Reductio ad absurdum

Reductio ad absurdum
1. Le raisonnement par l’absurde.
« Le raisonnement par l'absurde (du latin reductio ad absurdum) ou apagogie (du grec
ancien apagôgê) est une forme de raisonnement logique, philosophique, scientifique consistant
soit à démontrer la vérité d'une proposition en prouvant l'absurdité de la proposition
complémentaire (ou "contraire"), soit à montrer la fausseté d'une autre proposition en en
déduisant logiquement des conséquences absurdes. »
http://fr.wikipedia.org/wiki/Raisonnement_par_l%27absurde
2. Exemples de preuves par l’absurde
Théorème (Euclide -300, IX.20) Il existe une infinité de nombres premiers1.
dém. Par l’absurde ! Supposons que non. Il existe donc un nombre fini de nombres premiers :
2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; … ; pn (le n-ième et le dernier nombre premier). Considérons le nombre
N=1+2!3!5!...!pn
. Ce nombre N doit forcément être composé (car il est > pn) et donc divisible
par un nombre premier pk (cf. Euclide.VII.32). D’où
N=pk!M
(avec
M!!
) . Mais alors
pk!2 ; 3 ; 5 ; ... ; pn
{ }
. Ceci est absurde, car nous aurions alors 1 qui serait un multiple de pk :
1=N!2"3"5"..."pn=pk"M!pk"(2 "3"5"...pk!1"pk+1"...."pn)=pk"M!2"3"...pk!1"pk+1"...."pn
[ ]
.
Théorème (Euclide -300, Livre X, Proposition 67).
2
est irrationnel2
Démonstration par l’absurde : supposons que
2!!
.
Il existe donc a et b des entiers positifs avec pgcd(a,b)=1 tels que
2=a
b
(car toute fraction admet une forme irréductible). Élevons au carré, multiplions par b2, il vient
alors : 2b2 = a2 . (**)
Lemme. Si le carré d’un entier est pair alors l’entier en question est pair.
En effet : tout impair peut s’écrire sous la forme 2n+1, qui au carré égale
4n2 +4n+1 = 2(2n2 +2n)+1 est un impair (donc le carré d’un impair est forcément impair).
Revenons à nos a et b : par le lemme on a alors que a = 2c où
c!!
, que l’on substitue dans
(**) pour obtenir : 2b2 = 4c2 c’est-à-dire b2 = 2c2, ce qui est absurde, car à nouveau par le
lemme b serait aussi pair. Or nous avions imposé que pgcd(a,b)=1 ! Notre hypothèse de départ
(
2!!
) sur laquelle s’appuyait tout notre raisonnement devait donc être fausse.
Proposition.
a) Si α est irrationnel et b est rationnel alors α + b est irrationnel.
b) Si α est irrationnel et b est rationnel (≠ 0) alors α · b est irrationnel.
Preuve. Par l’absurde !
a) Sinon,
! +b=c"!
. Mais dans ce cas nous aurions alors
! =c"b#!
.
b) Sinon,
! "b=c#!
. Mais dans ce cas nous aurions alors
! =c÷b"!
.
1"La"formulation"dans"le"Livre"IX,"Proposition"20"des"Eléments"est":"Les*nombres*premiers*sont*plus*nombreux*
que*toute*multitude*de*nombres*premiers*proposée."
2 L’énoncé d’Euclide est formulé dans un langage géométrique : il démontre que la diagonale
d’un carré est incommensurable avec le côté du carré.

Conclusion. Il existe bien une infinité de nombres irrationnels et l’on peut même démontrer (en
Math niv. 2 uniquement) qu’il existe une infinité non dénombrable d’irrationnels !!!
Théorème (G. Cantor, 1891). Les nombres réels sont indénombrables
Preuve que l’intervalle I = ]0 ;1[ est indénombrable. Par l’absurde !
Supposons qu’il existe une bijection de
!*
sur I qui envoie
i!ai où ai!]0;1[
que l’on écrit
sous forme décimale :
1! a1=0,b11b
12b 13b 14b 15...
2!a2=0,b21b22b23b24b25 ...
3!a3=0,b
31b 32b33b 34b 35...
" #
Posons
c=0,b
11b22b 33...
le nombre diagonal transfiguré, où chaque
bii
est un chiffre compris
entre 1 et 8 différent de
bii
. Il s’ensuit que le nombre c est bien compris entre 0 et 1 mais qu’il
ne peut figurer dans la liste. D’où il n’y avait pas bijection entre
!
et I.