Activité 2 Racine carrée de 2 2 F Pour les grecs anciens, en

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Activité 2 Racine carrée de 2 2
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F
Pour les grecs anciens, en particulier pour l’école Pythagoricienne (les disciples du célèbre
Pythagore) les nombres étaient des objets parfaits et qui devaient dans leur perfection s’écrire
sous forme de fraction.
Or, grâce au théorème de Pythagore, si on trace un triangle isocèle de côtés un mètre,
l’hypoténuse mesure alors 2 mètres. Et nous allons montrer que ce nombre bien qu’existant
vraiment ne peut pas s’écrire sous forme de fraction.
Pour arriver à démontrer cela nous allons raisonner par l’absurde et cela plusieurs fois.
Un raisonnement par l’absurde est un raisonnement où l’on suppose au départ le contraire de
ce que l’on veut montrer. En partant de cette supposition après souvent quelques
raisonnements et calculs, on finit par trouver quelque chose de faux (voir absurde…). Donc il
y a quelque chose qui cloche quelque part… c’est nécessairement la supposition faite au
départ.
But. On veut montrer que 2 est un nombre irrationnel. (irrationnel = qui ne peut pas s’écrire
à l’aide d’une fraction)
Méthode. Nous allons supposer le contraire, c’est à dire qu’il existe deux nombres entiers
naturels a et b, premiers entre eux tel que 2 = a
b . Et en faisant des calculs nous allons aboutir
à une contradiction.
Ce qui est très important c’est que la fraction a
b est irréductible. Cela nous servira pour
obtenir la contradiction. (elle est irréductible car a et b sont premiers entre eux)
Etape 1. Un résultat préliminaire.
Considérons un entier naturel n tel que n
2
est un nombre pair. Montrer alors par l’absurde que
n est un nombre pair.
Etape 2.
On considère donc a et b deux entiers naturels non nuls, premiers entre eux tels que 2 = a
b .
1- Montrer que a
2
= 2b
2
.
2- Quelle est alors la parité du nombre a ?
3- En déduire la parité du nombre b, et trouver alors une contradiction.
Remarque. En fait la plupart des nombres sont irrationnels, mais nous n’en connaissons que
très peu d’exemples… Le nombre
π en est un, ainsi que toutes les racines carrées de nombres
premiers, mais il y en a beaucoup d’autres…
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