Cours d`algèbre Licence appliquée ISET Jerba http://www.isetjb.rnu.tn

Cours d’algèbre
Licence appliquée
ISET Jerba
http://www.isetjb.rnu.tn
Haj Dahmane DHAFER
[email protected]
21 mars 2014
Table des matières
I
Généralités sur les matrices
1
I
Définitions et notations
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
II
Opérations sur les matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
II.1
Somme de deux matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
II.2
Multiplication d’une matrice par un scalaire . . . . . . . . . . . . . .
8
II.3
Produit de deux matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
III
Transposée d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
IV
Série d’exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
II Matrices Carrées
I
31
Déterminant d’une matrice carrée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
I.1
Déterminant d’une matrice carrée d’ordre n 6 2 . . . . . . . . . . . . 31
I.2
Déterminant d’une matrice d’ordre n > 2 . . . . . . . . . . . . . . . 32
I.3
Les propriétés des déterminants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
II
Matrices carrées inversibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
III
Méthode de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
IV
Série d’exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
III Systèmes d’équations linéaires
54
I
Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
II
Méthodes de résolutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
III
II.1
Méthode d’élimination substitution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
II.2
Méthode de Pivot
II.3
Méthode de la matrice inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
II.4
Méthode de Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
Série d’exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
IV Nombres complexes (rappels)
63
I
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
II
Règles de calculs dans C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
III
Interprétation géométrique d’un nombre complexe
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. . . . . . . . . . . . . . 64
Dhafer Haj Dahmane
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TABLE DES MATIÈRES
ii
IV
Nombres complexes conjugués . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
V
Module d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
VI
Forme trigonométrique d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
VII
Racines nièmme d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
VIII Equations dans C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
IX
Série d’exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
V Polynômes
74
I
Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
II
Division euclidienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
III
PPCM, PGCD de deux polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
IV
Polynômes irréductibles : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
V
Racines d’un polynôme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
VI
Algorithmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
VI.1
Algorithme de Horner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
VI.2
Exponentiation rapide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
VII Série d’éxercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
VI Fractions rationnelles
I
94
Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
I.1
Définitions et règles de calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
I.2
Degré d’une fraction rationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
II
Racines et pôles d’une fraction rationelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
III
Décomposition en éléments simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
IV
III.1
Partie entière d’une fraction rationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . 97
III.2
Partie polaire d’une fraction rationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . 98
III.3
Décomposition en éléments simples dans C(x) . . . . . . . . . . . . . 102
III.4
Méthodes pratiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
III.5
Décomposition en éléments simples dans R(x) . . . . . . . . . . . . . 105
Série d’exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
VII − Introduction a l’algèbre linéaire
110
I
Espaces vectoriels et applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
II
Espaces vectoriels de dimension fini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
III
Matrice d’une application linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
IV
Série d’exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
Bibliographie
119
Index
121
I-S-E-T Jerba
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Dhafer Haj Dahmane
[email protected]
Institut Supérieur des Etudes Technologiques de Jerba
«On n’enseigne pas ce que l’on sait, on enseigne ce que l’on est »
Jean Jaurès
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Chapitre I
Généralités sur les matrices
Sommaire
I
Définitions et notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
II
Opérations sur les matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
II.1
Somme de deux matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
II.2
Multiplication d’une matrice par un scalaire . . . . . . . . . . . .
8
II.3
Produit de deux matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
III
Transposée d’une matrice
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
IV
Série d’exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Dans tout ce chapitre, n et p sont des entiers naturels non nuls et K désigne l’ensemble
R des réels ou l’ensemble C des nombres complexes.
I
Définitions et notations
Définition 1
Une matrice de dimension (n, p) est un tableau rectangulaire de nombres comportant n
lignes et p colonnes. Ces nombres sont appelés coefficients de la matrice.
Lorsque n = p, on dit que la matrice et une matrice carrée d’ordre n.
Remarque
Une matrice sera représentée par une lettre majuscule, la même lettre en miniscule
sera utilisée pour désigner les coefficients de cette matrice.
Exemple 1
Si A est une matrice de n lignes et p colonnes alors pour tout 1 ≤ i, j ≤ n on désigne par
aij (la même lettre en miniscule) l’élément de la iième ligne et j ième colonne de A.
Notations :
1. L’ensemble des matrices de dimension (n, p) à coefficient dans K est noté M(n,p) (K).
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I Définitions et notations
2
2. L’ensemble des matrices carrées d’ordre n est noté Mn (K).
Exemple 2
√
5
2
 1
1. Soit M = 
 −3 π
2 113
X M est une matrice





de 3 lignes et 2 colonnes à coefficients réels donc M est un
élément de M(3,2) (R)
X M est une matrice de 3 lignes et 2 colonnes alors on dit que M est une matrice
de dimension (3, 2).
√
2.
1
ligne et 1ière colonne de M alors m21 = − .
3
ligne et 2ième colonne de M d’où m32 = 113.
X m12 est l’élément de la 1ère ligne et 2ième colonne de M donc m12 =
X m21 est l’élément de la 2ième
X m32 est l’élément de la 3ième
X M est une matrice de 3 lignes et de 2 colonnes donc M23 n’existe pas.


!
1 5 0


−1 + 2i 100
et N = 
2. Soient A =
5 2 0 


0
2 − 6i
−3 0 0
X A est une matrice carrée d’ordre 2 à coefficients complexes alors A ∈ M2 (C).
X a11 = −1 + 2i, a12 = 100, a21 = 0 et a22 = 2 − 6i.
X N est une matrice carrée d’ordre 3.
3. Soit B = 1 −2 0 5 .
B est une matrice d’une seule ligne et 4 colonnes. On dit que B est une matrice ligne
ou "vecteur ligne".
B est de dimension (1, 4) et ses coefficients sont réels donc B ∈ M(1,4) (R).
!
−1
4. Soit C =
.
2 + 5i
C est une matrice de 2 lignes et 1 colonne =⇒ C ∈ M(2,1) (C). On dit que C est une
matrice colonne ou "vecteur colonne".
C est une matrice de dimension (2, 1).
Remarques
• Toute matrice A de n lignes et p colonnes s’écrit

· · · · · · · · · a1p


 a21 a22 · · · · · · · · · a2p

 .
..
..
..
..
..
 ..
.
.
.
.
.

A= .
.
.
.
.
..
.. a
..
..
 ..
ij

 .
..
..
..
..
..
 ..
.
.
.
.
.

an1 an2 · · · · · · · · · anp












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a11
a12
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II Opérations sur les matrices
3
• Pour i, j indices "génériques", on appelle aij le terme général de A et on note
A = (aij ) 16i6n
16j6n
• Le premier indice désigne, toujours, le numéro de la ligne et le second celui de la
colonne.
• S’il y a un risque de confondre les numéros, on les sépare par un "," et on écrit ai,j
au lieu de aij . On écrit, par exemple a3,12 et non pas a312 .
Définition 2
Deux matrices A et B sont égales si
(i) elles ont la même dimension (n, p)
(ii) aij = bij pour tout 1 ≤ i ≤ n et pour tout 1 ≤ j ≤ p.
On note dans ce cas A = B.
Exemple 3
1. Soient A =
1 0 24
√
5 π − 65
!
a b
et B =
c
!
d e f


a = 1





b = 0



 c = 24
A=B⇔
√

5
d =





e = π




f = − 65

1 2
!
1 2



et B = 
0 3 

.
0 3
0 0
A et B n’ont pas la même dimension donc A 6= B.
2. Soient M =
II
II.1
Opérations sur les matrices
Somme de deux matrices
Définition 3
Soient A et B deux matrices de même dimension (n, p). On appelle matrice somme de
A et B, et on note A + B, la matrice C de M(n,p) (K) qui vérifie
ci,j = aij + bij ;
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∀1 ≤ i ≤ n et ∀1 ≤ j ≤ p.
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II Opérations sur les matrices
4

A = (aij )16i6n 

16j6p 

B = (bij )16i6n
16j6p
=⇒ A + B = (aij + bij )16i6n
16j6p




Exemple 4
1
1. Soient A =
3
!
et B =
2 −5
A+B =
0
2. M =
4
√
1 −1
5
15
0
2
3+7
2+2
−5 + 1
et N =
3
!
5
1
1 2 −3
0
=
10
!
4 −4
!
5
!
√
5 − 1 125
3 1
0
!
0 3 −1 125
0 7
M +N =
1
1
1 + (−1)
!
−12
!
−1 7
12
−7
!
et F =
.
2 −1
3 −2 0
E et F n’ont pas la même dimension donc E + F n’est pas définie (i.e la matrice
3. E =
somme E + F n’existe pas).
Attention :
L’addition de deux matrices n’est possible qu’à condition que les deux matrices appartiennent toutes deux au même ensemble. Sinon, la somme n’existe pas !
Définition 4
On appelle matrice nulle de M(n,p) (K) l’élément de M(n,p) (K) dont tous les coefficients
sont nuls.
Remarque
La matrice nulle sera représentée par 0 et on doit distinguer, à partir des expressions, entre
la matrice nulle et le nombre zéro.
Exemple 5
1. La matrice nulle de M2 (K) est 0 =
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0 0
0 0
!
.
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II Opérations sur les matrices
5
0 0 0
2. La matrice nulle de M(2,3) (K) est 0 =
!
0 0 0
p colonnes
z
}|
0 ···
 . .
. ..
3. La matrice nulle de M(n,p) (K) est 0 = 
 .
0
..
.
0 ··· 0
{



 n lignes



Définition 5
Soit A ∈ M(n,p) (K). On appelle matrice opposée de A la matrice −A = (−aij )16i6n
16j6p
Exemple 6
Soit A =
a b
c d
!
.
−A =
−a −b
!
−c −d
Propriétés
Soient A, B et C trois matrices de M(n,p) (K).
1. A + B ∈ M(n,p) (K).
2. A + (B + C) = (A + B) + C.
=⇒ l’addition dans l’ensemble M(n,p) (K) est associative.
3. A + B = B + A.
=⇒ l’addition dans l’ensemble M(n,p) (K) est commutative.
4. A + (−A) = −A + A = 0. (ici 0 = matrice nulle).
5. A + 0 = 0 + A = A.
=⇒ La matrice nulle est un élément neutre de l’addition dans M(n,p) (K). On démontre
que 0 est l’unique élément neutre de l’addition dans Mn (K)
Preuve
A, B et C sont trois matrices de M(n,p) (K) donc elles peuvent être représenter de la façon
suivante :

a11

 a21

A= .
 ..


a12
. . . a1p

a22
..
.
. . . a2p
..
..
.
.






 b21 b22 . . . b2p 
 c21 c22 . . . c2p 





, B =  .
 et C =  .

.
.
.
.
.
.
..
..
.. 
..
..
.. 

 ..
 ..





bn1 bn2 . . . bnp
cn1 cn2 . . . cnp
an1 an2 . . . anp
b11
b12
. . . b1p


c11
c12
. . . c1p
1. Par définition même.
2. Soit M = A + (B + C) et N = (A + B) + C. D’après 1. on a M, N ∈ M(n,p) (K) donc
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
II Opérations sur les matrices
6
M et N ont la même dimension. De plus




b11
b12
. . . b1p
 

 a21 a22 . . . a2p   b21
 

A + (B + C) =  .
 +  .
.
.
.
.
.
.
.
 .
 .
.
.
. 
  .

bn1
an1 an2 . . . anp


c11 c12 . . . c1p


 c21 c22 . . . c2p 


+ .

.
.
.
.
.
.
.
 .

.
.
. 


cn1 cn2 . . . cnp

a11 + b11 + c11 a12 + b12 + c12

 a21 + b21 + c21 a22 + b22 + c22

= 
..
..

.
.

an1 + bn1 + cn1 an2 + bn2 + cn2

 
a11 a12 . . . a1p
b11

 
 a21 a22 . . . a2p   b21

 
=  .
+ .
.
.
.
.
.
.
.
 .
 .
.
.
. 

  .
an1 an2 . . . anp
bn1


c11 c12 . . . c1p


 c21 c22 . . . c2p 


+ .

.
.
.
.
.
.
.
 .
.
.
. 


cn1 cn2 . . . cnp
b22
..
.
bn2

. . . b2p 

.. 
..
.
. 

. . . bnp
...
a1p + b1p + c1p

. . . a2n + b2n + c2p
..
..
.
.






a11
a12
. . . a1p
. . . anp + bnp + cnp

b12 . . . b1p


b22 . . . b2p 


.. . .
.. 

.
.
. 

bn2 . . . bnp
= (A + B) + C
autrement on peut écrire :
∀ 1 ≤ i ≤ n et ∀ 1 ≤ j ≤ p on a :
mij
= aij + (bij + cij )
= (aij + bij ) + cij car l’addition dans K est associative
= nij
Par conséquent, M = N.
3. Soit E = A + B et F = B + A. Il est claire que E et F ont la même dimension.
∀ 1 ≤ i ≤ n et ∀ 1 ≤ j ≤ p
eij
= aij + bij
= bij + aij car l’addition dans K est commutative
= fij
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II Opérations sur les matrices
7
d’où E = F
autrement on peut écrire :

a12
. . . a1p


b11
b12
. . . b1p

 a21 a22

A+B =  .
..
 ..
.

an1 an2

a11 + b11

 a21 + b21

= 
..

.

an1 + bn1

b11 b12

 b21 b22

=  .
..
 ..
.

bn1 bn2
. . . a2p
..
..
.
.
 
 
 
+
 
 
b21
..
.
b22
..
.

. . . b2p 

.. 
..
.
. 

. . . bnp


a11
. . . anp
bn1 bn2
a12 + b12
. . . a1p + b1p
a22 + b22
..
.
. . . a2n + b2n
..
..
.
.
an2 + bn2 . . .
 
. . . b1p
 

. . . b2p 
 
+

..  
..
.
.  

. . . bnp
anp + bnp






a11
a12
. . . a1p

a21
..
.
a22
..
.
. . . a2p
..
..
.
.






an1 an2 . . . anp
= B + A.
4. Soit P = A + (−A). ∀ 1 ≤ i ≤ n et ∀ 1 ≤ j ≤ p on a :
pij
= aij + (−aij )
= 0
donc P est la matrice nulle. De même on démontre que −A + A = 0.
autrement on peut écrire :



−a11
−a12
. . . −a1p


 
 a21 a22 . . . a2p  

 
A + (−A) =  .
+
.
.
.
..
..
..  
 ..

 
an1 an2 . . . anp

a11 − a11 a12 − a12 . . .

 a21 − a21 a22 − a22 . . .

= 
..
..
..

.
.
.

−a21
..
.
−a22
..
.
. . . −a2p
..
..
.
.










= 


I-S-E-T Jerba
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a11
a12
. . . a1p
an1 − an1 an2 − an2

0 0 ... 0

0 0 ... 0 

.
.. .. . . .. 
. . 
. .

0 0 ... 0
−an1 −an2 . . . −anp

a1p − a1p

a2p − a2p 


..

.

. . . anp − anp
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II Opérations sur les matrices
8
5. Soit Q = A + 0. ∀ 1 ≤ i ≤ n et ∀ 1 ≤ j ≤ p
qij = aij + 0 = aij
donc Q = A et de même on démontre que 0 + A = A.
ou autrement :

a12
. . . a1p


 a21 a22

A+0 =  .
..
 ..
.

an1 an2

a11 a12

 a21 a22

=  .
..
 ..
.

an1 an2
. . . a2p
..
..
.
.
 
 
 
+
 
 
a11
. . . anp
. . . a1p

. . . a2p
..
..
.
.






. . . anp

0 0 ... 0


0 0 ... 0 

.. .. . . .. 
. . 
. .

0 0 ... 0
= A
Remarque
On définit la soustraction dans l’ensemble M(n,p) (K) par : A − B = A + (−B)
II.2
Multiplication d’une matrice par un scalaire
Définition 6
Soient A ∈ M(n,p) (K) et λ ∈ K. On appelle matrice produit de A par λ la matrice B de
M(n,p) (K) qui vérifie
bij = λaij
∀1 6 i 6 n et 1 6 j 6 p
On note cette matrice par λ × A ou simplement λA


λ∈K
A = (aij )16i6n 
16j6p
=⇒ λA = (λaij )16i6n
16j6p
Exemple 7
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II Opérations sur les matrices

−2
1

Soit A = 
 −1
9


4 
.
3
2

−5 × 1
−5 × (−2)

−5A = 
 −5 × (−1)
−5 × 2
1
 3 ×1
 1
1
A=
 3 × (−1)
3
 1
×2
3



10


−20 

−5 × 3
−10 −15



1
2
1
× (−2) 
 3 −3 
3

 1
4 
1

= 
−
×4 



3
3
3


 2
1
×3
1
3
3
−5 × 4


 = 


−5
5
Remarque
Le scalaire s’écrit toujours à gauche de la matrice. Ainsi on écrit 5A mais surtout pas A5 !
De même on écrit 31 A mais jamais
A
3
Propriétés
Soient deux matrices A et B de M(n,p) (K) et deux ombres λ et µ (réels ou complexes).
1. λ(A + B) = λA + λB.
2. (λ + µ)A = λA + µA.
3. λ(µA) = (λµ)A.
4. 1.A = A.
5.
0 .A =
0 de K
0
matrice
nulle
Preuve
Soient

a11
a12
. . . a1p

 a21 a22 . . . a2p

A= .
..
..
..
 ..
.
.
.

an1 an2 . . . anp
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

b11
b12
. . . b1p




 b21 b22 . . . b2p 





 et B =  .
.
.
.
..
..
.. 

 ..



bn1 bn2 . . . bnp
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II Opérations sur les matrices
10
1.


a12
. . . a1p


b11
b12
. . . b1p

 a21 a22

λ(A + B) = λ  .
..
 ..
.

an1 an2

a11 + b11

 a21 + b21

= λ
..

.

an1 + bn1

λa11 + λb11

 λa21 + λb21

= 
..

.

λan1 + λbn1
. . . a2p
..
..
.
.
 
 
 
+
 
 
b21
..
.
b22
..
.


. . . b2p 


.. 
..
.
. 

. . . bnp
a11
. . . anp
bn1 bn2
a12 + b12
. . . a1p + b1p

a22 + b22
..
.
. . . a2n + b2n
..
..
.
.






an2 + bn2 . . . anp + bnp
λa12 + λb12
. . . λa1p + λb1p

λa22 + λb22
..
.
. . . λa2n + λb2n
..
..
.
.






λan2 + λbn2 . . . λanp + λbnp
= λA + λB.
On peut aussi démontrer cette propriété de la façon suivante :
λ(A + B) = λ(aij + bij )
= (λaij + λbij )
= λA + λB
2.

. . . a1p


 a21 a22 . . . a2p

(λ + µ)A = (λ + µ)  .
..
..
..
 ..
.
.
.

an1 an2 . . . anp

λa11 + µa11 λa12 + µa12

 λa21 + µa21 λa22 + µa22

= 
..
..

.
.

λan1 + µan1 λan2 + µan2






a11
a12
. . . λa1p + µa1p

. . . λa2n + µa2n
..
..
.
.






. . . λanp + µanp
= λA + µA
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II Opérations sur les matrices
11
3.

µa11
µa12

 µa21 µa22

λ(µA) = λ  .
..
 ..
.

µan1 µan2

λµa11 λa12

 λµa21 λµa22

= 
..
..

.
.

λµan1 λµan2
. . . µa1p

. . . µa2p
..
..
.
.






. . . µanp
. . . λµa1p

. . . λµa2n
..
..
.
.






. . . λµanp
= (λµ)A
4.

a11

 a21

1.A = 1 ×  .
 ..

an1

a11 a12

 a21 a22

=  .
..
 ..
.

an1 an2
a12
. . . a1p

a22
..
.
. . . a2p
..
..
.
.






an2 . . . anp

. . . a1p

. . . a2p 

.. 
..
.
. 

. . . anp
= A.
5.

a12
. . . a1p


 a21 a22

0.A = 0 ×  .
..
 ..
.

an1 an2

0 0 ... 0

 0 0 ... 0

=  . . .
 .. .. . . ...

. . . a2p
..
..
.
.






a11
0 0 ... 0
. . . anp







= 0
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II Opérations sur les matrices
Exercice 1
Soient A =
1 −1
2
3
0
√
2
12
!
et B =
0 −2
1
5
65
3
!
.
1. Calculer 3A − 2B.
2. Trouver la matrice C tel que 2A + C = B
Solution :
1.
3A − 2B =
=
3 −3
6
!
0
√
9
−
3 2
−2
√
−4 3 3 2 − 130
3
1
!
0
−4
2
10
!
6
130
2.
2A + C = B ⇔ C = B − 2A
=
=
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0 −2
1
5
65
−2
1
3
0
!
−
1
2 −2
4
6
0
√
!
2 2
!
√
−3 65 − 2 2
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II Opérations sur les matrices
II.3
13
Produit de deux matrices
Définition 7
Soient A ∈ M(n,m) (K) et B ∈ M(m,p) (K). On appelle produit AB la matrice C de M(n,p) (K)
qui vérifie
m
X
cij =
aik bkj
(1.1)
k=1
Le produit AB se note aussi A × B
Remarques
1. Dans le calcule de cij interviennent les coefficients de la ième ligne de A et les coefficients de la j ème colonne de B ce que l’on peut visualiser

b11 · · ·
 .
 .
 .

 bk1 · · ·

 .
 ..

bm1 · · ·
de la façon suivante :

b1j · · · b1m
.. 

. 

bkj · · · bkm 

..
.. 
.
. 

bmj · · · bmp
↓

a11 · · · a1k · · · a1m
 .
..
 .
.
 .

 ai1 · · · aik · · · aim

 .
..
 ..
.

an1 · · · ank · · · anm











→
c11 · · ·
 .
 ..




 .
 ..

cn1 · · ·

c1p
.. 
. 




.. 
. 

· · · cnm
···
cij
cij = ai1 ×b1j +ai2 ×b2j +ai3 ×b3j + · · · +aim ×bmj
2. La matrice produit AB n’est définie que si le nombre de colonnes de A soit égale au
nombre de lignes de B.
Exemple 8
1. A =
2
3
−1 4
!
et B =
5
6
!
−7 9
(a) Soit C = AB. D’après l’équation (1.1) de la définition (7) on a :
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II Opérations sur les matrices
14
X Pour i = j = 1
c11 =
2
X
a1k bk1
k=1
= a11 b11 + a12 b12
= 2 × 5 + 3 × (−7)
(1.2)
= −11
On remarque, a partir de l’équation (1.2), que pour calculer c11 il suffit de
considérer la première ligne de A (première matrice) et la première colonne
de B (deuxième matrice)
2
3 et
5
-7
et de calculer 2 × 5 + 3 × (−7)
X Pour i = 1 et j = 2
c12 =
2
X
a1k bk2
k=1
= a11 b12 + a12 b22
= 2×6+3×9
(1.3)
= 39
Donc, à partir de l’équation (1.3) on remarque que pour calculer c12 il suffit
de considérer la première ligne de A (première matrice) et la deuxième
colonne de B (deuxième matrice).
2
3 et
6
9
et de calculer 2 × 6 + 3 × 9
X Pour calculer c21 on considère la deuxième linge de A et la première colonne
de B.
-1
4 et
5
-7
c21 = −1 × 5 + 4 × (−7) = −33
X Pour calculer c22 on considère la deuxième linge de A et la deuxième colonne
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II Opérations sur les matrices
15
de B.
4 et
-1
Par conséquent AB =
6
9
c22 = −1 × 6 + 4 × 9 = 30
!
−11 39
−33 30
(b) Calculons BA !

BA = 
5
6
-7
9


2
3
-1
4
5 × 2 + 6 × (−1)
=
!
5×3+6×4
!
−7 × 2 + 9 × (−1) −7 × 3 + 9 × 4
!
4
39
=
−23 15
Il est bien claire que dans ce cas on a AB 6= BA.


!
6 7


1 2 −3

2. A =
et B = 
4
5


0 3 1
−3 0
(a) A ∈ M(2,3) (K) et B ∈ M(3,2) (K) donc la matrice produit AB existe (car le
nombre de colonne de A = nombre de ligne de B). De plus AB ∈ M(2,2) (K) =
M2 (K).

1
AB = 
=
=
0
2
3
-3
1

6
7




4
5
-3
0




1 × 6 + 2 × 4 + (−3) × (−3) 1 × 7 + 2 × 5 + (−3) × 0
0 × 6 + 3 × 4 + 1 × (−3)
!
23 17
9
!
0×7+3×5+1×0
15
(b) B ∈ M(3,2) (K) et A ∈ M(2,3) (K) donc la matrice produit BA existe (car B est
une matrice de deux colonnes et A est une matrice de deux lignes). De plus
BA ∈ M(3,3) (K) = M3 (K).
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II Opérations sur les matrices

16
6
7

!

 1 2 −3

BA = 
 4 5  0 3 1
−3 0


6 7


1
2
-3

= 
 4 5 
0
3
1
-3 0


6 + 0 12 + 21 −18 + 7



= 
4
+
0
8
+
15
−12
+
5


−3 + 0 −6 + 0
9+0


6 33 −11



= 
 4 23 −7 
−3 −6
3. A =
1 0 2 0
!
0 3 1 4
et B =
!
9
1
−1
−2
0
!
(a) A est une matrice de quatre colonnes et B est une matrice de deux lignes donc
AB n’est pas définie.
(b) B ∈ M(2,2) (K) et A ∈ M(2,4) (K) donc la matrice produit BA existe (car B est
une matrice de deux colonnes et A est une matrice de deux lignes). De plus
BA ∈ M(2,4) (K).
BA =
=
1
−1
−2
0
!
1 0 2 0
!
0 3 1 4
!
1 −3 1 −4
.
−2 0 −4 0
=⇒ si BA existe, AB n’existe pas forcément.
!
!
1 −1
4 7
et B =
4. A =
−2 2
4 7
AB =
0 0
!
0 0
= 0.
Pourtant, A 6= 0 et B 6= 0 on a : AB = 0! donc si A et B sont deux matrices qui
vérifient AB = 0 ; (A = 0 où B = 0).
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II Opérations sur les matrices
17
Attention :
Si A et B sont des matrices alors :
1. On ne peut calculer AB que quand le nombre de colonnes de A est égal au nombre
de lignes de B.
2. Si AB est définie, BA n’est pas toujours définie.
3. Si AB et BA sont définies, elled n’ont pas en général la même dimension.
4. La matrice AB, si elle existe, possède le nombre de lignes de la première matrice
(ici A) et le nombre de colonnes de la deuxième (ici B).
5. Dans Mn (K), ensemble des matrices carrées d’ordre n, on peut toujours multiplier
deux matrices A, B quelconques. AB et BA seront encore des matrices carrées
d’ordre n mais en général AB 6= BA
6. AB = 0 n’implique pas A = 0 ou B = 0.
Définition 8
Soit A ∈ Mn (K).
1. On dit que A est une matrice triangulaire inférieure si aij = 0 pour tout j > i.
2. On dit que A est une matrice triangulaire supérieure si aij = 0 pour tout j < i.
3. On dit que A est une matrice diagonale si aij = 0 pour tout i 6= j.
Définition 9
Pour A = (aij )16i,j6n ∈ Mn (K), on appelle termes diagonaux de A les termes
a11 , a22 , · · · , ann
c’est à dire aii avec 1 6 i 6 n
Exemple 9

0
0


1. A = 
 −5 2
0

 est une matrice triangulaire inférieure.

1
0
4 −11
1, 2 et −11 sont les éléments diagonaux de A.

5
0

 0 −1
2. B = 
 0 0

0 0
−1
11
0
0
1


22 
 est une matrice triangulaire supérieure.
1 
4 
−7
5, −1, 0 et −7 sont les éléments de la diagonale de B.
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II Opérations sur les matrices

3. D =
−1 0
0
5
!
18
1 0
0




et C = 
 0 0 0  sont deux matrices diagonales.
0 0 −4
−1, 5 sont les éléments de la diagonale de D.
Les éléments 1, 0 et −4 forment la diagonale de C.
Remarques
On peut aussi donner les définitions suivantes :
1. On dit qu’une matrice carrée est diagonale si ses termes non diagonaux sont nuls.








··· 0
.. 
. 


..
. 0 

0 ··· 0 ∗
∗
0
..
.
0
.. . .
.
.
2. On dit qu’une matrice carrée est triangulaire supérieure si ses termes strictement
au-dessous de la diagonale principale sont nuls.








∗ ··· ··· ∗
.. 
.
0 ..
. 

.. . . . . .. 
. . 
.
.

0 ··· 0 ∗
3. On dit qu’une matrice carrée est triangulaire inférieure si ses termes strictement
au-dessus la diagonale principale sont nuls.








··· 0
. . .. 
. . 


..
. 0 

∗ ··· ··· ∗
∗ 0
.. . .
.
.
..
.
où * représente n’importe quel scalaire (évidement « * » peut être nul).
(
On pose, pour tous 1 6 i, j 6 n, δij =
1 si i = j
0 si i 6= j
Définition 10
La matrice In = (δij ) 16i6n est appelée matrice unité ou matrice identité d’ordre n.
16j6n
Exemple 10
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II Opérations sur les matrices
19
1 0
1. La matrice unité de d’ordre 2 est I2 =
!
0 1

1 0 0




2. La matrice identité d’ordre 3 est I3 = 
 0 1 0 
0 0 1
3. D’une façon plus générale : La matrice unité (ou identité) d’ordre n s’écrit


... 0


 0 1 . . . ... 


In =  . .

 .. . . . . . 0 


0 ... 0 1
Exercice 2
3
Soit A =
−2
−1 4
0
5
1
0
!
. Vérifier que A × I3 = I2 × A = A
Remarque
S’il n’y a pas de risque de confusion, la matrice In sera notée simplement par I.
Propriétés
1. Pour toutes matrices A de M(n,m) (K), B de M(m,k) (K) et C de M(k,p) (K) on a :
A(BC) = (AB)C.
2. (a) Pour toute matrice A ∈ M(n,p) (K) on a :
AIp = A.
(b) Pour toute matrice A ∈ M(n,p) (K) on a :
In A = A
(c) En particulier si n = p on a : AI = IA = A.
=⇒ I est l’élément neutre de la multiplication des matrices dans Mn (K).
3. Pour toutes matrices A de M(n,m) (K), B et C de M(m,p) (K) on a :
A(B + C) = AB + AC.
4. Pour toutes matrices A de M(m,p) (K), B et C de M(n,m) (K) on a :
(B + C)A = BA + CA.
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II Opérations sur les matrices
20
5. Pour toutes matrices A de M(n,m) (K) et B de M(m,p) (K) et pour tous nombres (réels
ou complexes) α, β on a :
(αA)(βB) = (αβ)AB.
Preuve
1. Il est bien claire que A(BC) et (AB)C sont deux matrices de M(n,p) (K).
Soient αij l’élément de la iième ligne j ième colonne de A(BC) et βij l’élément de la
iième ligne j ième colonne de (AB)C.
αij =
m
X
ail (bc)lj
l=1
où (bc)lj désigne l’élément de la lième ligne j ième colonne de BC or
(bc)lj =
k
X
blq cqj
q=1
donc
αij
=
m
X
ail
blq cqj
q=1
l=1
=
k
X
m X
k
X
ail blq cqj
l=1 q=1
=
k
m
X
X
q=1
=
k
X
!
ail blq
cqj
l=1
(ab)iq cqj
q=1
(ab)iq désigne l’élément de la ime ligne q ime colonne de AB
= βij
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II Opérations sur les matrices
21
2. (a)

AIp
a11
a12
. . . a1p

 a21 a22

=  .
..
 ..
.

an1 an2

a11 a12

 a21 a22

=  .
..
 ..
.

an1 an2
. . . a2n
..
..
.
.
. . . anp
. . . a1p
. . . a2n
..
..
.
.
. . . anp


... 0


  0 1 . . . ... 


 . .

  .. . . . . . 0 


0 ... 0 1

1
0






= A.
(b) Même démonstration que (a).
(c) Il suffit d’appliquer (a) et (b) pour n = p.
3. A(B + C) et AB + AC sont deux matrices de M(n,p) (K). Soient αij l’élément de la
iième ligne j ième colonne de A(B + C) et βij l’élément de la iième ligne j ième colonne
de AB + AC.
αij
=
=
=
m
X
aik (bkj + ckj)
k=1
m
X
aik bkj + aik ckj
k=1
m
X
aik bkj +
m
X
aik ckj
k=1
k=1
= βij .
4. même démonstration que 3.
5. (αA)(βB) et (αβ)AB sont deux matrices de M(n,p) (K).
Soient αij l’élément de la iième ligne j ième colonne de (αA)(βB) et βij l’élément de
la iième ligne j ième colonne de (αβ)AB
αij
=
m
X
(αaik )(βbkj )
k=1
= αβ
m
X
aik bkj
k=1
= βij .
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II Opérations sur les matrices
22
Attention :
Si A, B et C sont des matrices alors :
1. AB + CA 6= A(B + C)
2. AB + CA 6= (B + C)A
En effet,
A(B + C) = AB + AC, comme le produit n’est pas commutatif alors AC 6= CA.
Par conséquent
AB + CA 6= A(B + C)
de même
(B + C)A = BA + CA
6= AB + CA
car AB 6= BA
Définition 11
Soit A ∈ Mn (K) et p un entier naturel strictement supérieur à 1. On appelle A puissance
p (où A exposant p) la matrice
Ap = A × A × . . . A
|
{z
}
P facteurs
Convention Pour toute matrice carrée A
? A1 = A.
? Si A 6= 0, A0 = In
Exemple 11
1. Soit A =
1 −1
2
!
3
• A0 = I2 =
•
A1
=A=
1 0
!
0 1
1 −1
2
• A2 = A.A =
!
.
3
1 −1
2
3
• A3 = A2 .A = A.A2 =
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!
.
1 −1
2
=
3
−9 −11
22
!
13
−1 −4
8
!
7
!
.
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II Opérations sur les matrices

1
0 1
23




2. Soit B = 
 −1 2 0 
0 1 1


1 0 0



• B 0 = I3 = 
0
1
0


0 0 1

1 0 1

2

• B = B.B =  −1 2 0
0
 
1
0 1


1
1
2

 
 

 .  −1 2 0  =  −3 4 −1 
 
 

1 1
0 1 1
−1 3 1
Remarque
On a déjà remarqué que la multiplication dans l’ensemble des matrices carrées d’ordre n
n’est pas une loi commutative, cependant l’associativité du produit nous permet de conclure
que :
A3 = AA2 = A2 .A
∀ A ∈ Mn (K);
En effet,
A3 = A × A × A
comme le produit est aasociatif alors,
A × A × A = (A × A) × A = A × (A × A)
Il en résulte que
A3 = A2 × A = A × A2
Définition 12
Soient A et B deux matrices de Mn (K).
1. On dit que les matrices A et B commutent (on dit aussi permutent) si AB = BA.
2. On dit que les matrices A et B ne commutent pas (ou ne permutent pas) si AB 6= BA.
Exercice 3
(I) Soient A =
1 −1
0
!
1
et B =
2
1
!
1 −1
1. Vérifier que les matrices A et B ne commutent pas.
2. Calculer A + B, A − B, A2 , AB, B 2 , (A + B)2 , (A − B)2 , (A − B)(A + B),
A2 − B 2 , A2 + 2AB + B 2 et A2 − 2AB + B 2 .
3. Comparer
(a) (A + B)2 et A2 + 2AB + B 2 .
(b) (A − B)2 et A2 − 2AB + B 2
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II Opérations sur les matrices
24
(c) (A − B)(A + B) et A2 − B 2
!
!
1 −1
2 1
(II) Soient A =
et B =
0 1
0 2
1. Vérifier que les matrices A et B commutent.
2. Comparer
(a) (A + B)2 et A2 + 2AB + B 2 .
(b) (A − B)2 et A2 − 2AB + B 2
(c) (A − B)(A + B) et A2 − B 2
(III) Expliquer ces résultats.
Conclusion :
A partir de l’exercice (3) on peut déduire que pour toutes matrices A, B ∈ Mn (K) on a :
1. Si A et B ne commutent pas alors
(a) (A + B)2 6= A2 + 2AB + B 2 .
(b) (A − B)2 6= A2 − 2AB + B 2
(c) (A − B)(A + B) 6= A2 − B 2
2. Si A et B commutent alors
(a) (A + B)2 = A2 + 2AB + B 2 .
(b) (A − B)2 = A2 − 2AB + B 2
(c) (A − B)(A + B) = A2 − B 2
Attention :
On ne peut utiliser les identités remarquables que lorsque les matrices commutent.
Théorème 1 (Binôme de Newton)
A, B ∈ Mp (K) et n ∈ N. Si A et B commutent alors
(A + B)n =
n
X
Cnk An−k B k
k=0
avec, Cnk =
n!
k!(n − k)!
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III Transposée d’une matrice
III
25
Transposée d’une matrice
Définition 13
Soit A ∈ M(n,p) (K) on appelle matrice transposée de A la matrice B de M(p,n) (K) qui
vérifie
bij = aji
∀ 1 ≤ i ≤ p et 1 ≤ j ≤ n.
La matrice transposée de A est notée tA ou TA.
Remarques
Soit A ∈ M(n,p) (K)
1. A est une matrice à n lignes et p colonnes =⇒ tA est une matrice à p lignes et n
colonnes.
2. Pour tout 1 6 i 6 n ; la i-ième ligne de A devient la i-ème colonne de tA. De
même, Pour tout 1 6 j 6 p ; la j-ième colonne de A devient la j-ème ligne de tA.
Exemple 12

1. A = 
1
2
5
4


2. Soit A = 

3
6
2-i
3
12+3i

1
2


 A ∈ M(2,3) (R) donc tA = 

5
4
3
6

 ∈ M(3,2) (R)




 alors tA =

2-i
3
12+3i
Propriétés
Soient A ∈ M(n,m) (K) et B ∈ M(m,p) (K) et soit λ ∈ K.
1. tA ∈ M(m,n) (K)
2. t(tA) = A
3. t(AB) = tB tA
4. t(A + B) = tA + tB
5. t(λA) = λtA.
Preuve
1. Par définition on a si A ∈ M(n,m) (K) alors tA ∈ M(m,p)(K) .
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III Transposée d’une matrice

a11
a12
26

. . . a1m

a11
a21
...
an1



 a12 a22 · · · an2


 alors tA =  .
..
..
..
 ..

.
.
.


a1m a2m . . . anm

 a21 a22 · · · a2m

2. Soit A =  .
..
..
..
 ..
.
.
.

an1 an2 . . . anm

a11
a12
. . . a1m

 a21 a22 · · · a2m

( A) =  .
..
..
..
 ..
.
.
.

an1 an2 . . . anm
tt




 d’où






 = A.


3. Il est claire que AB ∈ M(n,p) (K) et que t(AB) et tB tA sont deux matrices de
M(p,n) (K). On note :
t
(AB) = (βij ) 16i6p
(AB) = (αij )16i6n
16j6p
t t
B A = (γij ) 16i6p
et
16j6n
16j6n
(AB) = (αij )16i6n alors
16j6p
αij =
m
X
aik bkj
k=1
t(AB)
= (βij ) 16i6p donc
16j6n
βij = αji =
m
X
k=1
ajk bki =
m
X
bki ajk = γij
k=1
d’où t(AB) = tB tA
Définition 14
Soit une matrice carrée A de Mn (K).
1. On dit que A est une matrice symétrique si tA = A.
2. dit que A est une matrice antisymétrique si tA = −A.
Exemple 13
1. Soit A =
5
9
!
.
9 11
!
5
9
tA =
= A donc A est une matrice symétrique.
9 11


0
−1 2



2. Soit B =  1
0
15 
.
−2 −15
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0
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III Transposée d’une matrice

tB
0

=
 −1
2
1
−2
27


−15 
 = −B donc B est une matrice antisymétrique.
15
0
0
Remarque
Soit A ∈ Mn (K). Si A est une matrice antisymétrique alors
aii = 0
∀ 1 ≤ i ≤ n.
Exercice 4
Soit A ∈ M(n,p) (K).
1. Montrer que les produits tA × A et A × tA sont bien définis.
2. Montrer que les matrices tAA et AtA sont des matrices symétriques.
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IV Série d’exercices
IV
28
Série d’exercices
Série n◦ 1
Exercice 1
Calculer, si cela est possible, 3A − 12 B



0
2




 0 11

1. A = 
 1 1  et B =  3 √


2
2
6 3



1
−4


 0



 et B =  5i
2. A = 
−7
2






5 15
8


6 

5

−9 

0 


11


1
i
0


 3





3. A = 
 2 1 1  et B =  6



0 1 1
15



 0
3
π
7



4. A = 
 et B = 
 5

2 8 9
5

0 1 

6 9 


2 1

0 0 

14 1 


2 3
Exercice 2
Calculer, si cela est possible, AB et
 BA
 1 2




1
+
i
−1
 5 3


1. A = 
 et B = 

 i −1
2
1


1 0




2
0
5


1


 1 3 

3. A = 
 et B =  1 4 2 



3 2
3 3 6












−1


3 


 1 4

2. A = 
 et B =  2 



0 −2 −1
4




 1 0
4. A = 
0 5

5. A =
1 3 4
et B =
1 2 5

7. A =
1 2−i 3
 3+i

et B = 
 2

1

2
0


1 



 et B =  0 4 



1
1 0

 0 0



4 1 
 5 0
 et B = 

 1 0
1 0


0 0

 2 1
6. A = 
5 2
















8. A =
2 1 − 2i

 1 −1 
et B = 

2 1
Exercice 3
Calculer, si cela est possible, A2 , AB, BA, t BA et t At B
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
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IV Série d’exercices
29






1
0
3


 1





4. A = 
 0 0 0  et B =  0



1 0 4
4



 2
1
0
1



5. A = 
 et B = 
 0

0 5 1
1



 0

0
1
0





 5


6. A =  5 0 1  et B = 

 1




0 2 0
0

 2 3 2 
 1 2 
1. A = 
 et B = 

0 3 5
5 3


2


1


 1 3 4 

2. A = 
 et B =  1 



3 2 5
−3




 1 2 


 −1 1 

3. A = 
 et B = 
 0 3 


i 0
1 0


Exercice 4
Soit la matrice A =
5 −4

4 

−3 


1

0 

7 


0

0 0 


0 3 


0 4 


0 0
!
4 −3
. Calculer A2013 .
(On peut remarquer que A = I + 4J ou J =
Exercice 5
On considère la matrice et A =
1
2
−1 −2
1 −1
1 −1
!
.)
!
existe-t-il une matrice carrée non nul B tel
que AB = 0 ?
Exercice 6
Soit A ∈ Mn (K). On considère les matrices S = A + t A et R = A − t A
1. Montrer que S est une matrice symétrique.
2. Montrer que R est une matrice antisymétrique.
3. Déduire une décomposition de A en une somme d’une matrice symétrique et une
matrice antisymétrique.
Exercice 7

a1



∗
1. Soit n ∈ N . On considère la matrice diagonale A = 


0
..
.
···
..
.
a2
.. ..
.
.
0
...
I-S-E-T Jerba
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0
0

0
.. 
. 

. Montrer
0 

an
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Institut Supérieur des Etudes Technologiques de Jerba

ap1



que pour tout p ∈ N on a Ap = 


0
..
.
···
..
.
ap2
.. ..
.
.
0
...
0
0

0
.. 
. 


0 

apn
2. Peut-on trouver une matrice carrée non nulle M tel que
(a) M 2 = M .
(b) M 2 = 0
Un homme peut se permettre de prendre, son argent, tous ses biens... mais jamais son temps. Un
étudiant n’a ni argent ni biens... il a son temps.
Index
K, 74
dimension
A ∨ B, 82
d’une matrice, 1
A ∧ B, 83
diviseur d’un polynôme, 81
Ap ,
Division euclidienne, 79
22
A−1 ,
45
déterminant
Aij , 32
d’une matrice d’ordre 1, 31
In , 18
d’une matrice d’ordre 2, 31
M(n,p) (K), 1
d’une matrice d’ordre >2, 34, 35, 37
P ( k),
78
V (P ), 77
z̄, 64
Forme trigonométrique, 65
Gauss, 84
δij , 18
C, 63
Horner, Algorithme, 90
| A |, 31
inverse
det A, 31, 34
d’une matrice, 45
com(A), 46
Im(z), 63
R(z), 63
arg(z), 65
deg(P ), 77
i, 63
TA,
25
t 25
A,
liniarisation, 68, 69
Matrice
adjointe, 46
matrice, 1
carrée, 1
opposée, 5
antisymétrique, 26
affixe, 64
diagonale, 17
Algorithme d’exponentiation, 91
identité, 18
nulle, 4
Binôme de Newton, 24
symétrique, 26
Bézout, 84
transposée, 25
comatrice, 46
Conjugué, 64
triangulaire, 17
unité, 18
Module, 65
degré d’un polynôme, 77
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Moivre, 67
Dhafer Haj Dahmane
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INDEX
32
ordre
d’une matrice carrée, 1
PGCD, 83
Plan complexe, 64
polynôme dérivé, 78
polynôme irréductible, 85
polynôme nul, 75
polynôme unitaire, 81
polynômes associés, 82
Polynômes premiers entre eux, 84
PPCM, 82
racine nièmme , 69
racine d’ordre k, 87
racine d’un polynôme, 75
Règle de Srrus, 44
signature, 32
sous-matrice, 32
Taylor, 89
transposée d’une matrice, 25
valuation d’un polynôme, 77
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Dhafer Haj Dahmane
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