trigonométrie - Adama Traoré

Trigonométrie 10
ème
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TRIGONOMÉTRIE
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I – Construction d’angles : (manipulations du matériel de géométrie)
1°) Activité :
a) Construisez un triangle ABC rectangle en A à l’aide de la règle et l’équerre
b) Construisez un triangle EFG isocèle à l’aide de la règle et le compas
c) Construisez un triangle EFG isocèle à l’aide de la règle et le rapporteur
d) Construisez un triangle IJK équilatéral à l’aide de la règle et le compas
e) Construisez un triangle IJK équilatéral à l’aide de la règle et le rapporteur
Réponses :
a) Règle et Équerre
b) Règle et Compas c) Règle et rapporteur
d) Règle et compas e) Règle et rapporteur

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2°) Remarque : Dans un triangle la somme des angles intérieurs est égale à 180°
II – Les Rapports Trigonométriques :
Activité :
a) Construisez un triangle ABC rectangle en A tel que : l’angle ABC ˆ =
θ
b) Déterminer les rapports trigonométriques
θ
θ
θ
θ
gtg cot;;cos;sin
Réponses :
III– Cercle trigonométrique et Unités de mesures d’angles :
1°) Définition du cercle trigonométrique :
Soit le repère orthonormé (O, A, B) du plan. On appelle cercle trigonométrique, le
cercle de centre O et de rayon R = 1.
Soit M(x ;y) un point du cercle trigonométrique. ⇔==
r
x
et
r
y
θθ cossin
);()sin;cos(
cossin1cossin
yxM
doncxetyalorsrPuisquerxetry
=
=
=
=
×
=
×
=
θθ
θ
θ
θ
θ
θ
A
(1;0)
M
(x ;y)
r
B(0;1)
B’
(0;–1)
A’
(–1;0)
x
y
BC
AC
ehypothénusàopposécôté ==
θ
θ sin
AB
AC
àadjacentcôté àopposécôté
tg ==
θ
θ
θ
Remarques :
θθ
θ
θ
θ
θ
θ
tg
gettg
1
sin
cos
cot
cos
sin
===
AC
AB
àopposécôté àadjacentcôté
g==
θ
θ
θ cot
BC
AB
ehypothénusàadjacentcôté ==
θ
θ cos
θ
ˆ
A
C
B

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2°) Unités de mesures d’un angle :
La grandeur d’un angle est mesurée en degrés ; radians ; et grades. 1° = 60’ et 1’ = 60’’ .
. 360° = 2π rd = 400 grs ; 180° = π rd = 200 grs ; 90° =
2
π
rd = 100 grs .
Exemple: Convertissez 120° en radians puis en grades.
Table des valeurs de quelques Angles remarquables :
Angles
0°
0 rd
30°
6
π
rd
45°
4
π
rd
60°
3
π
rd
90°
2
π
rd
120°
3
2 π
rd
135°
4
3 π
rd
150°
6
5 π
rd
180°
π rd
Sin
0
2
1
2
2
2
3
1
2
3
2
2
2
1
0
Cos
1
2
3
2
2
2
1
0 –
2
1 –
2
2 –
2
3
–1
tan
0
3
3
1
3 – 3
–1 –
3
3
0
cotg
3
1
3
3
0 –
3
3
–1 –
3
Remarque :
1
sin
1
;
1
cos
1
,
≤
≤
−
≤
≤
−
∈
∀
x
x
IR
x
.
IV- Identités Trigonométriques :
1°) Relation Fondamentale de la trigonométrie:
Activité :
a) Construisez un triangle ABC rectangle en A tel que ABC ˆ =
α
b) Appliquer le théorème de Pythagore au triangle rectangle ABC
c) Déterminez les rapports sinα et cosα
d) Exprimez la relation du théorème de Pythagore en fonction de sinα et cosα.

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Réponses :
a)
b) D’après le théorème de Pythagore
222
BCACAB =+
c)
BC
AC
= α sin ;
BC
AB
= α cos
d) On sait que
222
BCACAB =+ en divisant chaque terme par
2
BC on a :
1
2
2
2
2
=+
BC
AC
BC
AB
⇔
1
22
= +
BC
AC
BC
AB
⇔ 1sincos
22
=+ αα .
cos
2
α +sin
2
α = 1 (Relation fondamentale de la trigonométrie)
2°) Autres Relations :
Nous savons que
∈
∀
x
ℝ
1
cos
sin
22
=
+
x
x
.
• Si cosx
≠
0 en divisant par cos
2
x,
xtg
x
x
x
x
x
x
2
222
2
2
2
1
cos
1
cos
1
cos
sin
cos
cos +=⇔=+
. D’où :
x
xtg
2
2
cos
1
1=+ .
• Si sinx
≠
0 en divisant par sin
2
x,
xg
x
x
x
x
x
x
aa
2
222
2
2
2
22
cot1
sin
1
sin
1
sin
sin
sin
cos
1cossin +=⇔=+⇔=+
D’où : .
x
xg
2
2
sin
1
cot1 =+ .

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3°) Angles supplémentaires : (π – a) et ( a)
– Deux angles sont dits supplémentaires si leur somme est égale à π radian ou 180°.
Activité : Citez en degrés puis en radians trois exemples d’angles supplémentaires.
– Deux angles s supplémentaires ont même sinus et de cosinus opposés.
4°) Angles complémentaires : (π/2 – a) et ( a)
– Deux angles sont dits complémentaires si leur somme est égale à
2
π
radian ou 90°.
Activité : Citez en degrés puis en radians trois exemples d’angles complémentaires.
– Deux angles sont complémentaires si le sinus de l’un est égal au cosinus de l’autre.
Remarque :
aaaaIRa sin
2
cos;cos
2
sin, −=
+= +∈∀
ππ
M et M’ sont symétriques par
rapport à la 1
ère
bissectrice.
Sin(
2
π
– a) = cos(a)
Cos(
2
π
– a) = sin(a)
Tg(
2
π
– a) = cotg(a)
M
cosa
O A
B
A’
B’
x
x ’
y
y ’
a
M’
sina π
- a
cos(
2
π
– a)
sin(
2
π
– a)
x
cos( π – a) = – cos(a)
sin( π – a) = sin(a)
tg( π – a) = – tg(a)
M
cos(a)
sin(a)
O A
B
A’
B’
x ’
y
y ’
a
M’
– cos(a)
π – a