-2012 ( PDF

TS1 :DM n◦1
1) remplir un tableau de v´erit´e avec :A,B,(A et B ).
2) d´emontrer, grace `a des tableaux de v´erit´es, les synonymies : dualit´e et con-
trapos´ee
3) le raisonnement par l’absurde fonctionne ainsi :pour montrer qu’une assertion
est vraie ,on suppose quelle est fausse et on montre que cela entraine un r´esultat
absurde. On peut donc en conclure qu’elle est vraie.
exemple: voici un r´esultat classique: √2 est irrationnel.(un nombre rationnel
est le quotient de deux nombres entiers)
raisonnement par l’absurde :supposons que √2 soit rationnel .on a alors:
√2 = pq ,pet q´etant des entiers ( qnon nul)
on peut supposer que pet qne sont pas tous les deux pairs (sinon on simplifie
par 2 . . . . )
Cela implique: .√2q=p.en ´elevant au carr´e on obtient: 2q2=p2
Cela entraˆıne que pest pair (un nombre impair au carr´e est impair).
notons p= 2p0.
On a donc: p2= 4p2
0d’o`u q2= 2p2 0ce qui entraˆıne que q2est pair et donc q
´egalement. C’est absurde car on avait suppos´e le contraire.
√2 est donc bien irrationnel.
Exercices:
d´emontrer que si aest rationnel (non nul) et birrationnel,cela entraine que ab
est irrationnel.
d´emontrer que √3 est irrationnel.
4) ´enoncer la contrapos´ee de :je suis un ´el`eve s´erieux donc je rends mes DM `a
la date pr´evue
5) ´enoncer le contraire de: je suis modeste et intelligent
6) ( on suppose dans cette question que les chats sont blancs ou noirs)
´enoncer le contraire de: tous les chats sont blancs.
1