Une figure, deux regards et trois théorèmes ( ),

Une figure, deux regards et trois théorèmes
L’objectif de cette note est d’observer un triangle de plusieurs manières, afin d’établir un maximum
de relations entre ses différentes grandeurs. On parviendra pour finir à prouver le théorème du
cosinus et les formules d’addition du cosinus et du sinus.
2e regard
1er regard
Problème 1. Comment trouver c connaissant les longueurs des côtés a et b et l’angle adjacent γ ?
Réponse. [1] A partir du 1e croquis : poser DC = b' et DA = h . Par Pythagore on a :
c 2 = h 2 +(a ! b')2 = b 2 sin 2 (" ) + a 2 ! 2ab cos(" ) + b 2 cos 2 (" ) = a 2 + b 2 ! 2ab cos(" ) = c 2 (*)
Cette dernière identité (grisée) se dénomme la loi du cosinus ou le théorème du cosinus.
Problème 2. Si ! = " + # quelle relation y a-t-il entre le cos(! + " ) et le cos et le sin de ! et de ! ?
Réponse. [2] Exprimer la longueur de la hauteur CH (croquis 2) de deux manières, ainsi que la
longueur AB à l’aide des formules de trigonométrie de base. On obtient alors :
$& 0 = acos(! ) " bcos( # )
%
&' c = asin(! ) + bsin( # )
Élever chacun des membres au carré, puis additionner les carrés des membres respectifs entre eux.
c 2 = a 2 cos 2 (! ) " 2abcos(! )cos( # ) + b2 cos 2 ( # ) + a 2 sin 2 (! ) + 2absin(! )sin( # ) + b2 sin 2 ( # ) (**)
Après réduction (Pythagore), on obtient : c 2 = a 2 + b 2 ! 2ab(cos(" )cos(# ) ! sin(" )sin(# )) .
Mettant bout-à-bout (*) = (**) puis en réduisant, on obtient alors la formule d’addition du cosinus :
cos(! + " ) = cos(! )cos(" ) # sin(! )sin(" ) .
Problème 3. Quelle relation y a-t-il entre le sin(! + " ) et le cos et le sin de ! et de ! ?
Réponse. [3] Comme 2·(aire ABC) =2·(aire CBH + aire CHA), alors sous forme trigonométrique on
obtient : ab !sin(" + # ) = a 2 sin(" )cos(" ) + b 2 sin(# )cos(# ) . Réduisons, puis réécrivons :
a
b
# a cos(! ) &
# b cos(" ) &
sin(! + " ) = sin(! )cos(! ) + sin(" )cos(" ) = sin(! ) %
+ sin(" ) %
(
( , d’où
$
'
$
b
a
b
a '
sin(! + " ) = sin(! )cos ( " ) + cos(! )sin ( " ) ,
que l’on dénomme la formule d’addition du sinus.
[1] A. Ostermann, G. Wanner, Geometry by Its History, SpringerVerlag, UTM, Readings in Mathematics, 2012, p. 119.
[2] Approche personnelle
[3] P. Nystedt, A Proof of the Cosine Addition Formula Using the Law of Cosines, Math. Mag., Vol. 87, No. 2 (April 2014), p. 144.
Problème. Connaissant la longueur a d’un côté d’un triangle ABC quelconque et la mesure de deux
angles (β et γ) qui lui sont adjacents, déterminer le rayon R du cercle circonscrit au triangle, puis les
longueur des deux autres côtés b et c.
Résolution. Supposons donc que a, β et γ soient connus. Il va de soit que α = 180° – ( β + γ ) (car la
somme des angles dans tout triangle = 180°). Construisons le cercle circonscrit à ABC (le centre O
est l’intersection des médiatrices), puis déplaçons le sommet A sur le cercle afin qu’il soit situé
opposé à C (cf. la figure ci-dessous). Puisque les angles CAB et CDB interceptent le même arc CB
(sens trigonométrique) l’on déduit (par le théorème de l’angle au centre) que les deux angles valent
α. Par ailleurs le triangle CDB est rectangle en B (à nouveau par le théorème de l’angle au centre).
D’où
a
a
et donc 2 R =
. Or le même raisonnement appliqué au sommet B et C permet de
sin(α ) =
sin(α )
2R
montrer alors que
D’où b =
2R =
b
c
a
=
=
sin( β ) sin(γ ) sin(α )
(relations appelées : loi du sinus)
sin(γ )
sin( β )
⋅ a et c =
⋅a
sin(α )
sin(α )
Corollaire. OA, OB et OC décomposent le triangle ABC en trois petits triangles isocèles, AOC,
COB et BOA, de hauteurs respectifs (par rapport à O), ha , hb et hc. Le triangle CDB est semblable au
triangle dont les mesures sont R=OC, ha et ½ · a . De plus leur rapport de similitude (ou
d’homothétie) est de ½ , donc le rapport de leurs aires est donc de ¼ .
L’aire de CDB = ½ (2R·cos(α))·a = R·a·cos(α) d’où aire(COB) = ½ · R·a cos(α).
De même, par un raisonnement analogue pour les autres triangles AOC et AOB :
Aire(ABC) = aire(BOC) + aire(AOC) + aire(AOB) = ½ · R·(a cos(α) + b cos(β) + c cos(γ))