résolution d`équations algébriques

Résolution des équations algébriques
Une équation algébrique est une équation de la forme
où l’inconnue est x et où
0 1 1
, ,...,
n
a a a
On dit que l’équation est de degré
n
Les mathématiciens se sont très tôt intéressés aux équations algébriques car elles figure
simples que l’
on puisse se poser (ce qui ne veut pas dire qu’elles sont faciles à résoudre !)
Le problème consistant à « résoudre » ce type d’équations peut prendre différentes formes selon les
besoins. On peut par exemple chercher à trouver des so
Ou bien, chercher à construire géométriquement les solutions comme intersections de certaines courbes
dans le plan. Il se trouve que, historiquement, le problème de la résolution de telles équations
pour les algébristes
, un sens très précis, celui de la résolution par radicaux.
Résolubilité par radicaux :
Une équation est résoluble par des radicaux
coefficients de l’équation
en un nombre fini
élémentaires +,−,× et ÷
, et l’extraction de racines
Exemple 1 : 3 2 0x+ =
. La solution est alors
Exemple 2 :
2
2 1 0x x+ − = . L
es solutions de cette équation sont
des quatre opérations
élémentaires +,
Vous savez d’ors et déjà résoudre t
outes les équations de degré 1 et 2
Toutes les équations de degré 3 le sont également (
méthode lui aurait été confiée par un autre mathématicien italien connu sous le nom de Tartaglia. Après
avoir d’abord promis de la garder secrète, Cardan finit par la publier
équations de degré 4 ( méthod
e de Ferrari
Il faut
Galois (
résoudre par radicaux les équations
supérieur ou égal à 5
travaux d'Abel (
Source
Abel (1802-1829).
Résolution des équations algébriques
.
Une équation algébrique est une équation de la forme
:
1 2
1 2 1 0
... 0
n n n
n n
x a x a x a x a
− −
− −
+ + + + + =
0 1 1
, ,...,
n
a a a
−
sont des nombres
connus qu’on appelle coefficients de l’équation.
n
. ( exemple d’équation non algébrique :
2
x x
− =
Les mathématiciens se sont très tôt intéressés aux équations algébriques car elles figure
on puisse se poser (ce qui ne veut pas dire qu’elles sont faciles à résoudre !)
Le problème consistant à « résoudre » ce type d’équations peut prendre différentes formes selon les
besoins. On peut par exemple chercher à trouver des so
lutions approchées par des méthodes numériques.
Ou bien, chercher à construire géométriquement les solutions comme intersections de certaines courbes
dans le plan. Il se trouve que, historiquement, le problème de la résolution de telles équations
, un sens très précis, celui de la résolution par radicaux.
Une équation est résoluble par des radicaux
ssi
les solutions peuvent être construites à
en un nombre fini
d’étapes faisant intervenir les quatre opérations
, et l’extraction de racines
n
ièmes
pour des entiers naturels
. La solution est alors
2/3x= − .
es solutions de cette équation sont
1 2
− + et
1 2
− −
élémentaires +,
−,× et ÷ , et l’extraction de racines carrées.
outes les équations de degré 1 et 2
par radicaux.
Toutes les équations de degré 3 le sont également (
méthode de Cardan -1501–
1576
méthode lui aurait été confiée par un autre mathématicien italien connu sous le nom de Tartaglia. Après
avoir d’abord promis de la garder secrète, Cardan finit par la publier
en son nom..
e de Ferrari
-1540 - Ferrari a alors 18 ans..)
attendre près de 300 ans pour que
Galois (
1811-1832) prouve l'impossibilité de
résoudre par radicaux les équations
de degré
supérieur ou égal à 5
, complétant ainsi les
travaux d'Abel (
1802-1829).
Source
s : http://www.galois.ihp.fr
www.chronomath.com/
1 2 1 0
... 0
x a x a x a x a
+ + + + + =
connus qu’on appelle coefficients de l’équation.
sin 0
x x
− =
)
Les mathématiciens se sont très tôt intéressés aux équations algébriques car elles figure
nt parmi les plus
on puisse se poser (ce qui ne veut pas dire qu’elles sont faciles à résoudre !)
Le problème consistant à « résoudre » ce type d’équations peut prendre différentes formes selon les
lutions approchées par des méthodes numériques.
Ou bien, chercher à construire géométriquement les solutions comme intersections de certaines courbes
dans le plan. Il se trouve que, historiquement, le problème de la résolution de telles équations
a acquis,
les solutions peuvent être construites à
partir des
d’étapes faisant intervenir les quatre opérations
pour des entiers naturels
appropriés n.
1 2
− −
obtenues à l’aide
par radicaux.
1576
- En fait, cette
méthode lui aurait été confiée par un autre mathématicien italien connu sous le nom de Tartaglia. Après
en son nom..
) ainsi que toutes les
Galois (1811-1832)