Terminale S Chapitre 2 « Lois de probabilités discrètes

Terminale S Chapitre 2 « Lois de probabilités discrètes »
TS Lois de probabilités discrètes Page 1
SAVOIR
SAVOIR FAIRE
Exercices
Rappels de 1ère S :
Loi de probabilité d’une
variable aléatoire et connaître
les paramètres de position et
de dispersion
- Savoir déterminer, à l’aide d’un tableau, la
loi d’une variable aléatoire.
- Savoir calculer et interpréter l’espérance et
l’écart-type d’une variable aléatoire.
Probabilités conditionnelles
- Savoir calculer, interpréter, repérer une
probabilité conditionnelle.
- Connaître la relation entre probabilités
conditionnelles et probabilité de
l’intersection de deux évènements.
1.1
Partitions et arbres
- Savoir compléter un arbre de probabilités à
l’aide de probabilités conditionnelles .
- Connaître et savoir utiliser la formule des
probabilités totales.
1.2
Indépendance
Loi binomiale
- Savoir déterminer si deux évènements sont
indépendants.
- Savoir justifier qu’une loi est une loi
binomiale.
- Connaître les formules permettant de
calculer l’espérance et l’écart-type d’une
loi binomiale.
1.3
TICE
- Savoir calculer avec une calculatrice les
valeurs d’une variable aléatoire suivant
une loi binomiale.
1.4

TS Probabilités conditionnelles Page 2 sur 12
1 Quelques rappels
12
1
1 1 2 2
2
11
2
Rappels sur l'espérance, la variance et l'écart type :
Etant donné une loi discrète sur une variable aléatoire :
...
...
L'espérance :
La variance :
.. .nn
n
in
X
X x x x
p
E
X x p p p
X p x p x p x
V X p x E X p
22
22
2
2 2 2
1 1 2 2
ou
L'écart type :
Linéarité :
Si est une variable aléatoire , pour tous réels et , on a
...
:
et
.. .
nn
nn
Xa
x E X p x E X
V X p x p x p x E X
X V X
E aX b aE X b V aX a
b
2 VX
Exercice de révision :
Une urne contient six billets numérotés de 1 à 6.
On réalise l’expérience aléatoire qui consiste à tirer au hasard deux billets successivement et sans remise.
1) Chaque tirage peut être modélisé par un couple
,ab
de deux nombres distincts.
Par exemple le tirage du billet numéroté 3 suivi du billet numéroté 5 sera noté
3,5
.
A l’aide du tableau ci – dessous , décrire les différentes issues de l’univers et donner son cardinal : …….
Urne 1
Urne 2
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6

TS Probabilités conditionnelles Page 3 sur 12
2) On suppose que tous les tirages sont équiprobables.
a) Soit A l’évènement : « le premier numéro tiré est plus petit que le second».
Calculer la probabilité de A.
b) Quelle est la probabilité de l’événement contraire
A
?
c) Calculer la probabilité de l’évènement B : « au moins l’un des numéros est pair ».
d) Quelle est la probabilité de l’intersection
AB
?
e) Quelle est la probabilité de la réunion
AB
?
3) Soit D la variable aléatoire, qui à chaque tirage associe la différence entre le plus grand et le plus petit des
deux nombres du couple. Ainsi au couple
3,5
, comme au couple
5,3
, la variable aléatoire D associe le
réel
5 3 2
.
a) Quelles sont les valeurs possibles de la variable aléatoire D ?

TS Probabilités conditionnelles Page 4 sur 12
b) Calculer les probabilités
1pD
et
3pD
c) Donner la loi de probabilité de la variable aléatoire D
d) Calculer l’espérance mathématique et la variance de la variable aléatoire D.
2 Probabilités conditionnelles
2.1 Situation et définition
Exemple :
Trois candidats se présentent à une élection.
La répartition des votes selon le sexe des votants et le candidat choisi est donnée en pourcentage dans le
tableau ci-dessous :
A
B
C
Total
F : Femmes
42
13
5
60
H : Hommes
28
7
5
40
Total
70
20
10
100
On choisit au hasard l’une des personnes ayant voté.
On note F et A les événements :
F : « La personne choisie est une femme ».
A : « La personne choisie a voté pour le candidat A ».

TS Probabilités conditionnelles Page 5 sur 12
1) Quelle est la probabilité de F ?
2) Quelle est la probabilité de A ?
3) Quelle est la probabilité de
FA
?
4) On interroge une femme.
On note D l’événement : « la femme interrogée a voté pour le candidat A ». Calculer
pD
5) On interroge un personne ayant voté pour le candidat A.
On note E l’événement : « la personne ayant voté pour le candidat A est une femme ».
Calculer
pE
6) Calculer
et
p F A p F A
p F p A
.