Rappels sur les ensembles numériques.

Université Blaise Pascal
Département de Mathématiques
Module S1 A ou B Math
Année 2007-2008
http://math.univ-bpclermont.fr/~royer/ens/L1S1/
Rappels sur les ensembles numériques.
Exercice 1
Soit a un irrationnel. Montrer que l’ensemble {x ∈ Q | 0 ≤ x ≤ a} est
majoré et minoré. Possède-t-il un plus petit, resp. un plus grand, élément ?
Exercice 2
Dire si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses :
a) la somme de deux irrationnels est un irrationnel ;
b) le produit de deux irrationnels est un irrationnel ;
c) la somme d’un rationnel et d’un irrationnel est un irrationnel ;
d) le produit d’un irrationnel par un rationnel est un irrrationnel.
Exercice 3
Soit x, y, a et b des nombres réels. Pour chacune des implications suivantes,
dire si elle est vraie (et le prouver) ou fausse (et donner un contre-exemple).
a) x < 2 ⇒ x2 > 4 ;
b) (0 < x < y et a < b) ⇒ xa < yb ;
1
1
c) (xy 6= 0 et x < y) ⇒ > ;
x
y
1
1
d) (xy > 0 et x < y) ⇒ > .
x
y
Exercice 4
√
√
3
4
1
√ et √
√ +√
√ .
Comparer 6 5 et 8 3, puis √
6− 5
5− 2
6+ 2
Exercice 5
Résoudre dans R les inégalités :
a) |2 + x| < |1 + x| ;
b) |x − a| < |a| où a est un réel non nul.
Exercice 6
Si a et b sont des réels positifs, montrer que
√
√
√
a + b ≤ 2 a + b.
1
Exercice 7
Soient a, b, c trois nombres réels strictement positifs. Démontrer que
a+b
ab
≤
a+b
4
puis que
bc
ac
a+b+c
ab
+
+
≤
.
a+b b+c a+c
2
Exercice 8
Le maximum de deux nombres x et y (c’est à dire le plus grand des deux)
est noté max(x, y). On note min(x, y) le plus petit des deux. Démontrer que
max(x, y) =
x + y + |x − y|
2
et trouver une formule analogue pour min(x, y) et max(x, y, z).
Exercice 9
Démontrer les assertions suivantes :
a) soit a un réel. Alors a = 0 si et seulement si, pour tout réel ε > 0, on a
|a| ≤ ε ;
b) soit a un réel. Alors a = 0 si et seulement si, pour tout réel ε > 0, on a
|a| < ε ;
c) soit a et b des réels. Alors a ≤ b si et seulement si, pour tout entier
1
naturel n, on a a ≤ b +
.
n+1
Exercice 10
Montrer qu’il n’existe aucun nombre rationnel w vérifiant pour tout entier
n ≥ 1, l’encadrement
n
n
X
X
1
1
1
<w<
+ .
k!
k! n!
k=0
k=0
Exercice 11
Déterminer (si elles existent) les bornes supérieures et inférieures de l’ensemble
(−1)n
A= n−
: n ∈ N, n ≥ 1 .
n
2