BILLEY Marion

TAI d’algèbre n°1 01/2004
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tBILLEY Marion
COUQUE Matthieu
FAURE Antoine
GERMAINE Guillaume
POUGNET Ludovic
TAI d’Algèbre
Résolution des équations algébriques
(L1 groupeB)

TAI d’algèbre n°1 01/2004
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La recherche des solutions des équations algébriques a amené la
naissance de la notation algébrique, de la notion d’algorithme ainsi que de
celle de groupe.
Une équation algébrique de degré n est une équation de la forme
Xn+An-1Xn-1+…+A1X+A0
d’inconnue x et de coefficients An-1,…,A1,A0 complexes. Le théorème fondamental de
l’algèbre assure qu’une telle équation possède exactement n solutions complexes comptées
avec leurs ordres de multiplicité. Au cours de l’histoire, on a cherché à résoudre ces équations
au moyen d’extraction de radicaux. Cette méthode issue des exemples simples des degrés un
et deux fonctionne jusqu’au degré 4.
L’Antiquité
L'histoire des équations polynomiales trouve son origine dans la plus haute antiquité.
La résolution des équations quadratiques part alors de deux considérations distinctes : l'une
d'ordre géométrique (Égypte), l'autre d'ordre arithmétique (Mésopotamie).
Les Egyptiens se sont intéressés à la résolution d’équations algébriques de degré un.
Dans le papyrus de Rhind (vers 1700 av J.C), on trouve des problèmes du types :
« Une quantité et une portion de celle-ci vaut tant, quelle est cette quantité ? »
Il porte ce nom car il a été découvret par l’écossais Henri Rhind.
Ahmes, scribe égyptien né vers 1680 av. J.-C. en Egypte, mort vers 1620 av. J.-C. en Egypte.
Ahmes est le scribe qui écrivit le Papyrus de Rhind. Il n'en est pas l'auteur, seulement le scribe,
son contenu proviendrait de travaux datant de 2000 avant Jésus Christ. Tout ce que l'on sait
d'Ahmes sont ses propres commentaires sur le Papyrus de Rhind. Son papyrus est la
principale source d'informations sur les mathématiques égyptiennes. Le recto contient des
quotients de 2 par les nombres impairs de 3 à 101 en fractions irréductibles ainsi que les
nombres de 1 à 9 par 10. Le verso contient 87 problèmes sur les 4 opérations, résolutions
d'équations, progressions, volumes, etc. L'un des problèmes porte sur un cercle, et fait appel
au nombre Pi, c'est à partir de là que l'on connaît la valeur de Pi déterminé par les Egyptiens.
Il est conservé au British Museum depuis 1863, et est parfois appelé 'Papyrus d'Ahmes'.

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Les Égyptiens traitaient des problèmes relatifs à un triangle rectangle. La rédaction des
solutions sous-tend une pratique géométrique bien qu'il n'y ait pas de figure. On trouve
quelques exemples, peu nombreux, de résolution de systèmes du
type : {x²+y²=t²;y=mx
Ces équations, après élimination de y, se ramènent à une équation du type ax² = b . A part cela,
la mathématique égyptienne n'a pratiquement rien découvert dans ce domaine.
Tablette d'argile (2 400 ans av. J.-C.)
Les Babyloniens savaient également résoudre des problèmes conduisant à des
équations de degré 2, comme par exemple :
« La surface d’un carré, ajoutée à son côté est égale à 3/4, quel est le coté du carré ? »
De nombreux exemples présents dans différentes tablettes babyloniennes montrent que les
Babyloniens possédaient des méthodes de résolution des équations malgré le fait qu'ils
n'utilisaient aucune notation algébrique pour exprimer leurs solutions, tous les problèmes
étaient numériques et exprimés en mots et en phrases. Dans une tablette de 1800 environ
avant J.C. on trouve l'équation suivante : 11x²+7x=25/4
« J’ai additionné sept fois le côté de mon carré et onze fois la surface »
Dans tous les cas, les équations ont une et une seule solution. Par contre, aucune solution
générale, ni aucune discussion n'apparaît.
Dans tout les cas, les problèmes posés étaient numériquement concrets et la résolution
des équations était purement verbale. Il n’existait pas encore de symbolisme mathématique.
Les Grecs savaient eux aussi résoudre des équations du premier et du second degré, mais
n’abordaient celles-ci que d’un point de vue géométrique. L’histoire montre qu’un problème
purement technique peut amener la naissance de concepts théoriques profonds.
Dans l'antiquité, les Grecs résolvaient les équations quadratiques par construction
géométrique. A cette époque (3ème siècle avant J.C.), la géométrie occupait avec Euclide une
place de choix. Ils firent de la résolution des équations du second degré la base même de toute
leur géométrie. Mais, pour travailler dans le corps des réels, ils remplacèrent les calculs
babyloniens par des constructions à la règle et au compas. Ils possédaient aussi des méthodes
applicables aux équations du troisième degré. Avant au moins cent ans après J.C., il n'y a
aucune trace d'une formulation algébrique
Ils utilisaient une méthode géométrique (intersection de deux coniques) pour résoudre les
équations du 3°degré. Le plus ancien des problèmes du 3e degré remonterait à
Ménechme (375 à 325 av J.-C.).
Ils arrivèrent à la conclusion que les solutions des équations du 3°degré sont les points
d'intersection d'une parabole avec une hyperbole.

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L’algèbre arabe
L’essor de l’algèbre a eu lieu au début du IX siècle dans les bibliothèques de Bagdad.
Les arabes découvrent, en les traduisant, les écrits grecs et ils les complètent. De surcroît, ils
profitent de la notation décimale de position moderne découverte par les Indiens. Al
Khwarizmi étudie et résout les équations algébriques de degré 2, en commençant par ajouter,
de part et d’autre de chaque membre, des quantités égales de sorte de faire disparaître les
quantités négatives. Cette manipulation, appelée al-jabr est à l’origine de la dénomination
algèbre. Al Khwarizmi présente alors chaque type d’équations possibles :
ax=bx,ax²=bx+c,etc
puis donne les règles de résolution de celles ci accompagnées de démonstrations de nature
géométrique. La démarche d’ Al Khwarizmi est nouvelle, il ne part plus d’un pouvoir concret
pour le résoudre, mais donne des méthodes de résolutions générales qu’il suffit d’apliquer pas
à pas. Il invente la notion d’algorithme, ce mot est d’ailleurs une déformation du nom de ce
mathématicien. C'est au 7ème siècle après J.C., que commença l'essor des pays arabes. Entre le 9ème et le 12ème
siècle après JC, des mathématiciens arabes et notamment Al-Khwarizmi (780-850) résolvaient
l'équation du second degré par une procédure algébrique justifiée géométriquement. Ne
travaillant que sur les nombres positifs, ils étaient amenés à considérer les six cas suivants :
ax²
ax² = c
ax = c
ax² + bx = c
ax² + c = bx
bx+ c = ax²
Tout au plus, ils savaient que l'équation du second degré pouvait parfois admettre deux
racines positives. Vers 1100-1200, une solution purement algébrique est retrouvée chez les
hindous. On y voit apparaître une réduction sous forme canonique.
Al Khwarizmi Mathématicien, astronome et géographe arabe (780 - 850)
Al Khwarizmi est sans doute l'un des plus grands mathématiciens de tous les temps.
Dans sa jeunesse, Al Khwarizmi travaille dans la fameuse Maison de la Sagesse sous le règne
du Calife Al Ma’Mun (813 - 833) et occupe un poste d'astronome à l'observatoire de Bagdad.
En 825, il publie un traité dans lequel il utilise pour la première fois en mathématiques
l'expression al-jabr (de jabara, réduire) qui donnera le mot algèbre en français. Il est aussi
reconnu comme le fondateur de l'algèbre, car il introduisit non seulement le sujet sous forme
de science systématique, mais il le développa aussi jusqu'à parvenir à trouver des solutions
d’équations linéaires à quatre inconnues. Le nom d'algèbre est dérivé de son fameux livre Al-
Jabre wa-al-Muquabilah. Il développa en détail des tableaux trigonométriques comportant la
fonction sinus, qui furent plus tard développés pour englober les fonctions tangentes. Il adopta
l'utilisation du zéro, un chiffre d'importance fondamentale, amenant l'existence de
l'arithmétique de positions du système décimal
Omar Al Khayyâm tenta de résoudre les équations du 3°degré par décomposition et
recomposition de cubes; mais ce qui avait été possible deux siècle plus tôt dans le plan avec
les équations du 2°degré s'avérait impossible dans l'espace. Devant cette impasse algébrique,
il utilisa une autre méthode géométrique pour résoudre les problèmes du 3°degré.

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La renaissance
Dès lors, on sait résoudre les équations algébriques de degré deux, mais que se
passe t’il pour les équations de degrés supérieurs ? Fibonacci (XIII siècle) pense qu’il n’est