Fiche méthodologique Trigonométrie Réelle

Fiche méthodologique Trigonométrie Réelle
BCPST Lycée Hoche
Pelletier Sylvain
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CC
BY:
Dans cette fiche, on revoit ce qu’il faut savoir sur les fonctions trigonométriques.
⋆
Fonction tangente
sin x
.
cos xπ
Elle est définie pour les x tel que cos x 6= 0, c’est-à-dire x 6≡ 2 [π]. L’ensemble de définition est donc :
h
[ i π
π
− + kπ, + kπ .
2
2
k∈Z
On rappelle que la fonction tangente est égale à tan x =
À noter :
– cette fonction est π périodique impaire,
– la tangente en 0 (y = x),
– les limites aux bornes.
6
5
4
3
2
1
0
−1
−2
−3
−4
−5
−6
Figure 1 – Fonction tangente
⋆
Valeurs usuelles
Le tableau 1 résume les valeurs à savoir. Il est aussi important de savoir retrouver ces valeurs sur le
cercle trigonométrique.
x 0
sin x 0
cos x 1
tan x 0
π
6
π
4
√
2
2
√
2
2
1
2
√
3
2
√
3
3
1
π
3
√
3
2
1
1
2
0
√
π
2
3 +∞
Table 1 – Valeurs trigonométriques à savoir
1
⋆
Angles opposés, complémentaires, supplémentaires
On a :



sin(π − x) = sin(x)




sin(−x) = − sin(x)

cos(π − x) = − cos(x)
cos(−x) = cos(x)



tan(π − x) = − tan(x)



sin π2 − x = cos(x)


cos π2 − x = sin(x)



tan π − x = 1



tan(−x) = − tan(x)



sin(π + x) = − sin(x)


cos(π + x) = − cos(x)



tan(π + x) = tan(x)
2
tan(x)
Formule à retrouver rapidement sur un cercle, plutôt qu’à apprendre par cœur
⋆
Sinus et cosinus d’une somme et d’une différence, angle double et de moitié

cos(a + b)
sin(a + b)
= cos(a) cos(b) − sin(a) sin(b)
= sin(a) cos(b) + cos(a) sin(b)
Formule que l’on peut retrouver par Moivre :
ei(a+b) = cos(a + b) + i sin(a + b)
= eia eib = (cos(a) + i sin(a))(cos(b) + i sin(b))
= cos(a) cos(b) − sin(a) sin(b) + i sin(a) cos(b) + cos(a) sin(b).
En appliquant à la différence :

cos(a − b)
sin(a − b)
= cos(a) cos(b) + sin(a) sin(b)
= sin(a) cos(b) − cos(a) sin(b)
En appliquant à l’angle double :

cos(2x) = cos2 (x) − sin2 (x) = 2 cos2 (x) − 1 = 1 − 2 sin2 (x)
sin(2x) = 2 sin(x) cos(x).
que l’on peut retrouver directement par e2ix = (eix )2 et en utilisant cos2 + sin2 = 1 :
e2ix = cos(2x) + i sin(2x)
=(cos(x) + i sin(x))2
= cos2 (x) − sin2 (x) + 2i cos(x) sin(x).
On a aussi les formules qui relient l’angle de moitié au carré :

cos2 (a)
sin2 (a)
=
=

1 − cos(x)
1+cos(2a)
2
1−cos(2a)
2
On peut retrouver ces formules en utilisant Euler :
1 + cos(x)
1 ia
(e + e−ia )2
4
1
= (e2ia + 2 + e−2ia )
4
1
= (1 + cos(2a)).
2
cos2 (a) =
2
= 2 sin2
=
x
2
2 cos2 x2
On peut retrouver les deuxièmes en utilisant deux factorisations par l’angle de moitié :
eix + e−ix
2
1 + cos(x) =1 +
1
= (1 + eix + 1 + e−ix )
2
x
x
x 1 x
= ei 2 2 cos( ) + e−i 2 2 cos(− )
2 2
2
x
x ix
−i
e 2 +e 2
= cos
2
2 x
=2 cos
2
⋆
Transformation de produit en somme
i
1h
sin(a + b) + sin(a − b)
2
i
1h
cos a cos b = cos(a + b) + cos(a − b)
2
i
1h
sin a sin b = cos(a − b) − cos(a + b)
2
sin a cos b =
On peut retrouver ces formules avec Euler :
i
1 h ia
(e − e−ia )(eib + e−ib )
4i
i
1h
= ei(a+b) + e−i(a+b) + ei(a−b) − e−i(a−b)
4i
i
1h
= sin(a + b) + sin(a − b) .
2
sin a cos b =
⋆
Transformation de somme en produit


sin(p) + sin(q) =





cos(p) + cos(q) =


sin(p) − sin(q) =





cos(p) − cos(q) =
p+q
cos p−q
2 2 p+q
2 cos 2 cos p−q
2 p−q
2 sin 2 cos p+q
2 p+q
.
−2 sin 2 sin p−q
2
2 sin
Ces formules proviennent de la factorisation par l’angle de moitié :
i
1 h ip
e − e−ip + eiq − e−iq
2i
i
1h
= eip + eiq − (e−iq + e−ip )
2i
i
p−q
p+q
p−q
p−q
1 h p+q p−q
= ei 2 (ei 2 + e−i 2 ) − e−i 2 (ei 2 + e−i 2 )
2i
p−q
p−q i
1 h i p+q
−i p+q
2
2
2 cos
2 cos
= e
−e
2i
2
2
sin(p) + sin(q) =
=
cos
p−q
2
i
h
ei
p+q
2
− e−i
p+q
2
p−q
p+q
=2 cos
sin
2
2
3
i
⋆
Équation trigonométrique
Il faut dessiner systématiquement le cercle trigonométrique, de manière à éviter toute erreur
cosinus égaux
Sinus égaux
Tangentes égales

x = α + 2kπ
cos x = cos α ⇐⇒ ∃k ∈ Z,
x = −α + 2kπ

x = α + 2kπ
sin x = sin α ⇐⇒ ∃k ∈ Z,
x = π − α + 2kπ
.
.
tan x = tan α ⇐⇒ ∃k ∈ Z, x = α + kπ.
⋆
Propriété fondamentale
Enfin, il ne faut pas oublier la relation
cos2 x + sin2 x = 1.
⋆
Résolution de a cos x + b sin x = c
On s’intéresse à la résolution de l’équation (E) d’inconnue x :
(E) :
a cos x + b sin x = c,
avec (a, b) 6= (0, 0)
La première étape consiste à poser z = a+ib. On a z 6= 0 (si a et b sont nuls, et le problème a peu d’intérêt).
On peut donc écrire ce nombre complexe sous forme trigonométrique : z = ρeiα .
On divise alors par ρ pour avoir :
a
b
c
cos x + sin y =
ρ
ρ
ρ
c
cos α cos x + sin α sin y =
ρ
c
cos(x − α) = .
ρ
Deux cas sont
alors possibles :
c
– si ρ > 1 , l’équation (E) n’a pas de solution dans ce cas.
– sinon, il existe un angle θ tel que cos(θ) = ρc . Dans ce cas l’équation (E) est équivalente avec ces
nouvelles notations à
(E ′ ) :
cos(x − α) = cos(θ).
Cette dernière équation se résout de manière classique.
Comme souvent : apprenez la technique et non les formules.
Exemple: On veut résoudre :
(E) :
√
3 cos x − sin x =
√
3.
On considère donc le nombre complexe :
z=
√
3−i = 2
√
3
i
−
2
2
4
!
π
= 2e−i 6 .
On a alors
√
π
3
π
cos x − sin −
sin x =
(E) ⇐⇒ cos −
6
6
2
π
π
(E) ⇐⇒ cos x +
= cos
.
6
6
On résout alors classiquement :
(E) ⇐⇒∃k ∈ Z

x +
π
6
π
6
=
π
6
+ 2kπ, ou
x + = − π + 2kπ
6

x = 2kπ, ou
(E) ⇐⇒∃k ∈ Z
x = − π + 2kπ.
3
Interprétation géométrique : si on considère le nombre complexe z = a + ib et le nombre complexe
X = cos x + i sin x (qui est sur le cercle unité). On identifie ces nombres complexes à des vecteurs du plan.
L’équation peut alors s’écrire : z · X = c. En effet, a cos x + b sin x est le produit scalaire du vecteur z
et X.
En géométrie, on sait que le produit scalaire de deux vecteurs est égal au produit des normes par le
cosinus de l’angle formé par les deux vecteurs. Appliqué ici, cela donne : z · X = |z| cos(x − α). En effet,
|X| = 1 et l’angle formé par les deux vecteurs est x − α. On obtient donc bien l’équation : |z| cos(x − α) = c.
⋆
Autres équations trigonométriques
Résoudre dans R les équations suivantes :
√
a) 2 cos 2x + π3 = 3
Exercice 1
b) sin2 (x) + 3 cos(x) − 1 = 0
c) sin2 2x +
π
6
= cos2 x +
π
3
d) sin(x) + sin(2x) + sin(3x) = 0.
5