BILLEY Marion

TAI d’algèbre n°1
01/2004
tBILLEY Marion
COUQUE Matthieu
FAURE Antoine
GERMAINE Guillaume
POUGNET Ludovic
TAI d’Algèbre
Résolution des équations algébriques
(L1 groupeB)
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TAI d’algèbre n°1
01/2004
La recherche des solutions des équations algébriques a amené la
naissance de la notation algébrique, de la notion d’algorithme ainsi que de
celle de groupe.
Une équation algébrique de degré n est une équation de la forme
Xn+An-1Xn-1+…+A1X+A0
d’inconnue x et de coefficients An-1,…,A1,A0 complexes. Le théorème fondamental de
l’algèbre assure qu’une telle équation possède exactement n solutions complexes comptées
avec leurs ordres de multiplicité. Au cours de l’histoire, on a cherché à résoudre ces équations
au moyen d’extraction de radicaux. Cette méthode issue des exemples simples des degrés un
et deux fonctionne jusqu’au degré 4.
L’Antiquité
L'histoire des équations polynomiales trouve son origine dans la plus haute antiquité.
La résolution des équations quadratiques part alors de deux considérations distinctes : l'une
d'ordre géométrique (Égypte), l'autre d'ordre arithmétique (Mésopotamie).
Les Egyptiens se sont intéressés à la résolution d’équations algébriques de degré un.
Dans le papyrus de Rhind (vers 1700 av J.C), on trouve des problèmes du types :
« Une quantité et une portion de celle-ci vaut tant, quelle est cette quantité ? »
Il porte ce nom car il a été découvret par l’écossais Henri Rhind.
Ahmes, scribe égyptien né vers 1680 av. J.-C. en Egypte, mort vers 1620 av. J.-C. en Egypte.
Ahmes est le scribe qui écrivit le Papyrus de Rhind. Il n'en est pas l'auteur, seulement le scribe,
son contenu proviendrait de travaux datant de 2000 avant Jésus Christ. Tout ce que l'on sait
d'Ahmes sont ses propres commentaires sur le Papyrus de Rhind. Son papyrus est la
principale source d'informations sur les mathématiques égyptiennes. Le recto contient des
quotients de 2 par les nombres impairs de 3 à 101 en fractions irréductibles ainsi que les
nombres de 1 à 9 par 10. Le verso contient 87 problèmes sur les 4 opérations, résolutions
d'équations, progressions, volumes, etc. L'un des problèmes porte sur un cercle, et fait appel
au nombre Pi, c'est à partir de là que l'on connaît la valeur de Pi déterminé par les Egyptiens.
Il est conservé au British Museum depuis 1863, et est parfois appelé 'Papyrus d'Ahmes'.
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Les Égyptiens traitaient des problèmes relatifs à un triangle rectangle. La rédaction des
solutions sous-tend une pratique géométrique bien qu'il n'y ait pas de figure. On trouve
quelques exemples, peu nombreux, de résolution de systèmes du
{x²+y²=t²;y=mx
type :
Ces équations, après élimination de y, se ramènent à une équation du type ax² = b . A part cela,
la mathématique égyptienne n'a pratiquement rien découvert dans ce domaine.
Tablette d'argile (2 400 ans av. J.-C.)
Les Babyloniens savaient également résoudre des problèmes conduisant à des
équations de degré 2, comme par exemple :
« La surface d’un carré, ajoutée à son côté est égale à 3/4, quel est le coté du carré ? »
De nombreux exemples présents dans différentes tablettes babyloniennes montrent que les
Babyloniens possédaient des méthodes de résolution des équations malgré le fait qu'ils
n'utilisaient aucune notation algébrique pour exprimer leurs solutions, tous les problèmes
étaient numériques et exprimés en mots et en phrases. Dans une tablette de 1800 environ
avant J.C. on trouve l'équation suivante : 11x²+7x=25/4
« J’ai additionné sept fois le côté de mon carré et onze fois la surface »
Dans tous les cas, les équations ont une et une seule solution. Par contre, aucune solution
générale, ni aucune discussion n'apparaît.
Dans tout les cas, les problèmes posés étaient numériquement concrets et la résolution
des équations était purement verbale. Il n’existait pas encore de symbolisme mathématique.
Les Grecs savaient eux aussi résoudre des équations du premier et du second degré, mais
n’abordaient celles-ci que d’un point de vue géométrique. L’histoire montre qu’un problème
purement technique peut amener la naissance de concepts théoriques profonds.
Dans l'antiquité, les Grecs résolvaient les équations quadratiques par construction
géométrique. A cette époque (3ème siècle avant J.C.), la géométrie occupait avec Euclide une
place de choix. Ils firent de la résolution des équations du second degré la base même de toute
leur géométrie. Mais, pour travailler dans le corps des réels, ils remplacèrent les calculs
babyloniens par des constructions à la règle et au compas. Ils possédaient aussi des méthodes
applicables aux équations du troisième degré. Avant au moins cent ans après J.C., il n'y a
aucune trace d'une formulation algébrique
Ils utilisaient une méthode géométrique (intersection de deux coniques) pour résoudre les
équations du 3°degré. Le plus ancien des problèmes du 3e degré remonterait à
Ménechme (375 à 325 av J.-C.).
Ils arrivèrent à la conclusion que les solutions des équations du 3°degré sont les points
d'intersection d'une parabole avec une hyperbole.
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L’algèbre arabe
L’essor de l’algèbre a eu lieu au début du IX siècle dans les bibliothèques de Bagdad.
Les arabes découvrent, en les traduisant, les écrits grecs et ils les complètent. De surcroît, ils
profitent de la notation décimale de position moderne découverte par les Indiens. Al
Khwarizmi étudie et résout les équations algébriques de degré 2, en commençant par ajouter,
de part et d’autre de chaque membre, des quantités égales de sorte de faire disparaître les
quantités négatives. Cette manipulation, appelée al-jabr est à l’origine de la dénomination
algèbre. Al Khwarizmi présente alors chaque type d’équations possibles :
ax=bx,ax²=bx+c,etc
puis donne les règles de résolution de celles ci accompagnées de démonstrations de nature
géométrique. La démarche d’ Al Khwarizmi est nouvelle, il ne part plus d’un pouvoir concret
pour le résoudre, mais donne des méthodes de résolutions générales qu’il suffit d’apliquer pas
à pas. Il invente la notion d’algorithme, ce mot est d’ailleurs une déformation du nom de ce
mathématicien.
C'est au 7ème siècle après J.C., que commença l'essor des pays arabes. Entre le 9ème et le 12ème
siècle après JC, des mathématiciens arabes et notamment Al-Khwarizmi (780-850) résolvaient
l'équation du second degré par une procédure algébrique justifiée géométriquement. Ne
travaillant que sur les nombres positifs, ils étaient amenés à considérer les six cas suivants :
ax²
ax² = c
ax = c
ax² + bx = c
ax² + c = bx
bx+ c = ax²
Tout au plus, ils savaient que l'équation du second degré pouvait parfois admettre deux
racines positives. Vers 1100-1200, une solution purement algébrique est retrouvée chez les
hindous. On y voit apparaître une réduction sous forme canonique.
Al Khwarizmi Mathématicien, astronome et géographe arabe (780 - 850)
Al Khwarizmi est sans doute l'un des plus grands mathématiciens de tous les temps.
Dans sa jeunesse, Al Khwarizmi travaille dans la fameuse Maison de la Sagesse sous le règne
du Calife Al Ma’Mun (813 - 833) et occupe un poste d'astronome à l'observatoire de Bagdad.
En 825, il publie un traité dans lequel il utilise pour la première fois en mathématiques
l'expression al-jabr (de jabara, réduire) qui donnera le mot algèbre en français. Il est aussi
reconnu comme le fondateur de l'algèbre, car il introduisit non seulement le sujet sous forme
de science systématique, mais il le développa aussi jusqu'à parvenir à trouver des solutions
d’équations linéaires à quatre inconnues. Le nom d'algèbre est dérivé de son fameux livre AlJabre wa-al-Muquabilah. Il développa en détail des tableaux trigonométriques comportant la
fonction sinus, qui furent plus tard développés pour englober les fonctions tangentes. Il adopta
l'utilisation du zéro, un chiffre d'importance fondamentale, amenant l'existence de
l'arithmétique de positions du système décimal
Omar Al Khayyâm tenta de résoudre les équations du 3°degré par décomposition et
recomposition de cubes; mais ce qui avait été possible deux siècle plus tôt dans le plan avec
les équations du 2°degré s'avérait impossible dans l'espace. Devant cette impasse algébrique,
il utilisa une autre méthode géométrique pour résoudre les problèmes du 3°degré.
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La renaissance
Dès lors, on sait résoudre les équations algébriques de degré deux, mais que se
passe t’il pour les équations de degrés supérieurs ? Fibonacci (XIII siècle) pense qu’il n’est
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pas possible de résoudre algébriquement les équations du troisième degré, les mathématiciens
du Nord de l’Italie vont le contredire.
En 1 494, le moine franciscain Paccioli a imprimé le premier livre d'algèbre intitulé la
"Summa". Il y reprit tous les travaux des Arabes. On y retrouve donc la résolution complète
des équations du premier et deuxième degré. Il pensait que les équations du 3°degré étaient
insolubles par la méthode algébrique.
En 1 515, après le départ de Paccioli de la faculté de Bologne, Scipione découvrit enfin la
méthode algébrique de résolution des équations du 3°degré. Plutôt que la publier, il la nota
sur son bloc-notes.
En 1 526, C'est son gendre, Hannibal Nave (lui aussi professeur de mathématique), qui hérita
du bloc-notes à la mort de Scipione. Sur son lit de mort, il ne confia à son étudiant Fiore,
qu'une partie de la méthode. Dès lors Fiore commença à se vanter qu'il était capable de
résoudre toutes les équations du 3° degré et lança des défis aux mathématiciens.
Au XVI siècle, le mathématicien Del Ferro parvint à trouver certaines solutions
d’équations du 3eme degré. Il garde sa méthode secrète mais Del Fiore en prend connaissance
et l’exploite dès la mort de Del Ferro En 1535, il lance un défi à Tartaglia en vue de résoudre
trente problèmes, chacun conduisant à une équation de degré trois. L’un d’eux est par
exemple :
« Trouver un nombre qui ajouté à sa racine cubique, fasse 6 »
En 1 535, Tartaglia releva le défi algébrique et une sorte de duel s'engagea entre les deux
hommes. Chacun déposa une liste de 30 problèmes chez un notaire ainsi qu'une somme
d'argent. Celui qui, dans les 40 jours, aurait résolu le plus de problèmes serait désigné
vainqueur et remporterait la somme. Tartaglia découvrit à son tour la méthode et résolut les
30 équations alors que Fiore n'en résolut que 10.
Comme Tartaglia avait résolu le plus de problèmes, il fût reconnu comme l'inventeur de la
formule de résolution des équations du 3°degré. Cette méthode de résolution resta secrète
car Tartaglia ne la publia pas.
Tartaglia découvre une démarche générale de résolution des équations, il remporte le duel
mais garde ses méthodes de résolution secrètes. Cardan après maintes supplications, arrache
ce secret et le publie dans l’ouvrage Ars Magna en 1545. Comme Al Khwarizmi, il commence
par réorganiser l’équation de sorte que chaque quantité engagée soit positive, puis en fonction
du type d’équation obtenu, il présente la résolution de celle-ci. Voyons la démarche générale
de la méthode qui porte désormais son nom.
La méthode de Cardan-Tartaglia
Pour résoudre l’équation X3+AX2+BX+C=0 on commence par réaliser une translation
d’inconnue pour se ramener à l’équation.
X3+PX+Q=0
On écrit ensuite l’inconnue X sous la forme u+v avec la condition 3uv+p=0, X est alors
solution de l’équation étudiée si et seulement si
u3+v3+q=0
3
3
En posant U=u et V=v , on est alors amené à résoudre le système somme produit :
U+V= -q
UV= -p3/27
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dont les solutions sont les deux racines de l’équation t²+qt-p3/27=0. Une fois U et V trouvés, u
et v s’obtiennent par extraction de racines cubiques sachant aussi 3uv+p=0. Puisque x=u+v,
l’équation est résolue.
On obtient ainsi :
X=3 (q;2+ (q;2)²+(p;3)3)+3 (q;2- (q;2)²+(p;3)3)
Solution particulière de l’équation x3+px+q=0(voir ci-dessous)
Une équation du troisième degré
Soit à résoudre l’équation y3+3y²-1=0. Le changement de variable y=x+a conduit à l’équation
x3+3(a+1)x²+…=0 qui est de la forme x3+px+q=0 si et seulement si a=-1.
Posons y=x-1, l’équation devient x3-3x+1=0.
On écrit x=u+v avec uv=1 et on parvient à u3+v3+1=0 u3 apparaît comme solution de
l’équation t²+t+1=0 dont les racines sont e(2i Π)/3 et e-(2i Π)/3 .
Par suite, u est égal à e2i Π/9,e8i Π/9ou e14i Π/9.
De plus , v=1/u , x=u+v et y=x-1 donne comme solutions :
2cos(2 Π /9)-1 , 2cos(8Π/9)-1 et 2cos(14Π /9)-1
Dans la pratique, cette démarche peut conduire à des expressions complexes des solutions, par
exemple, la résolution de x3-6x+40=0 donne, entre autres solutions ,
X= 20+14 2+ 20-14 2
Qui est en fait égale à 4 car
20+14 2=(2+ 2)3
Pire, pour mener à terme certaines résolutions Cardan et Bombelli introduisent des racines
carrées de nombres négatifs avant de parvenir à simplifier leur calculs pour les faire
disparaître. C’est la première apparition des nombres imaginaires. Paradoxalement les
nombres imaginaires apparaissent alors que les mathématiciens de cette époque faisaient en
sorte de ne pas avoir à manipuler de nombres négatifs et appelaient « racines moins pures »
les solutions négatives de leurs équations !
On peut résoudre grâce à cette méthode les équations du 3e degrés:
x3+ax2+bx+C=0
1ere étape :
on doit obtenir une équation du type : x3+px+q=0
Pour cela on effectue une translation d’indice. On prend une nouvelle inconnue: Z tel
qu’on obtienne la relation entre X et Z: X=Z+j
Maintenant il faut trouver j, p et q :
On remplace X par Z+j dans la première équation, on développe et on calcule chaque
coefficient indépendamment.
On obtient alors le polynômes Z3+pZ+q=0
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On décompose l’inconnu Z en deux composantes : Z=u+v
Et on prend comme condition : 3uv+p=0 cela permet d’obtenir qu’un seul u et un seul v de
plus cette relation permet d’alléger les calculs peu après.
On remplace Z par u+v dans l’équation :
(u+v)3+p(u+v)+q=0
Apres avoir développé on obtient :
u3+v3+q+(u+v)(3uv+p)=0
on obtient donc:
u3+v3+q=0
On remplace u3 et v3 par U et V
En effectuant ce remplacement, on est amené à résoudre le système somme produit suivant :
U+V=-q
UV=-p3/27
On peut ainsi résoudre ce système on obtient deux solutions qui sont les solutions du trinôme
t2+q*t-(p3/27)=0
On obtient deux solutions qui sont U et V, comme U et V sont permutables on les choisit
indifféremment.
Ayant obtenu U et V on applique la racine cubique pour obtenir u et v
Puis on calcule Z=u+v
Et pour trouver X on ajoute j à z
1. Exemple : On se propose de résoudre le polynôme :x3 + 3x = 10
1°) On pose x=u+v et on impose la condition 3uv=-p (pour résoudre x3 + px + q = 0 )
(u+v)3 + 3(u+v) = 10
u3+3u²v+3uv²+v3 + 3u + 3v = 10
u3 + v3 + 3uv(v+u) + 3(u+v) = 10
u3 + v3 + (3uv + 3 )(v+u) = 10 et on impose
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3uv = -3 soit uv= - 1
TAI d’algèbre n°1
D'où
u3 + v3 = 10
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et
u3 v3 = -1
2°) On obtient donc le système :
u3+v3=-p = 10
u3v3 = -p3/27 = -1
3°) On pose
U=u3 et V = v3
soit
U+V= 10 et
UV= -1
donc U+V=10 et UV = -1 donc U et V sont solutions de x²-10x -1 = 0
Δ2= 100+4=104 et U=(10+√104)/2 = 5+√26 , U=(10-√104)/2 = 5-√26
Les solutions de l’équation sont donc :
X=u+v=3√(5+√26) + 3√(5-√26)
La méthode Ferrari
Dans la foulée, Ferrari, serviteur de Cardan, détermine comment résoudre l’équation
de degré 4
Pour résoudre l’équation x4+ax3+bx²+cx+=0, on commence par réaliser une translation
d’inconnue pour se ramener à l’équation
x4+px²+qx+r=0
On introduit alors un paramètre t pour écrire l’équation sous la forme :
x4+2x²t+t²=(2t+p)x²+qx+t²+r
Le premier membre est le carré de x+t. Le second peut le devenir si 4(t²+r)(2t+p)=q². Cela
nous ramène à la résolution d’une équation de degré trois en t. Pour t0 solution, on est alors
amené à résoudre une équation du type
(x²+t0)²=(ax+b)²
ce qui nous conduit à deux équations de degré deux (voir ci-dessous)
Une équation du quatrième degré
Soit à résoudre l’équation x4=12x-3. On introduit t et on réécrit l’équation étudiée
x4+2x²t+t²=2tx²+12x+t²-3
Le second membre peut s’écrire comme un carré si t3-3t-18=0 qui a t=3 comme solution
apparente. L’équation de départ s’écrit :
(x²+3)²=6(x+1)²
Il reste à résoudre les deux équations x²+ 6x+3+ 6=0 et x²- 6x+3- 6=0 qui donnent
respectivement les solutions :
(- 6+i 6+4 6)/2 et (- 6+ 4 6-6)/2)
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Equation du type ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0 (e)
avec a≠0
On divise par a l’équation (1) :
x4 + b/ax3 + c/ax2 + d/ax + e/a = 0
Si on pose X=x-b/4a on obtient: X4 + AX2 + BX + C = 0 (e1)

Dans le cas ou B=0 :
On se ramène a une équation du second degré en faisant un changement de
variable : Y= X2

Dans le cas ou B≠0. On peut faire apparaître un carré en considérant X4 + AX2 comme
le début du carré de X2 + A/2, mais on n’aboutit à rien. Si on maintient quand même
cette idée et que l’on introduit une inconnue auxiliaire u en calculant (X2 + u/2)2 = X4
+ uX2 + u2/4, ce qui permet d'éliminer X4 dans l'équation (e1). On obtient :
(X2 + u/2 )2 = (u - A)X2 - BX + u2/4 - C
(e2) :
équivalente à (e1) quelque soit u.

On impose comme conditions : u ≠A et = 0, où est le discriminant de l'équation en
X du second membre, ce qui conduit à une équation du 3ème degré :
(e3) :
u3 - Au2 - 4Cu + 4AC - B2 = 0
équation du 3e degré que l'on sait résoudre grâce a la formule de Cardan.
On note que l'égalité u = A ne peut avoir lieu car cela impliquerait, dans (e3), B = 0 :
ce qui n'est pas le cas.

(e2) devient équivalente à :
(X2 + u/2 )2 = (u - A)(X - z)2
où z = B/2(u - A) désigne la solution double du second membre de (e2) correspondant à une
racine réelle u > A de (e3) : il en existe au moins une de la sorte car d'une part, l'image de A
par le polynôme p du premier membre de (e3) est p(A) = - B2 < 0, d'autre part la limite de p
pour u infini est infinie, ce qui prouve que p s'annule sur ]A,+∞ [.
Dans ces conditions, la résolution se ramène à deux équations du second degré. On voit que,
dans R, l'équation du quatrième degré possède 0, 2 ou 4 solutions (éventuellement multiples).
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Exemple :
(e) :
x4 - 2x3 + 3x2 + 4x - 10 = 0
En posant x = X + 1/2, on se ramène à : X4 + 3X2 + 6X - 119/16 = 0, ce qui peut s'écrire :
(X2 + 3/2)2 = 3X2/2 - 6X + 155/16
Introduisons l'inconnue u et réordonnons : (3/2+ 2u)X2 - 6X + u2 + 3u + 155/16 = 0
Le discriminant de cette équation du second degré en X est : 8u3 + 30u2 + 191u/2 + 177/8.
On divise par 8, on pose u = t - 5/4, on obtient alors :
t3 + 7,25t - 8,25 = 0
On remarque, que t = 1 est une solution évidente. Par suite u = -1/4 annule notre discriminant.
Remplaçons u par cette valeur, on obtient :
(X2 + 5/4)2 = (X - 3)2
D'où :
X=-1/2±√2
Or x = X + 1/2, donc les deux solutions de l'équation sont x = √2 et x = -√2. L'équation (e) est
donc divisible par x2 - 2 : on obtient alors (x2 - x + 1)( x2 - 2). Le premier facteur est du
second degré, son discriminant est négatif. (e) ne possède que les deux solutions x = ±√2.
L’age des lumières
Nous allons parler ici de la méthode de Newton qui permet de résoudre f(x)=0. Elle
est aussi appelée méthode des tangentes, elle est faite d’une succession d’approximation.
On prend une valeur r qu’on pense proche de la racine de l’équation. Entre r et x il existe un
écart noté e tel que x=r+e. On remplace x par r+e dans l’équation et on résout. e étant petit e²
l’est encore plus,e3 l’est plus encore et e4 est donc très petit. Donc on calcule et on
recommence avec x=(r+e)+e1 . Plus on recommence plus la solution trouvée est proche de la
vraie solution et si on part d’une valeur plus proche de la racine l’approximation sera plus vite
acceptable.
Graphiquement :la tangente au point choisi(r),l’équation x=r et l’axe des abscisses forment un
triangle rectangle dont l’hypoténuse est la tangente. Donc la solution dépend de la dérivée et
donc r1 est l’abscisse du point où la tangente coupe l’axe des abscisses, de plus la pente de
l’hypoténuse est f(r)/f’(r).
On peut en déduire une formule de récurrence : rn+1=rn-y/y’
Prenons comme exemple celle que Newton a utilisé f(x)=x3-2x-5 avec r=2
Nous avons donc x=2+e donc f(x)=0 équivaut à
(2+e)3-2(2+e)-5=0
e3 +6e²+10e-1=0
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On néglige les degrés supérieurs à 1 et on obtient
10e+1=0 donc e=0.1
alors r1=2.1
la formule de récurrence est rn+1=rn- x3-2x-5/x²-2
on en calcule et on trouve
r2=2.0945
r3=2.094551481
r4=2, 0945514815423265914
r5= 2, 09455148154232659148238654058
C’est donc une méthode plutôt rapide mais qui ne résout que les équations du type f(x)=0
Nous tenons à signaler que c’est à cette époque que le philosophe et mathématicien
Jean Le Rond d’Alembert inventa la machine à résoudre les équations.
Fils illégitime de Mme de Tencin et du chevalier Louis Camus Destouches Jean Le Rond
d’Alembert fut abandonné devant une église par sa mère qui ne pouvait s’occuper de lui (et
sans doute ne le voulait-elle). Il fut donc recueilli par des sœurs et élevé par une nourrice qu’il
aima comme sa mère. Après des études payées par son père au collège janséniste des quatre
nations il se passionna pour les maths et la physique.
Il inventa la machine à résoudre les équations qui permet de trouver des valeurs
approchées des solutions d’équations du type
ax3+bx2+cx+d=0
Ce calcul se fait par une succession d’utilisation du théorème de Thalès
La parallèle à l’axe (Ox) passant par A coupe D1 en A’ et (A’B) coupe (DX) en D’’. La
parallèle à (Ox) passant par A’’ coupe D1 en B’ et D0 en I.
D’après le théorème de Thalès, IB/A’’I=AB/AA’ donc IB=(AB*A’’I)/AA’=AB*A’’I=a*x
donc la différence des ordonnées de A’’ et B vaut aX
De même on place B, C, D et E avec AB=a, BC=b, CD=c, DE=d.
On a I’C/IC=B’’I’/IB’ donc IC=(B’’I’*IC)/IB’=B’’I’*IC=x*(ax+b)
Donc la différence des ordonnées de B’’ et C vaut (aX+b)X
De même la différence des ordonnées de C’’ et D vaut ((aX+b)X+c)X
Et enfin la différence des ordonnées de D’’ et E vaut (((aX+b)X+c)X+d)X ce qui est la valeur
du polynôme recherché. La machine de d’Alembert est conçue pour que les bouts des
segments puissent se déplacer le long de réglettes prévues à cet effet.
Si la différence des ordonnées de D’’ et E vaut 0 alors ils sont sur la même horizontale et
l’abscisse de Dx est une valeur pour laquelle X est solution de du polynôme. Mais d’un point
de vue pratique cette machine n’est pas vraiment réalisable. Par contre son algorithme qui se
base sur de la géométrie est en fait le théorème de Horner et permet de faire des économies de
calcul et sera donc utilisé en informatique.
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TAI d’algèbre n°1
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La période romantique
Pour résoudre les équations algébriques de degré 2,3 ou 4, on s’est à chaque fois
ramené aux degré inférieurs, est ce toujours possible ? Le mathématicien norvégien Abel
démontre en 1824 qu’il n’est pas possible de résoudre par radicaux l’équation de degré cinq.
Malheureusement son travail ne trouve pas de lecteur et, malgré son génie il meurt dans la
pauvreté à l’age de 27 ans. Le mathématicien français Galois, s’intéresse lui aussi aux
équations algébriques. Afin d’établir l’impossibilité de résoudre les équations de degrés
supérieurs à cinq, il ébauche les concepts algébriques modernes (groupes, morphismes, etc.)
mais meurt en duel à l’âge de 21 ans, « victime d’une infâme coquette ». Néanmoins, la veille
du duel, il rédige à la hâte les idées essentielles de sa théorie. Celles-ci ne seront comprises
que 30 ans plus tard. La théorie de Galois est actuellement enseignée en université au niveau
Maîtrise.
Finalement, il est désormais démontré qu’il n’existe pas de formule par radicaux permettant
de résoudre systématiquement les équations de degré 5 ou plus. Il ne reste plus alors qu’à
rechercher des solutions apparentes ou d’essayer quelques changements d’inconnue !
Avant de parler plus amplement de mathématiques étudions un peu la vie des
principaux acteurs de la découverte de l’impossibilité de résoudre les équations du 5éme
degré et de degré supérieur.
L’histoire du cinquième degré est celle de deux adolescents géniaux, Niels Abel (1802–1829)
et Evariste Galois (1811–1832), aux destins tragiques. Niels Abel naît en Norvège d’un père
pasteur et d’une mère pianiste, malheureusement alcooliques. A treize ans, il est envoyé à la
Kathedralskole de Christiania (Oslo), où le professeur de mathématiques est si violent qu’il
finit par battre à mort l’un de ses élèves. Il est (tout de même !) renvoyé, et son successeur
Holmboe, d’une toute autre stature, prend conscience du talent d’Abel et ose écrire sur son
bulletin « deviendra, s’il vit, le plus grand mathématicien du monde ». Une maigre bourse lui
permet de voyager en Italie, en Allemagne et à Paris. Malgré ses publications dans le Journal
de Crelle fondé par son ami, il ne parvient pas à obtenir un poste d’enseignant. Affaibli par la
maladie et sans le sou, il rentre en Norvège et meurt de la tuberculose à vingt-sept ans, deux
jours avant qu’arrive la lettre lui proposant sa nomination à l’Université de Berlin.
Evariste Galois est le fils du maire républicain (en pleine Restauration...) de Bourg-la-Reine,
au sud de Paris. Elevé jusqu’à douze ans par sa mère, il entre au Collège Royal Louis le
Grand (aujourd’hui lycée du même nom). Le suicide de son père, sans doute consécutif à une
cabale politique, le jette dans la révolte. Expulsé de Louis le Grand, il essaye vainement
d’intégrer l’Ecole Polytechnique, alors bastion des idées républicaines, et doit se contenter de
l’Ecole Normale Supérieure. Ses mémoires mathématiques sont égarés ou classés sans suite
par leurs rapporteurs, et le directeur de l’Ecole Normale interdit à ses élèves de participer aux
journées d’émeute de Juillet 1830. Galois proteste, est renvoyé, puis emprisonné pour avoir,
lors d’un banquet républicain, porté un toast « à Louis-Philippe »... en brandissant
un couteau. Il échappe à une tentative d’assassinat durant son séjour à la prison de SaintePélagie, mais meurt en juin 1832 des suites d’un duel dont les motifs restent mal élucidés. Il
faudra attendre 1846 pour que, grâce à l’insistance infatigable de son frère Alfred, son
Travail soit enfin reconnu et publié par Liouville dans son Journal de mathématiques pures et
appliquées.
Abel et Galois ne se sont sans doute jamais rencontrés, même si nous savons qu’Abel visitait
le Quartier Latin quand Galois y faisait ses études. Ils ont montré indépendamment l’absence
de formules pour le degré cinq, par des méthodes proches mais distinctes.
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Comment peut-on se faire une intuition de la complexité croissante des groupes de
permutation ? Pour les sportifs, essayons de jongler : n’importe quel maladroit apprend à
jongler avec trois balles en un après-midi, jongler avec quatre balles demande des semaines
d’efforts, parvenir à cinq balles des mois d’entraînement. Seuls les professionnels vont audelà. Laissons donc cela à d’autre car nous ne pourrions pas ici expliquer vraiment la théorie
de Gallois mais voyons quelques idées sur le 5eme degré et ce que d’autres que Gallois en ont
dit.
ax5+bx4+cx3+dx2+ex+f=0
=> (x-x5)(x-x4)(x-x3)(x-x2)(x-x1)=0
S1=x1+x2+x3+x4+x5= -b/a
S2=x1x2+x1x3+x1x4+....+x4x5=c/a
S3=x1x2x3+x1x2x4+x1x2x5+....+x3x4x5= -d/a
S4=x1x2x3x4+x1x2x3x5+......+x2x3x4x5= e/a
S5=x1x2x3x4x5= -f/a
Le groupe de 5 lettres n'a pas de sous groupe invariant, c’est a dire un groupe réduit
ayant toutes les propriétés d'un groupe (élément neutre, associativité, symétrie)
Or Galois montre que c'est une condition afin de résoudre une équation par radicaux
Pour le degré sup. par exemple n:
F(x)= (x-x5)(x-x4)(x-x3)(x-x2)(x-x1)....(x-xn)=0
On a vu que (x-x5)(x-x4)(x-x3)(x-x2)(x-x1)=0 était impossible donc le résultat sera le
même pour tout degré supérieur a 5
Cauchy souvent considéré comme l'un des plus grands mathématiciens après Euler,
entra a polytechnique a 16 ans ou il enseignera plus tard ainsi qu'a la sorbonne. Il
aida lui même la recherche de Galois en introduisant la notion de groupe en tant que
structure algébrique restreinte cependant aux permutations que Abel et Galois
utiliseront avec succès.
Abel un norvégien né en 1802 crut avoir trouvé la solution de démonstration des
polynômes du 5eme degré a l'age de 16 ans, or a 19 ans il reviendra sur ses
résultats et prouvera le contraire comme l'avait fait Galois.
Il définit la notion de groupe, connue sous le nom de groupe abélien ou groupe
commutatif qui définit les groupes dont la loi de composition interne est commutative.
Gauss lui, démontra le théorème fondamental de l'algèbre:
Tout polynôme d'une variable complexe de degré n, admet n racines complexes
(éventuellement égales), mais il étudia aussi les polygones premiers et leur
constructibilité puis créa le concept de la congruence.
Lagrange perçut l'intérêt des fonctions symétriques des racines, que Gauss Abel et
Galois utilisèrent pour clore le problème de la résolution par radicaux des équations
de la forme:
Xn+a1X(n-1)+....+a(n-1)X+an=0
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a pour solution si n=3 -a1=X1+X2+X3 a2=X1X2+X1X3+X2X3 et -a3=X1X2X3
Ruffini né en 1765, se pencha lui sur la théorie des groupes de substitution
essentielle aux travaux d'Abel mais surtout de Galois et aussi sur la résolution par
radicaux des équations du 2eme,3eme et 4eme degré appelée aussi locution
Fourier considéré comme le fondateur avec son brillant élevé Poisson de ce que l'on
appelle la physique mathématique (intégrales définies) ignorèrent tous deux les
travaux de Galois et Poisson l'empêcha même de présenter ses travaux a
l'académie des sciences en 1831.
II étudia aussi les conditions de la convergence qui seront détaillées par Dubois
Dirichlet et Jordan.
L’ére de l’informatique
De nos jours les ordinateurs nous permettent de nous débarrasser des calculs bêtes et
méchants. Ils suffit d’entrer des valeurs pour que des programmes spéciaux nous résolvent les
équations, nous tracent des courbes… Il est vrai qu’ainsi les maths perdent de leur « classe »
mais cela nous permet de gagner du temps sur certains problémes pour pouvoir en exploité
d’autres. Nous allons donc voir comment marche un de ces programmes permettant la
résolution des équations jusqu’au degré 4
Le programme utilise la méthode de résolution de Tartaglia, donnée à cardan :
2
a4x4 + a3x3 + a2x + a1x + a0 = 0
a4 étant non nul, cette équation se résout en considérant d’abord l’équation du 3
b3 = 1
b2 = -(a2/a4)
b1 = (a3a1/a4²)-(4a0/a4)
b0 = (ao/a4)(4a2/a4-a3²/a4²)-(a1²/a4²)
On peut réduire cette équation :
z3 + pz+q = 0
p = b1/b3 – b2²/3b3²
q = b0/b3 + 2(b2/3b3)3 – b2b1/3b3²
Il faut alors résoudre l’équation du second degré suivante :
c2w² + c1w + c0 = 0
c2 = 1
c1 = q
c0 = (-p/3)3
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ème
degré :
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Si les deux racines sont disjointes et réelles w1 et w2
Alors l’équation du 3ème degré en z admet une solution réelle :
z0 = 3;w1 + 3;w2
et deux solutions complexes conjuguées.
Par division polynomiale on réduit l’équation du 3ème degré en z à une équation du second
degré
(z3+pz+q)/(z-z0) = z² + z0z + (p+z0²) le reste étant nul puisque z0 est une racine
sinon si les racines sont réelles doubles w0
Alors l’équation du 3ème degré en z admet trois racines réelles dont une double :
r = 3;-q/2
z0 = 2r
z1 et z2 = -r
Sinon si les racines sont complexes conjuguées w1 :
ρ = 3;|w1|²
θk = (arctg(|Im(w1)| / Re(w1)) + k2π) / 3
Les racines de l’équation du 3ème degré en z sont réelles
zk = 2ρcos(θk)
0
k € 1
2
Ayant les racines de l’équation du 3ème degré en z on en déduit les racines de l’équation du
3ème degré en y
yk = zk – b /3b
2 3
0
k € 1
2
Pour atteindre les racines de l’équation du 4ème degré en x on résout deux équations du 2nd
degré
Soit ym la racine réelle la plus grande de l’équation du 3ème degré en y
Alors :
{x² + (A+B)x + (C+D) = 0;x² + (A-B)x + (C-D) = 0
A = a3/2a4
B = ym/2a4
D = ;B² - a0/a4
(AB – a1/2a4) / D
D different de 0
C=
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;A² - a2/a4 + 2ym
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D=0
Les différentes solutions possibles par équation :
1er degré :
Une solution réelle
2ème degré :
2 solutions réelles
1 solution réelle double
2 solutions imaginaires conjuguées
2 solutions complexes conjuguées
3ème degré :
3 solutions réelles
1 réelle et 1 réelle double
1 solution réelle et 2 solutions imaginaires conjuguées
1 solution réelle et 2 complexes conjuguées
4ème degré :
4 solutions réelles disjointes
2 réelles disjointes et 1 réelle double
2 solutions réelles doubles
4 solutions imaginaires conjuguées deux à deux
4 solutions complexes conjuguées deux à deux
2 solutions réelles disjointes et deux solutions imaginaires conjuguées
2 solutions réelles disjointes et deux solutions complexes conjuguées
1 solution réelle double et 2 solutions imaginaires conjuguées
1 solution réelle double et 2 solutions complexes conjuguées
Les défis mathématiques de nos jours
Après les défis lancé a la renaissance entre deux mathématiciens différents voulant se
prouver qui des deux est le meilleur. Il s’agit de nous jours de répondre a des problémes posés
par une personne et ouverte a tout ceux qui veulent essayer de répondre. Le but étant de faire
progresser la science comme l’ont fait cardan et Tartaglia
Les 23 problèmes de Hilbert
Hilbert(1862-1943) est allemand est a obtenu son doctorat de mathématiques en 1885 après
des études a konigsberg ou il deviendra professeur
Enoncés par Hilbert au Congrès international de mathématiques de Paris en 1900, ils sont
aujourd'hui pratiquement tous résolus (couleur verte) ou partiellement résolus (couleurs bleue).
1. a - Peut-on prouver l'hypothèse du continu de Cantor ?
b - L'ensemble des nombres réels peut-il être bien ordonné ?
2. Peut-on prouver la consistance de l'arithmétique ?
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3. La méthode euclidienne de décomposition en polyèdres est-elle
applicable à tous les volumes ?
4. Quelles sont les géométries dans lesquelles le chemin le plus court
entre deux points est un segment de droite
5. A quelles conditions (minimales), un groupe topologique de
transformations est-il un groupe de Lie ?
6. Peut-on axiomatiser la physique ?
7. Etude de l'irrationalité et de la transcendance de certains nombres,
comme : si a désigne un nombre algébrique non nul et distinct de 1,
et b un nombre algébrique non rationnel, ab est-il transcendant ?
8. Prouver la conjecture de Riemann
9. Nombre de solutions d'une congruence quadratique dans un anneau
d'entiers d'un corps algébrique (réciprocité quadratique)
10.
Existe-t-il un algorithme universel pour la résolution des
équations diophantiennes ?
11.
Généraliser la classification des formes quadratiques à celles
dont les coefficients sont choisis dans des anneaux d'entiers
algébriques
12.
Généralisation d'un théorème de Kronecker
13.
Existe-t-il des fonctions continues de 3 variables non
superposables par des fonctions continues de deux variables
(équivalent à la résolution d'une équation algébrique de degré 7 au
moyen des fonction de deux variables) ?
14.
Etude d'un problème très pointu relatif à l'existence d'un
système fini de générateurs d'une algèbre de fonctions rationnelles
sur un corps abstrait
15.
Peut-on fonder (au sens formel) la géométrie énumérative de
Schubert (géométrie algébrique, cohomologie) ?
16.
Développer une topologie des variétés algébriques réelles
(courbes et surfaces).
17.
Une fonction rationnelle positive sur Rn peut-elle s'écrire
comme somme de carrés de fonctions rationnelles ?
18.
Peut-on décomposer un espace euclidien de dimension fini
comme réunion de pavés de sorte que chacun d'eux soit congruent
(isométrique) à l'un des polyèdres d'une famille donnée ?
19.
Rechercher si les solutions d'un problème relevant du calcul
des variations (système d'équations aux dérivées partielles) sont
nécessairement analytiques
20.
Etudier la solution générale des problèmes de valeur limite
(généralisation du problème de Dirichlet).
21.
Etudier l'existence d'une équation différentielle linéaire de
Fuchs satisfaisant à des conditions (points singuliers) données
22.
Uniformisation des fonctions analytiques complexes au moyen
de fonctions fuchsiennes
23.
Développer une méthode générale de résolution dans le calcul
des variations
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A l'instar de David Hilbert, Landon Clay, mécène américain fondateur du Clay Mathematics
Institute choisit, le 24 mai 2000, Paris et le Collège de France pour proposer de financer 7 prix
d'un million de dollars chacun destinés à qui résoudrait l'un de 7 problèmes ouverts considérés
comme fondamentaux à l'aube du 21ème siècle :
2.
3.
4.
5.
6.
7.
1. La conjecture de Poincaré : peut-être résolue par Grisha
Perelman
L'hypothèse de Riemann : 8è problème, encore non résolu, de Hilbert
La conjecture de Hodge, portant sur la cohomologie
Le problème de Stephen Cook, P versus NP problem, portant sur la
stratégie à adopter face à un problème complexe et opposant la
recherche de la solution à la vérification d'une solution présumée
Les équations de Navier-Stokes portant sur la mécanique des fluides
et le bien fondé des solutions de ces équations
La théorie de Yang et Mills portant sur le lien entre la physique
quantique et les espaces fibrés
La conjecture de Birch Swinnerton-Dyer portant sur les courbes
elliptiques de genre 1
Nous n’allons pas ici tacher de démontrer un des problémes déjà résolu de hilbert
puisqu’ils sont impossibles a notre niveau
Un bref tour du monde
Aprés avoir vu l’aspect historique regardons maintenant l’évolution géographique. A
la lecture des textes ci dessu on pourrait se demander si seul les peuples du pourtout
méditéranéen et de l’Europe savent bien compter. Et que seul eux font des découvertes.
Rappellez vous du zéro que les arabes ont adoptés et bien ils l’ont pris au Indiens. Ces
derniers l’ont découvert en 605 a peu prés en même temps que les Mayas mais après les
Babyloniens. La plus ancienne trace écrite date de 458 dans un manuscrit un indien mis au
3éme siécle avant jésus christ les babyloniens avaient inventés un signe qui marquait le
manque de dizaine mais qu’ils ne considéraient pas comme un nombre.
ARYABHATA (Arjabahr), indien, 476-550 : c’est le premier grand mathématicien indien.
Dans son livre appellé Aryabhatiyail il résout une de difficiles équations diophantiennes
(équation de la forme P(x,y,z..)=0 ou P est un polynome à coefficients entiers(ou rationnels)
dont on cherche les zéros dans N ou Q)
EX : d’une maniére générale :
x2+1=2y4 Ce type d’équation n’a pas toujours de solution mais dans le cas présent il y en a
2 : x=y=1 ou x=239 et y=13
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A noté que l’identité de Bezout est une équation diophantienne( si une solution existe il en
existe une infinité)
EX :14X+9y=1 x=2+9t et y=-3-14t
Presque toute les civilisations ont réussi a résoudre les équations du second degré mais
peu d’entre elles dépassérent ce stade car elle avait une philosophie moins tournée vers les
sciences et surtout vers les mathématiques.
De nos jours les avancés scientifique ont lieu partout dans le monde et grace au échanges
internationaux il n’y a pas vraiment de pays meilleur que d’autre en mathématiques.
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BIBLIOGRAPHIE
http://www.mathkang.org/pdf/alambert.pdf
http://www.bouffier.org/fr/maths.html
http://www.lycee-international.com
http://math93.free.fr
http://www.peripheria.net
http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk
http://www.alain.be
http://www.chez.com/histoiredechiffres
http://www.sciences-en-ligne.com
http://mathematiques.fauriel.org/histoire.pdf (petite histoire des maths)
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