Polynômes

Lycée Berthollet PCSI2 2016-17
Programme de colle de la semaine du 13 au 17 mars 2017
Polynômes
Il a été fait avant le cours une séquence exploratoire visant à motiver la distinction entre
polynômes et fonctions polynômes (pour cela, on a considéré des polynômes sur le corps à deux
éléments) et à faire construire par la classe une définition cohérente des objets “polynômes” et
des opérations sur ces objets.
Cependant, on considère pour le cours les seuls polynômes à coefficients dans K(K=Rou
K=C), conformément au programme.
—Anneau K[X]:définition d’une addition et d’une multiplication sur l’ensemble des suites
d’éléments de Knulles à partir d’un certain rang, on obtient ainsi un anneau commutatif
(rappelons que la notion d’anneau n’est pas exigible, mais en on a donné les propriétés
axiomatiques) appelé anneau des polynômes à une indéterminée (X) sur K. Définition du
degré d’un polynôme (celui de 0 est −∞). En notant X= (0,1,0. . .), on a, pour P= (an)
de degré d,P=
d
X
i=0
aiXi, ce qui permet de retrouver les règles de calcul usuelles sur les
polynômes. Notation P=
∞
X
i=0
aiXi, ensemble Kn[X]des polynômes de degré ≤n, coeffi-
cient dominant, polynômes unitaires, degré d’une somme et d’un produit. Composition
de polynômes (notations Q◦P=Q(P)), degré d’une composée.
—Divisibilité : définition, propriétés de la relation |(réflexivité, transitivité, combinaison
linéaire, produit membre à membre, caractérisation des couples de polynômes se divi-
sant mutuellement. Théorème de division euclidienne.
—Fonctions polynômiales et racines : définition de la fonction polynômiale e Passociée à
P, fonction polynômiale associée à une combinaison linéaire, un produit, une composée.
Sans identifier polynômes et fonctions polynômes, on appelle cependant évaluation du
polynôme P en λ∈Kla valeur e P(λ), qu’on note aussi P(λ). Notion de racine. Un scalaire
λest une racine de Pssi (X−λ)|P. Un polynôme non nul a au plus d◦Pracines. Si e P=‹ Q,
alors P=Q(car Kest infini). Multiplicité d’une racine, racine simple, polynôme scindé
(produit d’une constante non nulle et d’un produit de polynômes unitaires de degré 1),
racines décrites avec ou sans multiplicité et écritures correspondantes pour le polynôme
scindé. Pour un polynôme scindé, expression de la somme et du produit des racines en
fonction des coefficients (les autres “fonctions symétriques élémentaires” ne sont plus
au programme).
—Dérivation : définition du polynôme dérivé d’un polynôme, f P0= ( e P)0quand K=R,
opérations sur les dérivées : combinaison linéaire, produit, formule de Leibniz, compo-
sition. Si Pest de degré d,P(d)∈K∗et P(d+1)=O. Primitives d’un polynome. Formule
de Taylor polynômiale. Caractérisation de la multiplicité d’une racine de Pen termes
des dérivées de P.
—Polynômes irréductibles de C[X]et R[X]:définition, ceux de degré 1 le sont. Cas
K=C: théorème de D’Alembert-Gauss (admis) et conséquences : tout polynôme non

constant est scindé, les irréductibles sont ceux de degré 1, caractérisation de la divisibi-
lité en termes de racines et multiplicité, existence et “unicité” de la décomposition. Cas
K=R: description des polynômes irréductibles, théorème de décomposition.
Probabilités sur un univers fini
Important : on se limite cette année au cas d’un univers fini, auquel cas les évènements
seront toujours toutes les parties de l’univers et les probabilités seront toujours définies sur l’en-
semble des parties de cet univers fini. On n’introduit donc pas la notion de tribu et la définition
d’une probabilité est simplifiée : la σ-additivité disjointe est remplacée par l’additivité disjointe
finie.
—Expérience aléatoire et univers : Exemples d’expériences aléatoires, univers Ωdes ré-
sultats possibles (ou issues ou réalisations) d’une expérience aléatoire. Un évènement
est une partie de Ω, un évènement élémentaire est un singleton. Un évènement est géné-
ralement défini par un énoncé d’évènement. Évènement certain (Ω), évènement impos-
sible (/ 0), évènement contraire A=Ω\Ad’un évènement A, évènement “Aet B” (A∩B),
“Aou B” (A∪B), évènements incompatibles (disjoints), système complet fini d’évène-
ments : famille finie d’évènements de réunion certaine et deux à deux incompatibles.
—Espaces probabilisés finis : Une probabilité est une application P:Ω−→ [0,1]telle que
d’une part P(Ω) = 1 et d’autre part, (A∩B=/ 0=⇒P(A∪B) = P(A) + P(B)). La pro-
babilité de l’évènement impossible est nulle, la probabilité d’une réunion disjointe finie
est égale à la somme des probabilités des ensembles qu’on réunit. Un espace probabilisé
fini est un couple (Ω,P)où Ωest un ensemble fini et P est une probabilité sur Ω. Dans
notre cas fini, une probablité est entièrement déterminée par les probabilités des évène-
ments élémentaires. Cas de la probabilité uniforme, formule usuelle : la probabilité d’un
évènement est égale au rapport du nombre de cas favorables sur le nombre de cas pos-
sibles. Si plusieurs modèles sont disponibles pour résoudre un problème concret, on pré-
fèrera celui qui mène à l’équiprobabilité. On remarque à cette occasion comment déduire
d’un énoncé en langage courant qu’on peut modéliser le problème par une probabilité
uniforme (pièce “non truquée”, dé “équilibré” ou “non pipé”, etc.). Propriétés des pro-
babilités : probabilité d’un complémentaire, d’une différence d’ensembles, formule de
la probabilité d’une réunion de deux évènements (formule du crible hors-programme),
la probabilité d’un évènement est la somme des probabilités des intersections de cet
évènement avec les éléments d’une famille d’évènements complets, croissance de l’ap-
plication P.
—Probabilités conditionnelles : définition de la probabilité conditionnelle de Asachant
Blorsque P(B)6=0 (PB(A) = P(A|B) = P(A∩B)
P(B)), cas particuliers : B=Ω,A=Ωou
A=/ 0,Aet Bincompatibles, A⊂B, formule des cardinaux dans le cas de la probabilité
uniforme. Si P(B)6=0, PBest une probabilité sur Ω. Formule des probabilités totales :
pour (Ai)iun système complet fini d’évènements de probabilités non-nulles et Bun
évènement quelconque, P(B) = PiP(Ai)P(B|Ai). Formule de Bayes : pour (Ai)iun
système complet fini d’évènements de probabilités non-nulles et Bun évènement de
probabilité non-nulle, alors
PÄAj|Bä=PÄAjäPÄB|Ajä
P(B)=PÄAjäPÄB|Ajä
PiP(Ai)P(B|Ai).
2

Formule des probabilités composées : pour n≥2 et (Ai)n
i=1une famille d’évènements
telle que PÑn−1
\
i=1
Aié6=0,
PÑn
\
i=1
Aié=P(A1)
n
Y
i=2
PÑAi
i−1
\
j=1
Ajé.
—Indépendance d’évènements : définition (deux évènements Aet Bsont indépendants ssi
P(A∩B) = P(A)P(B)), lorsque Aet Bsont indépendants, Aet Baussi, ainsi que Aet
B, ainsi que Aet B. Cas particulier : l’évènement impossible (resp. certain) est indé-
pendant de tout autre évènement. Lorsque P(B)6=0, l’indépendance de Aet Bs’écrit
P(A|B) = P(A). Définition : les (Ai)n
i=1sont mutuellement indépendants ssi pour toute
famille extraite (Aik)p
k=1, on a PÄTp k=1Aikä=Qp k=1P(Aik). Prendre seulement l’intersec-
tion de tous les évènements ne suffit pas, pas plus que l’indépendance deux à deux des
évènements.
Espaces vectoriels (début)
On note Kpour Rou C.
—Définition d’un K-espace vectoriel E. Petites propriétés : λu=0E⇐⇒ (λ=OKou u=
OE),(−1)u=−u. Exemples : {0},R2,R3,Rn,Cn,K[X].KΩ, où Ωest un ensemble
quelconque. Cas particuliers : espace KNdes suites d”éléments de K, espace RIdes
fonctions définies sur un intervalle Ide R. Espace vectoriel Mn,p(K)(= K[[1,n]]×[[1,p]])
des matrices n×pà coefficients dans K.
—Combinaisons linéaires d’une famille finie de vecteurs.
—Sous-espaces vectoriels : définition : partie Fde Estable pour +et pour la multipli-
cation par les scalaires et qui, munie des loi induites, est un e.v. Caractérisation : Fest
non-vide et stable par combinaisons linéaires (on peut se restreindre aux CL de deux
vecteurs). Exemples : {0},E, Quelles sont les droites de R2et R3qui sont des sous-
espaces vectoriels ? les plans de R3qui en sont ? Autres exemples : sous-espaces de
KNdes suites vérifiant une récurrence linéaire homogène d’ordre 2, solutions d’une
équation différentielle linéaire homogène, solutions d’un système linéaire homogène.
Sous-espaces Pet Ide RRdes fonctions paires et impaires, matrices symétriques (S) et
antisymétriques (A) dans Mn(K). Sous-espace Kn[X]de K[X]. Sous-espace des fonc-
tions continues (resp. dérivables, de classe Ck) dans RI.{f:I−→ R|f(x0) = 0}est un
ss-e.v. de RI. Sous-espace Vect(u1,...,uk) = ¶Pk
i=1λiui;(λ1,...,λk)∈Kk©engendré
par une famille finie de vecteurs. Exemples dans R2et R3.
—Intersection de sous-e.v. : toute intersection de sous-e.v. de Eest un sous-e.v. de E.
Attention, pas de définition du sous-e.v. engendré par une famille ou partie infinie !
Toutes les définitions et tous les énoncés sont exigibles.
Démonstrations de cours exigibles
— Polynôme dérivé d’une composé ;
3

— Démonstration de la formule de Taylor polynômiale au point 0 ;
— Lorsque P(A)6=0, l’application PA:
P(Ω)−→ [0,1]
B7−→ P(B∩A)
P(A)
est bien définie et est une
probabilité ;
— Formule de Bayes : pour (Ai)iun système complet fini d’évènements de probabilités
non-nulles et Bun évènement de probabilité non-nulle, alors
PÄAj|Bä=PÄB|AjäPÄAjä
P(B)=PÄB|AjäPÄAjä
PiP(B|Ai)P(Ai);
—λu=0 ssi (λ=0 ou u=0) ;
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