Rappels sur les ensembles numériques.

Universit´e Blaise Pascal Module S1 A ou B Math
D´epartement de Math´ematiques Ann´ee 2007-2008
http://math.univ-bpclermont.fr/~royer/ens/L1S1/
Rappels sur les ensembles num´eriques.
Exercice 1
Soit aun irrationnel. Montrer que l’ensemble {x∈Q|0≤x≤a}est
major´e et minor´e. Poss`ede-t-il un plus petit, resp. un plus grand, ´el´ement ?
Exercice 2
Dire si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses :
a) la somme de deux irrationnels est un irrationnel ;
b) le produit de deux irrationnels est un irrationnel ;
c) la somme d’un rationnel et d’un irrationnel est un irrationnel ;
d) le produit d’un irrationnel par un rationnel est un irrrationnel.
Exercice 3
Soit x,y,aet bdes nombres r´eels. Pour chacune des implications suivantes,
dire si elle est vraie (et le prouver) ou fausse (et donner un contre-exemple).
a) x < 2⇒x2>4 ;
b) (0 < x < y et a < b)⇒xa < yb ;
c) (xy 6= 0 et x < y)⇒1
x>1 y;
d) (xy > 0etx < y)⇒1
x>1 y.
Exercice 4
Comparer 6√5 et 8√3, puis 1
√6−√5et 3 √5−√2+4 √6 + √2.
Exercice 5
R´esoudre dans Rles in´egalit´es :
a) |2 + x|<|1 + x|;
b) |x−a|<|a|o`u aest un r´eel non nul.
Exercice 6
Si aet bsont des r´eels positifs, montrer que
√a+√b≤2√a+b.
1

Exercice 7
Soient a, b, c trois nombres r´eels strictement positifs. D´emontrer que
ab
a+b≤a+b 4
puis que
ab
a+b+bc b+c+ac a+c≤a+b+c 2.
Exercice 8
Le maximum de deux nombres xet y(c’est `a dire le plus grand des deux)
est not´e max(x, y). On note min(x, y) le plus petit des deux. D´emontrer que
max(x, y) = x+y+|x−y|
2
et trouver une formule analogue pour min(x, y) et max(x, y, z).
Exercice 9
D´emontrer les assertions suivantes :
a) soit aun r´eel. Alors a= 0 si et seulement si, pour tout r´eel ε > 0, on a
|a| ≤ ε;
b) soit aun r´eel. Alors a= 0 si et seulement si, pour tout r´eel ε > 0, on a
|a|< ε ;
c) soit aet bdes r´eels. Alors a≤bsi et seulement si, pour tout entier
naturel n, on a a≤b+1
n+ 1.
Exercice 10
Montrer qu’il n’existe aucun nombre rationnel wv´erifiant pour tout entier
n≥1, l’encadrement
n
X
k=0
1
k!< w <
n
X
k=0
1
k!+1 n!.
Exercice 11
D´eterminer (si elles existent) les bornes sup´erieures et inf´erieures de l’en-
semble
A=n−(−1)n
n:n∈N, n ≥1.
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