Cours d`algèbre Licence appliquée ISET Jerba http://www.isetjb.rnu.tn

Cours d’algèbre
Licence appliquée
ISET Jerba
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Haj Dahmane DHAFER
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21 mars 2014

Table des matières
I Généralités sur les matrices 1
I Définitions et notations ............................. 1
II Opérations sur les matrices ........................... 3
II.1 Somme de deux matrices ......................... 3
II.2 Multiplication d’une matrice par un scalaire .............. 8
II.3 Produit de deux matrices ........................ 13
III Transposée d’une matrice ............................ 25
IV Série d’exercices .................................. 28
II Matrices Carrées 31
I Déterminant d’une matrice carrée ........................ 31
I.1 Déterminant d’une matrice carrée d’ordre n62............ 31
I.2 Déterminant d’une matrice d’ordre n > 2............... 32
I.3 Les propriétés des déterminants ..................... 39
II Matrices carrées inversibles ........................... 45
III Méthode de Gauss ................................ 49
IV Série d’exercices .................................. 50
III Systèmes d’équations linéaires 54
I Définitions ..................................... 54
II Méthodes de résolutions ............................. 56
II.1 Méthode d’élimination substitution ................... 56
II.2 Méthode de Pivot ............................ 57
II.3 Méthode de la matrice inverse ...................... 57
II.4 Méthode de Cramer ........................... 58
III Série d’exercices .................................. 61
IV Nombres complexes (rappels) 63
I Introduction .................................... 63
II Règles de calculs dans C............................. 63
III Interprétation géométrique d’un nombre complexe .............. 64
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TABLE DES MATIÈRES ii
IV Nombres complexes conjugués .......................... 64
V Module d’un nombre complexe ......................... 65
VI Forme trigonométrique d’un nombre complexe ................. 65
VII Racines nièmme d’un nombre complexe ..................... 69
VIII Equations dans C................................. 71
IX Série d’exercices .................................. 72
V Polynômes 74
I Généralités .................................... 74
II Division euclidienne ............................... 79
III PPCM, PGCD de deux polynômes ....................... 82
IV Polynômes irréductibles : ............................. 85
V Racines d’un polynôme .............................. 86
VI Algorithmes .................................... 90
VI.1 Algorithme de Horner .......................... 90
VI.2 Exponentiation rapide .......................... 91
VII Série d’éxercices .................................. 92
VI Fractions rationnelles 94
I Généralités .................................... 94
I.1 Définitions et règles de calcul ...................... 94
I.2 Degré d’une fraction rationnelle ..................... 95
II Racines et pôles d’une fraction rationelle .................... 96
III Décomposition en éléments simples ....................... 97
III.1 Partie entière d’une fraction rationnelle ................ 97
III.2 Partie polaire d’une fraction rationnelle ................ 98
III.3 Décomposition en éléments simples dans C(x).............102
III.4 Méthodes pratiques ............................103
III.5 Décomposition en éléments simples dans R(x).............105
IV Série d’exercices ..................................107
VII−Introduction a l’algèbre linéaire 110
I Espaces vectoriels et applications linéaires ...................114
II Espaces vectoriels de dimension fini .......................116
III Matrice d’une application linéaire ........................116
IV Série d’exercices ..................................117
Bibliographie 119
Index 121
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«On n’enseigne pas ce que l’on sait, on enseigne ce que l’on est»
Jean Jaurès
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Chapitre I
Généralités sur les matrices
Sommaire
I Définitions et notations ........................ 1
II Opérations sur les matrices ..................... 3
II.1 Somme de deux matrices ...................... 3
II.2 Multiplication d’une matrice par un scalaire ............ 8
II.3 Produit de deux matrices ...................... 13
III Transposée d’une matrice ...................... 25
IV Série d’exercices ............................ 28
Dans tout ce chapitre, net psont des entiers naturels non nuls et Kdésigne l’ensemble
Rdes réels ou l’ensemble Cdes nombres complexes.
I Définitions et notations
Définition 1
Une matrice de dimension (n, p)est un tableau rectangulaire de nombres comportant n
lignes et pcolonnes. Ces nombres sont appelés coefficients de la matrice.
Lorsque n=p, on dit que la matrice et une matrice carrée d’ordre n.
Remarque
Une matrice sera représentée par une lettre majuscule,la même lettre en miniscule
sera utilisée pour désigner les coefficients de cette matrice.
Exemple 1
Si Aest une matrice de nlignes et pcolonnes alors pour tout 1≤i, j ≤non désigne par
aij (la même lettre en miniscule) l’élément de la iième ligne et jième colonne de A.
Notations :
1. L’ensemble des matrices de dimension (n, p)à coefficient dans Kest noté M(n,p)(K).
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