Calcul différentiel / 201-NYA-05 3.2 Dérivation des fonctions trigonométriques Rappels : Trigonométrie dans le triangle rectangle : angle formé par les côtés b et h a : longueur du côté a (opposé à l’angle ) b : longueur du côté b (adjacent à l’angle ) h : longueur du côté h (hypoténuse) sin a cos b 1) sin a h 2) cos b h 3) tg 4) cot cos b sin a 5) sec 1 h cos b 6) cosec 2 2 2 1 h sin a 2 2 2 sin + cos = 1 ; sec = tg + 1 ; cosec = cotg + 1 Identités importantes : Voir le rappel et autres identités aux pages 167-168 du volume. Lorsqu’on divise un cercle en 360 parties égales avec des rayons, l’angle au centre entre deux rayons consécutifs mesure 1 degré (1). Cependant, dans ce cours, nous travaillerons plutôt en radians (rad). On sait que la circonférence d’un cercle de rayon r correspond à une longueur d’arc L = 2 r. 2 rad est l’angle en radian. Le cas général s’écrit donc : L = r. L’angle en radian est alors . Ainsi, dans un cercle de rayon égal à r, = 1 rad est un angle qui intercepte un arc de longueur 1 r. Aussi, = 2 rad est un angle qui intercepte un arc de longueur 2 r. Aussi, comme l’aire d’un cercle de rayon r est r2, qu’on peut écrire où 2 est l’angle en radian, on a qu’un secteur d’angle a une aire de . Conversions (radians degrés) On se base sur le fait que Convertir 120 en radians. Chapitre 3 Convertir en degrés. 1 Calcul différentiel / 201-NYA-05 Rappel sur le cercle trigonométrique et les fonctions trigonométriques Le cercle trigonométrique étant un cercle centré à l’origine et de rayon = 1, on a : (x, y) = (cos, sin) 1 y x ( x , y ) √ ( ⁄ ) ( ⁄ ) √ ( ⁄ ) ⁄ √ ⁄ √ ⁄ ⁄ √ √ √ √ ( ⁄ ) ( ⁄ ) ⁄ ⁄ √ √ √ √ √ √ √ ( ⁄ ) ⁄ √ √ √ ⁄ Voir la vidéo Cercle trigonométrique sur mon site. Chapitre 3 2 Calcul différentiel / 201-NYA-05 Théorème 3.6 Continuité des fonctions sinus et cosinus Les fonctions trigonométriques f ( x) sin x et g ( x) cos x , sont continues en x = a, a . Voir le tracé des fonctions trigonométriques à la page 13 de l’aide-mémoire. Nous nous appuyons sur le théorème 1.5 (p. 46) pour calculer les limites suivantes. ( Comme ( ) et sont continues, ) Comme et continues, et que on conclut que le produit de ces fonctions , , est aussi continue. sont , on conclut que le quotient de ces fonctions , , est aussi continue. Il faut se méfier des fonctions tangente, cotangente, secante et cosecante. Elles s’expriment par un quotient dont le dénominateur peut égaler zéro ! Elles sont donc discontinues pour certaines valeurs d’angle. Chapitre 3 3 Calcul différentiel / 201-NYA-05 Voir l’exemple 3.35 (p. 166). Théorème 3.7 du sandwich (p. 169) Ce théorème nous permet de démontrer que : Voir démonstration (théorème 3.8), pages 170 et 171. Chapitre 3 4 Calcul différentiel / 201-NYA-05 Section 3.2.5 Formules de dérivation des fonctions trigonométriques Dérivée d’une fonction sinus d (sin x) cos x dx Dérivée d’une fonction cosinus d (cos x) sin x dx (preuve p.173 du volume) (preuve p.175 du volume) = 2 2 Note : La notation sin x indique que c’est sin x qui est élevée au carré, c’est-à-dire : sin x = (sin x) 2 Exercices : Calculer la dérivée des fonctions suivantes. a) f ( x ) b) v (t ) t 3 cos 2 5t sin 3 x x 2 Réponse : Réponse : Autres formules de dérivation de fonctions trigonométriques 1) d ( tg x) sec2 x dx 2) d (cotg x) cosec2 x dx 3) d (sec x) sec x tg x dx 4) d (cosec x) cosec x cotg x dx Chapitre 3 (preuves p.179 du volume) 5 Calcul différentiel / 201-NYA-05 Exercice : Calculer la dérivée des fonctions suivantes. x 4 2 a) f ( x) x tg Réponse : b) g ( x ) sec 2 x 1 x Réponse : c) Réponse : d ) g (t ) ln 4 cot g (3t 2 1) Réponse : Voir les exemples 3.39 à 3.45 et 3.47 à 3.49. Chapitre 3 6