Chapitre 2: Limites - Site de Éric Lacroix

Calcul différentiel / 201-NYA-05
Chapitre 3 1
3.2 Dérivation des fonctions trigonométriques
Rappels : Trigonométrie dans le triangle rectangle
 : angle formé par les côtés b et h
a : longueur du côté a (opposé à l’angle )
b : longueur du côté b (adjacent à l’angle )
h : longueur du côté h (hypoténuse)
1)
h
a
sin
2)
h
b
cos
3)
b
a
 cos
sin
tg
4)
a
b
 sin
cos
cot
5)
b
h
 cos
1
sec
6)
a
h
 sin
1
cosec
Identités importantes : sin2  + cos2  = 1 ; sec2  = tg2  + 1 ; cosec2  = cotg2  + 1
 Voir le rappel et autres identités aux pages 167-168 du volume.
Lorsqu’on divise un cercle en 360 parties égales avec des rayons, l’angle au centre
entre deux rayons consécutifs mesure 1 degré (1). Cependant, dans ce cours, nous
travaillerons plutôt en radians (rad). On sait que la circonférence d’un cercle de
rayon r correspond à une longueur d’arc L = 2 r. 2 rad est l’angle en radian.
Le cas général s’écrit donc : L =  r. L’angle en radian est alors .
Aussi, comme l’aire d’un cercle de rayon r est r2, qu’on peut écrire
 où 2 est l’angle  en radian, on a qu’un secteur d’angle  a une aire de  .
Conversions (radians  degrés)
On se base sur le fait que 
Convertir 120 en radians.
Convertir 
 en degrés.
Ainsi, dans un cercle de rayon égal à r,  = 1 rad est un angle qui intercepte un arc
de longueur 1 r. Aussi,  = 2 rad est un angle qui intercepte un arc de longueur 2 r.

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Chapitre 3 2
Rappel sur le cercle trigonométrique et les fonctions trigonométriques
Le cercle trigonométrique étant un cercle centré à l’origine et de rayon = 1, on a :
Voir la vidéo Cercle trigonométrique sur mon site.
( x , y )
1
(x, y) = (cos, sin)
y
x

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Chapitre 3 3
Théorème 3.6 Continuité des fonctions sinus et cosinus
Les fonctions trigonométriques
xxf sin)( 
et
xxg cos)( 
, sont continues en x = a,  a  .
Voir le tracé des fonctions trigonométriques à la page 13 de l’aide-mémoire.
Nous nous appuyons sur le théorème 1.5 (p. 46) pour calculer les limites suivantes.
Comme  et  sont continues,
on conclut que le produit de ces fonctions ,
 , est aussi continue.
Comme  et  sont
continues, et que , on conclut que le
quotient de ces fonctions ,
 , est aussi continue.
Il faut se méfier des fonctions tangente, cotangente, secante et cosecante. Elles s’expriment par un quotient
dont le dénominateur peut égaler zéro ! Elles sont donc discontinues pour certaines valeurs d’angle.

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Chapitre 3 4
 Voir l’exemple 3.35 (p. 166).
Théorème 3.7 du sandwich (p. 169)
Ce théorème nous permet de démontrer que :
 Voir démonstration (théorème 3.8), pages 170 et 171.

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Chapitre 3 5
Section 3.2.5 Formules de dérivation des fonctions trigonométriques
Dérivée d’une fonction sinus
cos)(sin xx
dx
d
(preuve p.173 du volume)
Dérivée d’une fonction cosinus
sin) (cos xx
dx
d
(preuve p.175 du volume)
=  
Note : La notation sin2 x indique que c’est sin x qui est élevée au carré, c’est-à-dire : sin2 x = (sin x)2
Exercices : Calculer la dérivée des fonctions suivantes.
a)
2
3sin
)( xx xf 
b)
tttv 5cos)( 23 
Réponse : Réponse :
Autres formules de dérivation de fonctions trigonométriques
1)
sec) tg(2xx
dx
d
2)
cosec) cotg( 2xx
dx
d
3)
xxx
dx
d tgsec) sec( 
4)
cotg cosec) cosec( xxx
dx
d
(preuves p.179 du volume)