Raisonnement par l`absurde

2014-2015
Logique
Raisonnement par l’absurde
Pour prouver qu’une proposition P est vraie, on suppose que P est fausse et
on aboutit à une contradiction.
Exemple 1
Démontrons par l’absurde que 0 n’a pas d’inverse.
On suppose que 0 a un inverse a, alors a × 0 = 1.
Or, 0 × a = 0, on aboutit donc à 0 = 1, ce qui est absurde.
Donc 0 n’a pas d’inverse.
Exemple 2
Démontrons par l’absurde que : pour tout nombre réel x 6= −2, on a
x+1
6= 1.
x+2
x+1
= 1.
x+2
x+2
Pour tout réel x 6= −2,
= 1 ⇐⇒ x + 2 = x + 1 ⇐⇒ 2 = 1, ce qui est absurde.
x+1
x+2
On a donc : pour tout réel x 6= −2,
6= 1.
x+1
On suppose qu’il existe un nombre réel x 6= −2 tel que
Exemple 3
√
Démontrons, par l’absurde, que 2 est un nombre irrationnel.
√
On suppose que 2 est un nombre rationnel.
√
p
Il s’écrit donc 2 = , avec p et q deux entiers naturels premiers entre eux.
q √
On en déduit alors p = q 2 puis p2 = 2q 2 .
p2 est donc un nombre pair, et par conséquent p est un nombre pair (pour une démonstration,
voir fiche raisonnement par contraposée), il s’écrit p = 2p′ , p′ étant un entier naturel.
On a alors (2p′ )2 = 2q 2 ⇐⇒ 4p′2 = 2q 2 ⇐⇒ 2p′2 = q 2 .
On en déduit, de même que précédemment, que q est un nombre pair.
On aurait donc p et q pairs, ce qui absurde car on a supposé que p et q étaient premiers entre
eux.
√
On en conclut donc que 2 est un nombre irrationnel.
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