Fiche méthodologique Trigonométrie Réelle

Fiche méthodologique Trigonométrie Réelle
BCPST Lycée Hoche Pelletier Sylvain
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Dans cette fiche, on revoit ce qu’il faut savoir sur les fonctions trigonométriques.
⋆Fonction tangente
On rappelle que la fonction tangente est égale à tan x=sin x
cos x.
Elle est définie pour les xtel que cos x6= 0, c’est-à-dire x6≡ π
2[π]. L’ensemble de définition est donc :
[
k∈Zi−π
2+kπ, π 2+kπh.
À noter :
– cette fonction est πpériodique impaire,
– la tangente en 0 (y=x),
– les limites aux bornes.
0
1
2
3
4
5
6
−1
−2
−3
−4
−5
−6
Figure 1 – Fonction tangente
⋆Valeurs usuelles
Le tableau 1 résume les valeurs à savoir. Il est aussi important de savoir retrouver ces valeurs sur le
cercle trigonométrique.
x0π
6
π
4
π
3
π
2
sin x01
2
√2
2
√3
21
cos x1√3
2
√2
2
1
20
tan x0√3
31√3 +∞
Table 1 – Valeurs trigonométriques à savoir
1

⋆Angles opposés, complémentaires, supplémentaires
On a : 
sin(−x) = −sin(x)
cos(−x) = cos(x)
tan(−x) = −tan(x)
sin(π−x) = sin(x)
cos(π−x) = −cos(x)
tan(π−x) = −tan(x)
sin(π+x) = −sin(x)
cos(π+x) = −cos(x)
tan(π+x) = tan(x)
sin π
2−x= cos(x)
cos π
2−x= sin(x)
tan π
2−x=1
tan(x)
Formule à retrouver rapidement sur un cercle, plutôt qu’à apprendre par cœur
⋆Sinus et cosinus d’une somme et d’une différence, angle double et de moitié
cos(a+b) = cos(a) cos(b)−sin(a) sin(b)
sin(a+b) = sin(a) cos(b) + cos(a) sin(b)
Formule que l’on peut retrouver par Moivre :
ei(a+b)= cos(a+b) + isin(a+b)
=eiaeib = (cos(a) + isin(a))(cos(b) + isin(b))
= cos(a) cos(b)−sin(a) sin(b) + isin(a) cos(b) + cos(a) sin(b).
En appliquant à la différence :
cos(a−b) = cos(a) cos(b) + sin(a) sin(b)
sin(a−b) = sin(a) cos(b)−cos(a) sin(b)
En appliquant à l’angle double :
cos(2x) = cos2(x)−sin2(x) = 2 cos2(x)−1 = 1 −2 sin2(x)
sin(2x) = 2 sin(x) cos(x).
que l’on peut retrouver directement par e2ix = (eix)2et en utilisant cos2+ sin2= 1 :
e2ix = cos(2x) + isin(2x)
=(cos(x) + isin(x))2
= cos2(x)−sin2(x) + 2icos(x) sin(x).
On a aussi les formules qui relient l’angle de moitié au carré :
cos2(a) = 1+cos(2a)
2
sin2(a) = 1−cos(2a)
2
1−cos(x) = 2 sin2x
2
1 + cos(x) = 2 cos2x
2
On peut retrouver ces formules en utilisant Euler :
cos2(a) = 1
4(eia +e−ia)2
=1
4(e2ia + 2 + e−2ia)
=1
2(1 + cos(2a)).
2

On peut retrouver les deuxièmes en utilisant deux factorisations par l’angle de moitié :
1 + cos(x) =1 + eix +e−ix
2
=1
2(1 + eix + 1 + e−ix)
=1
2eix
22 cos(x
2) + e−ix
22 cos(−x
2)
= cos x
2eix
2+e−ix 2
=2 cos2x
2
⋆Transformation de produit en somme
sin acos b=1
2hsin(a+b) + sin(a−b)i
cos acos b=1
2hcos(a+b) + cos(a−b)i
sin asin b=1
2hcos(a−b)−cos(a+b)i
On peut retrouver ces formules avec Euler :
sin acos b=1
4ih(eia −e−ia)(eib +e−ib)i
=1
4ihei(a+b)+e−i(a+b)+ei(a−b)−e−i(a−b)i
=1
2hsin(a+b) + sin(a−b)i.
⋆Transformation de somme en produit
sin(p) + sin(q) = 2 sin p+q
2cos p−q 2
cos(p) + cos(q) = 2 cos p+q
2cos p−q 2
sin(p)−sin(q) = 2 sin p−q
2cos p+q 2
cos(p)−cos(q) = −2 sin p+q
2sin p−q 2.
Ces formules proviennent de la factorisation par l’angle de moitié :
sin(p) + sin(q) = 1
2iheip −e−ip +eiq −e−iq i
=1
2iheip +eiq −(e−iq +e−ip)i
=1
2iheip+q
2(eip−q 2+e−ip−q 2)−e−ip+q 2(eip−q 2+e−ip−q 2)i
=1
2iheip+q
22 cos p−q
2−e−ip+q
22 cos p−q
2i
=cos p−q
2
iheip+q
2−e−ip+q 2i
=2 cos p−q
2sin p+q 2
3

⋆Équation trigonométrique
Il faut dessiner systématiquement le cercle trigonométrique, de manière à éviter toute erreur
cosinus égaux
cos x= cos α⇐⇒ ∃k∈Z,
x=α+ 2kπ
x=−α+ 2kπ .
Sinus égaux
sin x= sin α⇐⇒ ∃k∈Z,
x=α+ 2kπ
x=π−α+ 2kπ .
Tangentes égales
tan x= tan α⇐⇒ ∃k∈Z, x =α+kπ.
⋆Propriété fondamentale
Enfin, il ne faut pas oublier la relation
cos2x+ sin2x= 1.
⋆Résolution de acos x+bsin x=c
On s’intéresse à la résolution de l’équation (E) d’inconnue x:
(E) : acos x+bsin x=c, avec (a, b)6= (0,0)
La première étape consiste à poser z=a+ib. On a z6= 0 (si aet bsont nuls, et le problème a peu d’intérêt).
On peut donc écrire ce nombre complexe sous forme trigonométrique : z=ρeiα.
On divise alors par ρpour avoir :
a
ρcos x+b ρsin y=c ρ
cos αcos x+ sin αsin y=c
ρ
cos(x−α) = c
ρ.
Deux cas sont alors possibles :
– si 
c
ρ>1 , l’équation (E) n’a pas de solution dans ce cas.
– sinon, il existe un angle θtel que cos(θ) = c
ρ. Dans ce cas l’équation (E) est équivalente avec ces
nouvelles notations à
(E′) : cos(x−α) = cos(θ).
Cette dernière équation se résout de manière classique.
Comme souvent : apprenez la technique et non les formules.
Exemple: On veut résoudre :
(E) : √3 cos x−sin x=√3.
On considère donc le nombre complexe :
z=√3−i= 2 √3
2−i 2!= 2e−iπ
6.
4

On a alors
(E)⇐⇒cos −π
6cos x−sin −π 6sin x=√3 2
(E)⇐⇒cos x+π
6= cos π 6.
On résout alors classiquement :
(E)⇐⇒∃k∈Z
x+π
6=π 6+ 2kπ, ou
x+π
6=−π 6+ 2kπ
(E)⇐⇒∃k∈Z
x= 2kπ, ou
x=−π
3+ 2kπ.
Interprétation géométrique : si on considère le nombre complexe z=a+ib et le nombre complexe
X= cos x+isin x(qui est sur le cercle unité). On identifie ces nombres complexes à des vecteurs du plan.
L’équation peut alors s’écrire : z·X=c. En effet, acos x+bsin xest le produit scalaire du vecteur z
et X.
En géométrie, on sait que le produit scalaire de deux vecteurs est égal au produit des normes par le
cosinus de l’angle formé par les deux vecteurs. Appliqué ici, cela donne : z·X=|z|cos(x−α). En effet,
|X|= 1 et l’angle formé par les deux vecteurs est x−α. On obtient donc bien l’équation : |z|cos(x−α) = c.
⋆Autres équations trigonométriques
Exercice 1 Résoudre dans Rles équations suivantes :
a) 2 cos 2x+π
3=√3
b) sin2(x) + 3 cos(x)−1 = 0
c) sin22x+π
6= cos2x+π 3
d) sin(x) + sin(2x) + sin(3x) = 0.
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