Ensembles de nombres

Activit´e de math´ematiques (correction)
Ensembles de nombres
1 (Ir)rationalit´e et Op´erations
1. Soient x=p
qet y=m ndeux nombres rationnels. Alors x+y=pn+mq qn est un nombre
rationnel.
2. Soit x=p
qun nombre rationnel et yun nombre irrationnel. La somme x+yne peut pas
ˆetre un nombre rationnel x+y=m
ncar sinon y=m n−x=m n−p qserait un nombre
rationnel d’apr`es la question pr´ec´edente. La somme x+yest donc un nombre irrationnel.
3. La somme de deux nombres irrationnels n’est pas forc´ement un nombre irrationnel comme
le montre l’exemple suivant : Soient x=−√2 qui est un nombre irrationnel et y= 1 + √2
qui est aussi un nombre irrationnel d’apr`es la question pr´ec´edente, alors x+y= (−√2) +
(1 + √2) = 1 est un nombre rationnel.
4. On montre de la mˆeme fa¸con que le produit de deux nombres rationnels est un nombre
rationnel et que le produit d’un nombre rationnel par un nombre irrationnel est un nombre
irrationnel. En revanche, le produit de deux nombres irrationnels n’est pas forc´ement
irrationnel comme le montre l’exemple suivant : √2×√2 = 2.
2 Le «nombre d’or »
1. La construction est la suivante :
OI
J K
L P
2. En utilisant le th´eorˆeme de Pythagore dans le triangle KIL rectangle en I, on obtient
LK =√5
2d’o`u : OP =OL +LP =1 2+√5 2=1+√5 2.
3.
φ2= 1 + √5
2!2
=1 + 2√5 + 5
4=3 + √5 2
φ+ 1 = 1 + √5
2+ 1 = 1 + √5 + 2 2=3 + √5 2
Donc :
φ2=φ+ 1
1/2

Activit´e de math´ematiques (correction) Ensembles de nombres
4. En divisant par φ(qui est non nul d’apr`es l’´egalit´e pr´ec´edente) on obtient :
φ= 1 + 1
φ
3 Irrationalit´e de √2
1. On ´el`eve au carr´e la relation √2 = p
qce qui donne 2 = p2
q2d’o`u 2 ×q2=p2.
2. (a) dernier chiffre de p0123456789
dernier chiffre de p20149656941
(b) dernier chiffre de q0123456789
dernier chiffre de 2 ×q20288202882
3. (a) Le dernier chiffre de p2= 2 ×q2est donc obligatoirement 0.
(b) pse termine donc par 0 et qpeut donc se terminer par 0 ou 5.
4. La fraction p
qn’est donc pas irr´eductible car pet qsont tous deux divisibles par 5.
5. On ne peut donc pas ´ecrire √2 sous la forme d’un fraction p
qirr´eductible et donc √2 n’est
pas un nombre rationnel.
2/2