Résolution des équations algébriques. algébriques Une équation algébrique est une équation de la forme : x n + an −1 x n −1 + an − 2 x n − 2 + ... + a1 x + a0 = 0 où l’inconnue est x et où a0 , a1 ,..., an −1 sont des nombres connus qu’on appelle coefficients de l’équation. On dit que l’équation est de degré n. n ( exemple d’équation non algébrique : x 2 − sin x = 0 ) Les mathématiciens se sont très tôt intéressés aux équations algébriques car elles figurent figure parmi les plus simples que l’on on puisse se poser (ce qui ne veut pas dire qu’elles sont faciles à résoudre !) Le problème consistant à « résoudre » ce type d’équations peut prendre différentes formes selon les besoins. On peut par exemple chercher à trouver des solutions solutions approchées par des méthodes numériques. Ou bien, chercher à construire géométriquement les solutions comme intersections de certaines courbes dans le plan. Il se trouve que, historiquement, le problème de la résolution de telles équations a acquis, pour les algébristes,, un sens très précis, celui de la résolution par radicaux. Résolubilité par radicaux : Une équation est résoluble par des radicaux ssi les solutions peuvent être construites à partir des coefficients de l’équation en un nombre fini d’étapes faisant intervenir les quatre opérations élémentaires +,−,× et ÷ , et l’extraction de racines nièmes pour des entiers naturels appropriés n. Exemple 1 : 3 x + 2 = 0 . La solution est alors x = −2 / 3 . Exemple 2 : x 2 + 2 x − 1 = 0 . Les es solutions de cette équation sont −1 + 2 et −1 − 2 obtenues à l’aide des quatre opérations élémentaires +,−,× +, et ÷ , et l’extraction de racines carrées. Vous savez d’ors et déjà résoudre toutes outes les équations de degré 1 et 2 par radicaux. Toutes les équations de degré 3 le sont également ( méthode de Cardan -1501–1576 1576 - En fait, cette méthode lui aurait été confiée par un autre mathématicien italien connu sous le nom de Tartaglia. Après avoir d’abord promis de la garder secrète, Cardan finit par la publier en son nom.. ) ainsi que toutes les équations de degré 4 ( méthodee de Ferrari -1540 - Ferrari a alors 18 ans..) Il faut attendre près de 300 ans pour que Galois (1811-1832) ( prouve l'impossibilité de résoudre par radicaux les équations de degré supérieur ou égal à 5, 5 complétant ainsi les travaux d'Abel (1802-1829). ( Source : Sources Abel (1802-1829). http://www.galois.ihp.fr www.chronomath.com/ Galois (1811-1832)