Raisonnement par l`absurde

2014-2015 Logique
Raisonnement par l’absurde
Pour prouver qu’une proposition P est vraie, on suppose que P est fausse et
on aboutit à une contradiction.
Exemple 1
Démontrons par l’absurde que 0 n’a pas d’inverse.
On suppose que 0 a un inverse a, alors a×0 = 1.
Or, 0 ×a= 0, on aboutit donc à 0 = 1, ce qui est absurde.
Donc 0 n’a pas d’inverse.
Exemple 2
Démontrons par l’absurde que : pour tout nombre réel x6=−2, on a x+ 1
x+ 2 6= 1.
On suppose qu’il existe un nombre réel x6=−2 tel que x+ 1
x+ 2 = 1.
Pour tout réel x6=−2, x+ 2
x+ 1 = 1 ⇐⇒ x+ 2 = x+ 1 ⇐⇒ 2 = 1, ce qui est absurde.
On a donc : pour tout réel x6=−2, x+ 2
x+ 1 6= 1.
Exemple 3
Démontrons, par l’absurde, que √2 est un nombre irrationnel.
On suppose que √2 est un nombre rationnel.
Il s’écrit donc √2 = p
q, avec pet qdeux entiers naturels premiers entre eux.
On en déduit alors p=q√2 puis p2= 2q2.
p2est donc un nombre pair, et par conséquent pest un nombre pair (pour une démonstration,
voir fiche raisonnement par contraposée), il s’écrit p= 2p′,p′étant un entier naturel.
On a alors (2p′)2= 2q2⇐⇒ 4p′2= 2q2⇐⇒ 2p′2=q2.
On en déduit, de même que précédemment, que qest un nombre pair.
On aurait donc pet qpairs, ce qui absurde car on a supposé que pet qétaient premiers entre
eux.
On en conclut donc que √2 est un nombre irrationnel.
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