Cours de Topologie. Master 1. Année 2010/2011.

Cours de Topologie. Master 1. Ann´ee 2010/2011.
Richard Zekri.
9 septembre 2010

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Table des mati`eres
1 Rappels. 5
1.1 Topologies, ouverts, et voisinages. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Axiomesdes´eparation...................................... 5
1.3 Axiomes de d´enombrabilit´e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4 Treillisdestopologies. ..................................... 6
1.5 Suitesg´en´eralis´ees........................................ 7
2 Produits d’espaces topologiques 11
2.1 Topologieproduit. ....................................... 11
2.2 Propri´et´es de la topologie produit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3 Espaces compacts. 15
3.1 Netsetfiltres........................................... 15
3.2 Espacescompacts. ....................................... 16
3.3 Propri´et´es des espaces compacts. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4 Topologies initiales. 21
4.1 D´efinitionetexemples...................................... 21
4.2 Propri´et´es............................................. 21
5 Topologie finales. 25
5.1 D´efinitionetexemple. ..................................... 25
5.2 Relationsd’´equivalence. .................................... 25
5.3 Satur´e d’une partie d’un ensemble. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
6 Espaces connexes. 29
6.1 D´efinitionetpropri´et´es. .................................... 29
6.2 Composantes connexes d’un espace topologique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
7 Connexit´e par arcs. 35
7.1 D´efinitions. ........................................... 35
8 Groupe fondamental. 37
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8.1 Homotopieetchemins...................................... 37
8.2 Le groupo¨ıde fondamental de X. ............................... 37
8.3 Groupe fondamental et lacets. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
8.4 Propri´et´es fonctorielles du groupe fondamental. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
8.5 Produitsetr´etractes....................................... 40
8.6 Calcul de π1(S1)......................................... 40
8.7 Indice d’un lacet dans R2.................................... 42
8.8 Th´eor`emedeVanKampenn. ................................. 42
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Chapitre 1
Rappels.
1.1 Topologies, ouverts, et voisinages.
D´efinition 1.1.1 [Topologie.] Une topologie τ, sur un ensemble X, est une famille de parties de X, qui
contient {φ}et {X}, et qui est stable par r´eunions quelconques, et par intersections finies. Les ´el´ements
de τsont appel´es des ouverts de X. Le compl´ementaire d’un ouvert de Xest appel´e un ferm´e. On dit
que X, muni de τ, est un espace topologique. On le notera (X, τ).
D´efinition 1.1.2 [Base d’une topologie.] On appelle base d’une topologie τ, toute famille Fd’ouverts,
telle que tout ouvert de Xest r´eunion d’´el´ements de F.
Remarque 1.1.3 Il est ´equivalent de dire que Fest une base de la topologie τ, et que, pour tout point
x∈X, et tout ouvert Ox, contenant x, il existe un ouvert U ∈ F, tel que x∈ U ⊂ Ox.
D´efinition 1.1.4 [Voisinage.] Soit xun point de l’espace topologique (X, τ ). On appelle voisinage de
xtoute partie V, de X, contenant un ouvert qui lui-mˆeme contient le point x.
D´efinition 1.1.5 [Base de voisinages.] Une famille Fde sous ensembles d’un espace topologique Xest
une base de voisinages en x∈X, si chaque N∈ F est un voisinage de x, et si pour tout voisinage M,
de x, il existe N∈ F, tel que N⊂M.
D´efinition 1.1.6 [Int´erieur et adh´erence.] Soit Aune partie quelconque de X. On appelle int´erieur de
A, et l’on note A◦, le plus grand ouvert de X, contenu dans A. On appelle adh´erence de A, et l’on note
A, le plus petit ferm´e de X, contenant A. On a la relation : X−A◦= (X−A).Les points de Asont
dits adh´erents `a A.
Remarque 1.1.7 Un point x∈Xest adh´erent `a Asi et seulement si tout ouvert contenant xcontient
´egalement au moins un point de A.
D´efinition 1.1.8 [Densit´e.] Soit Xun espace topologique. Un sous-ensemble A, de X, est dit dense
dans X, si tout ouvert non vide de Xcontient au moins un point de A. (Ceci est ´equivalent `a A=X.)
D´efinition 1.1.9 [Fronti`ere.] Si Aest un sous-ensemble de X, on appelle fronti`ere de A, et l’on note
F r(A), l’ensemble : F r(A) = A−A◦.
1.2 Axiomes de s´eparation.
D´efinition 1.2.1 Un espace topologique Xest :
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