Polynômes

Lycée Berthollet
PCSI2 2016-17
Programme de colle de la semaine du 13 au 17 mars 2017
Polynômes
Il a été fait avant le cours une séquence exploratoire visant à motiver la distinction entre
polynômes et fonctions polynômes (pour cela, on a considéré des polynômes sur le corps à deux
éléments) et à faire construire par la classe une définition cohérente des objets “polynômes” et
des opérations sur ces objets.
Cependant, on considère pour le cours les seuls polynômes à coefficients dans K (K = R ou
K = C), conformément au programme.
— Anneau K[X] : définition d’une addition et d’une multiplication sur l’ensemble des suites
d’éléments de K nulles à partir d’un certain rang, on obtient ainsi un anneau commutatif
(rappelons que la notion d’anneau n’est pas exigible, mais en on a donné les propriétés
axiomatiques) appelé anneau des polynômes à une indéterminée (X) sur K. Définition du
degré d’un polynôme (celui de 0 est −∞). En notant X = (0, 1, 0 . . .), on a, pour P = (an )
de degré d, P =
d
X
ai X i , ce qui permet de retrouver les règles de calcul usuelles sur les
i=0
polynômes. Notation P =
∞
X
ai X i , ensemble Kn [X] des polynômes de degré ≤ n, coeffi-
i=0
—
—
—
—
cient dominant, polynômes unitaires, degré d’une somme et d’un produit. Composition
de polynômes (notations Q ◦ P = Q(P)), degré d’une composée.
Divisibilité : définition, propriétés de la relation | (réflexivité, transitivité, combinaison
linéaire, produit membre à membre, caractérisation des couples de polynômes se divisant mutuellement. Théorème de division euclidienne.
Fonctions polynômiales et racines : définition de la fonction polynômiale Pe associée à
P, fonction polynômiale associée à une combinaison linéaire, un produit, une composée.
Sans identifier polynômes et fonctions polynômes, on appelle cependant évaluation du
e
polynôme P en λ ∈ K la valeur P(λ),
qu’on note aussi P(λ). Notion de racine. Un scalaire
‹
λ est une racine de P ssi (X −λ)|P. Un polynôme non nul a au plus d◦ P racines. Si Pe = Q,
alors P = Q (car K est infini). Multiplicité d’une racine, racine simple, polynôme scindé
(produit d’une constante non nulle et d’un produit de polynômes unitaires de degré 1),
racines décrites avec ou sans multiplicité et écritures correspondantes pour le polynôme
scindé. Pour un polynôme scindé, expression de la somme et du produit des racines en
fonction des coefficients (les autres “fonctions symétriques élémentaires” ne sont plus
au programme).
f0 = (P)
e 0 quand K = R,
Dérivation : définition du polynôme dérivé d’un polynôme, P
opérations sur les dérivées : combinaison linéaire, produit, formule de Leibniz, composition. Si P est de degré d, P(d) ∈ K∗ et P(d+1) = O. Primitives d’un polynome. Formule
de Taylor polynômiale. Caractérisation de la multiplicité d’une racine de P en termes
des dérivées de P.
Polynômes irréductibles de C[X] et R[X] : définition, ceux de degré 1 le sont. Cas
K = C : théorème de D’Alembert-Gauss (admis) et conséquences : tout polynôme non
constant est scindé, les irréductibles sont ceux de degré 1, caractérisation de la divisibilité en termes de racines et multiplicité, existence et “unicité” de la décomposition. Cas
K = R : description des polynômes irréductibles, théorème de décomposition.
Probabilités sur un univers fini
Important : on se limite cette année au cas d’un univers fini, auquel cas les évènements
seront toujours toutes les parties de l’univers et les probabilités seront toujours définies sur l’ensemble des parties de cet univers fini. On n’introduit donc pas la notion de tribu et la définition
d’une probabilité est simplifiée : la σ-additivité disjointe est remplacée par l’additivité disjointe
finie.
— Expérience aléatoire et univers : Exemples d’expériences aléatoires, univers Ω des résultats possibles (ou issues ou réalisations) d’une expérience aléatoire. Un évènement
est une partie de Ω, un évènement élémentaire est un singleton. Un évènement est généralement défini par un énoncé d’évènement. Évènement certain (Ω), évènement impos/ évènement contraire A = Ω \ A d’un évènement A, évènement “A et B” (A ∩ B),
sible (0),
“A ou B” (A ∪ B), évènements incompatibles (disjoints), système complet fini d’évènements : famille finie d’évènements de réunion certaine et deux à deux incompatibles.
— Espaces probabilisés finis : Une probabilité est une application P : Ω −→ [0, 1] telle que
d’une part P (Ω) = 1 et d’autre part, (A ∩ B = 0/ =⇒ P (A ∪ B) = P (A) + P (B)). La probabilité de l’évènement impossible est nulle, la probabilité d’une réunion disjointe finie
est égale à la somme des probabilités des ensembles qu’on réunit. Un espace probabilisé
fini est un couple (Ω, P) où Ω est un ensemble fini et P est une probabilité sur Ω. Dans
notre cas fini, une probablité est entièrement déterminée par les probabilités des évènements élémentaires. Cas de la probabilité uniforme, formule usuelle : la probabilité d’un
évènement est égale au rapport du nombre de cas favorables sur le nombre de cas possibles. Si plusieurs modèles sont disponibles pour résoudre un problème concret, on préfèrera celui qui mène à l’équiprobabilité. On remarque à cette occasion comment déduire
d’un énoncé en langage courant qu’on peut modéliser le problème par une probabilité
uniforme (pièce “non truquée”, dé “équilibré” ou “non pipé”, etc.). Propriétés des probabilités : probabilité d’un complémentaire, d’une différence d’ensembles, formule de
la probabilité d’une réunion de deux évènements (formule du crible hors-programme),
la probabilité d’un évènement est la somme des probabilités des intersections de cet
évènement avec les éléments d’une famille d’évènements complets, croissance de l’application P.
— Probabilités conditionnelles : définition de la probabilité conditionnelle de A sachant
B lorsque P (B) 6= 0 (PB (A) = P (A|B) = P(A∩B)
P(B) ), cas particuliers : B = Ω, A = Ω ou
/ A et B incompatibles, A ⊂ B, formule des cardinaux dans le cas de la probabilité
A = 0,
uniforme. Si P (B) 6= 0, PB est une probabilité sur Ω. Formule des probabilités totales :
pour (Ai )i un système complet fini d’évènements de probabilités non-nulles et B un
P
évènement quelconque, P(B) = i P (Ai ) P (B|Ai ). Formule de Bayes : pour (Ai )i un
système complet fini d’évènements de probabilités non-nulles et B un évènement de
probabilité non-nulle, alors
Ä
ä Ä
ä
Ä
ä Ä
ä
P A j P B|A j
P A j P B|A j
P A j |B =
=P
.
P (B)
i P (Ai ) P (B|Ai )
Ä
ä
2
Formule des
composées : pour n ≥ 2 et (Ai )ni=1 une famille d’évènements
Ñ probabilités
é
telle que P
n−1
\
Ai
6= 0,
i=1
Ñ
P
n
\
é
Ai
= P (A1 )
i=1
n
Y
Ñ
P
i=2
é
i−1
\
Ai A j .
j=1
— Indépendance d’évènements : définition (deux évènements A et B sont indépendants ssi
P (A ∩ B) = P (A) P (B)), lorsque A et B sont indépendants, A et B aussi, ainsi que A et
B, ainsi que A et B. Cas particulier : l’évènement impossible (resp. certain) est indépendant de tout autre évènement. Lorsque P (B) 6= 0, l’indépendance de A et B s’écrit
P (A|B) = P (A). Définition : lesÄ (Ai )ni=1 sont
mutuellement indépendants ssi pour toute
ä Q
Tp
p
p
famille extraite (Aik )k=1 , on a P k=1 Aik = k=1 P (Aik ). Prendre seulement l’intersection de tous les évènements ne suffit pas, pas plus que l’indépendance deux à deux des
évènements.
Espaces vectoriels (début)
On note K pour R ou C.
— Définition d’un K-espace vectoriel E. Petites propriétés : λu = 0E ⇐⇒ (λ = OK ou u =
OE ), (−1)u = −u. Exemples : {0}, R2 , R3 , Rn , Cn , K[X]. KΩ , où Ω est un ensemble
quelconque. Cas particuliers : espace KN des suites d”éléments de K, espace RI des
fonctions définies sur un intervalle I de R. Espace vectoriel Mn,p (K)(= K[[1,n]]×[[1,p]] )
des matrices n × p à coefficients dans K.
— Combinaisons linéaires d’une famille finie de vecteurs.
— Sous-espaces vectoriels : définition : partie F de E stable pour + et pour la multiplication par les scalaires et qui, munie des loi induites, est un e.v. Caractérisation : F est
non-vide et stable par combinaisons linéaires (on peut se restreindre aux CL de deux
vecteurs). Exemples : {0}, E, Quelles sont les droites de R2 et R3 qui sont des sousespaces vectoriels ? les plans de R3 qui en sont ? Autres exemples : sous-espaces de
KN des suites vérifiant une récurrence linéaire homogène d’ordre 2, solutions d’une
équation différentielle linéaire homogène, solutions d’un système linéaire homogène.
Sous-espaces P et I de RR des fonctions paires et impaires, matrices symétriques (S ) et
antisymétriques (A ) dans Mn (K). Sous-espace Kn [X] de K[X]. Sous-espace des fonctions continues (resp. dérivables, de classe C k ) ¶dans RI . { f : I −→ R| f (x0 ) =
© 0} est un
Pk
k engendré
ss-e.v. de RI . Sous-espace Vect (u1 , . . . , uk ) =
λ
u
;
(λ
,
.
.
.
,
λ
)
∈
K
1
k
i=1 i i
par une famille finie de vecteurs. Exemples dans R2 et R3 .
— Intersection de sous-e.v. : toute intersection de sous-e.v. de E est un sous-e.v. de E.
Attention, pas de définition du sous-e.v. engendré par une famille ou partie infinie !
Toutes les définitions et tous les énoncés sont exigibles.
Démonstrations de cours exigibles
— Polynôme dérivé d’une composé ;
3
— Démonstration de la formule de Taylor
 polynômiale au point 0 ;
 P (Ω) −→ [0, 1]
— Lorsque P (A) 6= 0, l’application PA : 
est bien définie et est une
B
7−→ P(B∩A)
P(A)
probabilité ;
— Formule de Bayes : pour (Ai )i un système complet fini d’évènements de probabilités
non-nulles et B un évènement de probabilité non-nulle, alors
Ä
ä Ä
ä
Ä
ä Ä
ä
P B|A j P A j
P B|A j P A j
=P
;
P A j |B =
P (B)
i P (B|Ai ) P (Ai )
Ä
ä
— λu = 0 ssi (λ = 0 ou u = 0) ;
4