Feuille d`exercices n˚14 Matrices

Lyc´ee Benjamin Franklin PTSI −2013-2014
D. Blotti`ere Math´ematiques
Feuille d’exercices n˚14
Matrices
Notation : La lettre Kd´esigne Rou C.
Exercice 114 (Commutant d’une matrice 2×2)
Pour toute matrice A∈ M2(K), on d´efinit le commutant de Acomme ´etant l’ensemble de toutes les matrices
de M2(K) qui commutent avec A. On note Comm(A) cette partie de M2(K). On a donc :
Comm(A) = {M∈ M2(K)|AM =M A}.
1. Soit A∈ M2(K).
(a) Montrer que 0M2(K)∈Comm(A).
(b) Montrer que toute puissance de Aappartient `a Comm(A).
(c) Soit (M1, M2)∈Comm(A)2. Montrer que toute combinaison lin´eaire de M1et de M2appartient `a
Comm(A).
2. Soit la matrice Ala matrice d´efinie par A=1 2
3 4 .Montrer que Comm(A) = Vect(I2, A).
Exercice 115 (Coefficients diagonaux d’un produit de deux matrices triangulaires sup´erieures)
Soit n∈N∗. Soit (A, B)∈ Tn(K)2.Montrer que pour tout i∈J1, nK,
[AB]ii = [A]ii ×[B]ii.
Exercice 116 (Puissances de matrices, r´ecurrence et formule du binˆome de Newton)
1. Calculer les puissances de la matrice A=
1 1 1
1 1 1
1 1 1 
.
2. Exprimer la matrice B=
0 1 1
1 0 1
1 1 0 
en fonction de Aet I3, puis calculer ses puissances.
Exercice 117 (Puissances de matrices et diagonalisation)
On se propose ici de calculer les puissances de la matrice A=
3−2−4
−2 3 2
3−3−4
.
1. Montrer que la matrice P=
1 0 2
1−2 0
0 1 2 
est inversible et calculer P−1.
2. Calculer D=P−1AP .
3. Calculer Dn, pour tout n∈N∗.
4. D´emontrer par r´ecurrence que pour tout n∈N∗,An=P DnP−1.
5. En d´eduire la valeur de An, , pour tout n∈N∗.
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Exercice 118 (Inversibilit´e de matrices 2×2)
1. Soit A=a b
c d ∈ M2(K). On appelle d´eterminant de Ale scalaire not´e det(A) d´efini par :
det(A) := ad −bc.
(a) Montrer que det(A) = 0 si et seulement si les lignes de Asont proportionnelles.
(b) On note A′la matrice d´efinie par A′=d−b
−c a .Calculer les produits A A′et A′A.
(c) D´eduire de la question 1.(b) les deux r´esultats suivants.
i. Aest inversible si et seulement si det(A)6= 0.
ii. Si Aest inversible alors A−1=1
det(A)d−b
−c a .
2. Pour chaque i∈ {1,2,3,4}, ´etudier l’inversibilit´e de la matrice Aiet calculer son inverse lorsqu’elle est
inversible.
A1:= 1 2
3 4 A2:= eiπ
41
i eiπ
4A3:= 5 2
7 3 A4:= √2√6
1√3
Exercice 119 (Inversibilit´e de matrices 3×3)
Pour chaque i∈ {1,2,3}, ´etudier l’inversibilit´e de la matrice Aiet calculer son inverse lorsqu’elle est inversible.
A1=
−1 0 −1
1−2 0
011
A2=
1−2 3
−4 5 −6
7−8 9 
A3=
1 0 1
2 3 0
1 2 1 
Exercice 120 (Factorisation de As−Bs, o`u Aet Bsont deux matrices qui commutent et s∈N∗)
Soit n∈N∗. Soient Aet Bdeux matrices de Mn(K) qui commutent. Montrer que pour tout s∈N∗,
As−Bs= (A−B) s−1
X
k=0
AkBs−1−k!.
Exercice 121 (Autour d’une matrice nilpotente de format 3×3)
Soit Ala matrice d´efinie par :
A=
2−3 1
1−1 1
−1 1 −1
.
1. Calculer A3.
2. En d´eduire que An’est pas inversible.
3. Montrer que I3−Aest inversible et calculer son inverse.
Exercice 122 (Quelques propri´et´es des matrices nilpotentes)
Soit n∈N∗. Une matrice de Nde Mn(K) est dite nilpotente si
∃s∈N∗, Ns= 0Mn(K).
1. Soient deux matrices N1et N2de Mn(K) nilpotentes et qui commutent.
(a) Montrer que toute matrice combinaison lin´eaire de N1et N2est nilpotente.
(b) Montrer que la matrice produit N1N2est nilpotente.
2. Montrer qu’une matrice nilpotente n’est pas inversible.
3. Soit Nune matrice nilpotente de Mn(K). Montrer que la matrice In−Mest inversible.
Indication : On pourra s’aider de l’exercice 120.
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Exercice 123 (Produit de deux matrices carr´ees inversible(s))
Soit n∈N∗. Soient Aet Bdeux matrices de Mn(K). Montrer que le produit AB est inversible si et seulement
si les deux matrices Aet Bsont inversibles.
Exercice 124 (Matrices semblables)
Soit n∈N∗. On dit qu’une matrice A∈ Mn(K) est semblable `a une matrice B∈ Mn(K) s’il existe une matrice
P∈GLn(K) telle que A=P B P −1. Dans ce cas, on note A≡B.
Montrer que la relation ≡entre matrices de Mn(K) est une relation d’´equivalence, i.e. :
1. la relation ≡est r´eflexive : pour tout A∈ Mn(K), A≡A;
2. la relation ≡est sym´etrique : pour tout (A, B)∈ Mn(K)2, si A≡Balors B≡A;
3. la relation ≡est transitive : pour tout (A, B, C)∈ Mn(K)3, si A≡Bet B≡Calors A≡C.
Exercice 125 (Matrices sym´etriques et matrices antisym´etriques)
Soit n∈N∗. Une matrice M∈ Mn(K) est dite sym´etrique si tM=M. Elle est dite antisym´etrique si
tM=−M.
1. Montrer qu’une combinaison lin´eaire de deux matrices sym´etriques (resp. antisym´etriques) est sym´etrique
(resp. antisym´etrique).
2. Soit Mune matrice de Mn(K). Montrer qu’il existe une unique matrice sym´etrique S∈ Mn(K) et une
unique matrice antisym´etrique A∈ Mn(K) telles que M=S+A.
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