(A) 1.

N.
GüNTHER
(Leningrad - U. S. S. R.)
SUR LE MOUVEMENT D'UN LIQUIDE, ENFERMÉ DANS UN VASE
QUI SE DEPLACE (A)
1. - Nous supposont, que la frontière (St) du domaine (Rt), qui renferme le
Mquide et qui se déplace, satisfait aux conditions :
a) la sphère d'un rayon déterminé d construite autour de chaque point M
sur (St) jouit de la propriété: les droites, paraMèles à la normale à (St) en M
coupent la surface (St) dans l'intérieur de la sphère seulement en un point; on
peut, en consequence, à l'équation de la surface (St) dans l'intérieur de la sphère
donner la forme £ = § ( £ , % t), £ étant la direction de la normale à (St) en M;
b) la fonction §(£, r\, t) a les dérivées de trois premiers ordres par rapport à |, r\, t.
Pour déterminer le mouvement d'un Mquide dans le domaine (Rt) nous donnons
les valeurs initiales des composantes du tourbMlon, cof\ co{2°\ cof, en supposant
qu'eMes ont les dérivées par rapport aux coordonnées du point (qLj q2, q3)
dans (R0) et que la divergence de cette valeur initiale du tourbMlon est égalera zéro.
Le problème consiste dans la détermination de la vitesse, dont les composantes
vérifient le système
.
7
/ \
dui
07t
i
/•
* O o\
(«)
-SF-dü'
™—eP + ^
(»-1,2,8)
où y/ est le potentiel des forces, o la densité, qui est constante, et p la pression, et
satisfont à la condition
x
N
N
Les Ui, u2, u3, p doivent être continues dans (Rt) et satisfaire à la condition
Mmite
(a)
uL cos (NXi) + u2 cos (Nx2) + u3 cos (Nx3) = Wn,
qui dit, que la projection de la vitesse du Mquide dans le point M sur (St) sur
la normale en M est égale à la projection de la vitesse du point M de la surface (St) sur la même normale, et à la condition initiale
(ß)
(<Oi)t=o = a>f\
(œ2)t=o = cof\
(co3)*=o = <40), "
<4) L'exposé d'un mémoire, qui paraît par parties en langue russe dans les Bulletins
de l'Académie des Sciences de U. R. S. S. depuis l'an 1927.
186
COMUNICAZIONI
qui dit que la valeur initiale du tourbiMon coincide avec la valeur du vecteur
« > , eof, «,<»>).
La condition de la continuité de la pression p est surtout essentieMe, quand
le domaine (Rt) est à connexion multiple; dans ce cas le potentiel ip peut n'être
pas continu dans (Rt). Dans ce cas le problème posé n'est pas déterminé, mais
admet une infinité des solutions ; pour le faire déterminé il faut, au Meu de la
valeur initiale du tourbiMon, donner la valeur initiale de la vitesse.
Pour la solution du problème on cherche la vitesse, dont les composantes
vérifient les conditions (b), (a) et (ß) et les équations de Helmholz :
/ /v
d<°i
<a>
oui
W o i i ^
+
, bui
^
œ
*
+
, bui
^
œ
..
"
A n
0v
(»-1,2,8).
2. - La solution est fondé sur les formules, qui donnent les composantes
de la vitesse au moyen des composantes du tourbiMon dans le cas d'un domaine
fermé (L) ; la première de ces formules est :
<*>
— = \ i J T - k
(Rt)
f^+Kw,™
(Rt)
t * * > - £ « H
i
do Ì
.bœ
•V\+bx~i;
(St)
dans cette formule ê est donné par la condition :
j ê cos (rN) ~ = j [coi cos (NXi) + œ2 cos (Nx2) + eo3 cos (Nx3)] -^
(st)
(st)
et cp est une fonction, harmonique dans (Rt), qui est choisi de manière à vérifier
la condition (a).
La formule (B) est valable même dans le cas, quand les composantes du
tourbMlon CüI, CO2, CD3 n'ont pas des dérivées du premier ordre par rapport
à Xi, x2, x3, en satisfaisant à la condition : pour chaque domaine, Mmité par la
surface (o) :
r
/ [coi cos (NXi) + cD2 cos (NX2) + CD3 cos (iV^ 3 )]^a=0.
(o)
La dernière circonstance à une grande importance pour la solution du problème, car eMe permet de se passer avec les fonctions Ui, u2, u3 n'ayant pas
les dérivées secondes.
Dans le cas d'un domaine à connexion multiple, la fonction cp n'est pas
déterminée par la condition imposée. Si (2"i),.... (2m) sont les coupures qui transforment le domaine (Rt) en un domaine simplement connexe, on peut à chaque
fonction cp, répondant à la condition imposée, ajouter la somme 0<°> — B, où
^C(t8)\eos(rNs)^==Q^
*-i
(v
)
(*) N. G ü N T H E R . C. R. de l'Académie de Sciences de U. R. S. S. Décembre, an 1925. —
L. LICHTENSTEIN. Bulletin de l'Académie Polonaise des Sciences et des lettres. Janvier, an 1926.
N.
GüNTHER:
Mouvement
d'un liquide,
enfermé dans un vase
187
où N8 est la normale à (2S) et 0 est la fonction harmonique continue, choisie
de maniere quon ait sur (St) : — =-——.
Olb
Oft
Pour trouver cp dans le cas mentionné, il faut se profiter de la circonstance,
que la continuité de la pression p n'est pas encore garantie par la continuité
des uL,u2,u3;
pour l'assurer il faut convenablement choisir les coefficients C8(t)
dans l'expression de cp.
3. - On trouve la solution du problème en appMquant la méthode des aproximations successives. Envisagons d'abord le cas d'un domaine simplement connexe.
Cherchons une fonction qj0, harmonique dans (Rt) et répondant sur (St) à
la condition - ^ = Wn et formons les fonctions uf)=-~-. Ayant formé le système
^ - -tt?>(af>, 40>, 40), t),
( i - 1 , 2 , 3)
cherchons la solution xf\qi, q2, q3l f), (i=l, 2, 3), qui prend la valeur
( £ = 1 , 2, 3) pour t=0, et, en résolvant le système
Xi=xf(qi,
q2, q3, t),
qi,
( £ = 1 , 2, 3)
trouvons qit q2, q3 comme fonctions des xly x2, x3. Calculons, enfin,
1
*Qi
2
bq2
3
bq3
En usant les fonctions cof\ co{2i}, co(i} formons à l'aide des formules (B) les
fonctions uf\ ayant en passant choisi convenablement la fonction cpi, et recommençons le procédé en partant des fonctions uf} ( £ = 1 , 2 , 3 ) .
On peut, précisément, démontrer (1), que sous les conditions, à lesquels sont
sommises les fonctions uf-n~°, le système d'équations
(1)
a
^
r
= «(«-<>(*<«-", *<«-% z J - S t),
(t-=1, 2, 3)
admet une solution #J n-1) , ( £ = 1 , 2 , 3 ) , qui se réduit à qi, (£=1,2,3) pour £ = 0
et que à chaque point (qif q2, q3) dans (R0) (sur (S0)) correspond pour chaque t
un point (xin~L), xi71-^, x^0)
dans (Rt) (sur (St)) ; d'aiMeurs le système des
équations
(2)
Xi=x^\qi,q2,q3,t)
a une seule solution par rapport à ql9 q2, q3.
Les fonctions cherchées Ui sont les limites des fonctions uf\ La démonstration
(l) N. G ü N T H E R : Sur l'équation
bV
bV
bV
bV
— + w
\-v •? \-w^— = f. Recueil de Moscou, t. 32.
bt
bx
by
bz
188
COMUNICAZIONI
de la convergence du procédé est fondé sur l'étude des différences ^|n+1)—wf),
qui conduit à la conclusion : Si
(3)
lu^-u^lKGn+i,
0 ==i ,1,2,3;
2,;
on a
b u ^
bxj
bu{!l)
bxj
KG, n + i ,
£=1,2,3)
t
(4)
Gil+i^p
j Gndt.
4. - La démonstration de l'inégaMté (4) est compMquée par la circonstance,
que, quoique les fonctions w|w+1) aient les dérivées du second ordre par rapport
à Xi, x2, x3 (ce qu'on ne peut pas affirmer en parlant de leurs Mmites), ces
dérivées ne sont pas assujetties aux inégaMtés analogues aux (3), (3') ; on peut
seulement affirmer qu'eMes sont bornées par un nombre indépendant de la
valeur de n.
Pour éviter cette difficulté il faut, en démontrant les inégaMtés, analogues
aux (3'), avoir recours à l'intégration suivant les chemins, situés à l'intérieur
de (Rt) et ayant une longueur finie. On peut former de pareils chemins en se
basant sur les considerations suivantes. La solution (xL, x2, x3) du système
(5)
-^ =uin~i)(xi,
x2, x3, t) + l[ulH)(Xi, x2, x3,
(£=1,2,3)
fy—u^-^Xi,
x2, x3, t)],
qui se réduit à (g 4 , q2, q3) pour £=0, détermine pour chaque l et t un point à l'intérieur de (Rt) (sur (St)), si le point (qly q2, q3) est à l'intérieur de (R0) (sur (fio)).
Quand on change / de 0 à 1, ce point se déplace de (x^^, #2(w_i)) ^3(w~1))
dans (x(ll), x{2\ xzn)) en restant à l'intérieur de (Rt) (sur (St))Ayant constaté que les fonctions, dépendantes de la solution mentionnée du
système (5), ont les dérivées par rapport à l et remarqué que la borne supérieure de ces dérivées est définie par la borne supérieure du coefficient de l
dans les équations (5), c'est-à-dire, par le nombre Gn, on peut remplacer l'étude
de la différence dans les inégaMtés, analogues à (3'), par l'étude des intégrales
des dérivées par rapport à l des fonctions correspondantes, prises entre les
Mmites 0 et 1.
5. - Ayant trouvé une solution du système (af) et constaté qu'eMe est unique
on doit, cependant, démontrer encore, que cette solution satisfait au système (a).
Il suffit pour cela de démontrer l'existence des dérivées
dut
~dt '
b iduA
bq~j \dt)'
N.
GüNTHER:
Mouvement
d'un liquide,
enfermé dans un vase
189
Cette démonstration est compMquée: 1°) par le manque des dérivées chez les
fonctions coi, co2f co3 par rapport à xL, x2, x3, à cause de quoi, quoique la
dérivée -=f existe, la dérivée -r-1 n'existe peut être, pas et 2°) par la nécessité
de démontrer l'existence d'une dérivée par rapport à t chez la fonction cp, qui
est déterminée comme solution du problème de Neumann dans le cas d'une
variable frontière (St).
6. - On démontre l'existence des dérivées mentionnées chez deux premiers
termes des formules (B) en prenant pour variables indépendantes les coordonnées (qi, q2, q3) d'un point en (R0) ; pareMlement on démontre aussi leurs
existence chez les dérivées Ix., (£=1,2,3), de l'intégrale
/
[coi cos (NXì) + co2 cos (Nx2) + co3 cos (Nx3)] —,
(St)
qui sont les composantes du tourbiMon d'un vecteur, qui est défini par
troisièmes termes ai9 a2, a3 des formules (B).
En introduisant les fonctions
bxi
.
,
,
bx
bxo
2
z-± +a2 -—
+a3 *-*
Ai=at
Oqi
bqi
bq{
j.
bx2
et les fonctions Iiy I2, I3 dont la première est
utiMsant les résultats de mon mémoire: Sur les opérations
sans dérivées (l) établir les égaMtés:
Ai
~^\bq-2]~~r
bq-J—
(Ro)
bx3
on peut, en
avec les fonctions
+
Y* ]>-'>
(Ro)
dans lesquels les deux premiers termes ont les dérivées par rapport à £ et le
tourbiMon du vecteur (yi,y2}y3) est égal au gradient de la fonction
(6)
f [/i cos (Nqd + 1 2 cos (Nq2) + J 3 cos (Nq3)] ^ .
(So)
L'appMcation des formules (B) permet maintenant de transformer (6) en un
potentiel du double couche avec une densité égale à 0 et donner à y£ la forme
àO
7,T
v
bß
! [ò^cos(^3)-^-3Cos(i7g2)|
da0
bX
-r~ + bq^>
(So)
où la première intégrale a une dérivée par rapport à t. On peut démontrer que,
comme fonctions des variables xL, x2, x3, la fonction A est égale à la somme I + #
de deux fonctions, dont la première possède les dérivées demandées et la seconde
est harmonique dans (Rt).
(L) Bulletins de l'Académie de U. R. S. S., an 1924, n. 12-14; an 1925, n. 1-5.
190
COMUNICAZIONI
Ainsi le problème est amené à l'étude de la fonction cp + %, qui jouit de
toutes les propriétés fixées pour cp, et que nous désigneront par cp.
7. - En désignant par Lif L2, L3 la somme des trois premiers termes dans
les formules (B) transformées et par / la différence
Wn—[Li cos (NXi) + L2 cos (Nx2) + L3 cos (Nx3)]
on démontre aisément, que
f(ft-fa)da=0,
(st)
où fa=\-~\a
est un terme qui depend de la dérivée par rapport à t de l'élément
de la surface (St) et qu'on rejette également en étudiant la dérivée par rapport
à t du vecteur [^-, -^-, ^-\.
Xpx^ bx2 ox3J
On peut, enfin, étabMr, que
(7)
/ [Gì cos (NXi) + G2 cos (Nx2) + G3 cos
(Nx3)]do=0
ou Ion a
Q.
*
0%<
=
P
u
bxL bxi
+
A
ò2
v
u
bx2 bxi
+ °2<p
2
u
bxs bxi
_ (^L ^1 + Ol. ^i + OHE. 5üA.
3
\0xL bxL
bx2 bx2
bx2 bx3j '
on écarte les difficultés qu'on éprouve en étabMssant l'égaMté (7) et qui sont
causées par l'absence des secondes dérivées chez u±, u2, u3, en employant la
méthode des fonctions de Stekloff.
Les propositions démontrées permettent d'affirmer qu'il existe une fonction tp,
harmonique dans (Rt) et teMe qu'on a sur (St)
•a^ = j t —fà—[Gi cos (NXì) + G2 cos (Nx2) + G3 cos (Nx3)] ;
après cela on démontre, en formant la dérivée de cp, qu'on a -^j=xp.
8. - Dans le cas d'un domaine à connexion multiple, il faut se servir d'indétermination dans la définition de cp, qui reste encore dans notre disposition, pour
faire la pression p, qu'on calcule à l'aide de la formule
P = WQ-7T,
continue dans (Rt),
Désignons par (f)n le résultat de la substitution dans / des fonctions x[n\
x2n), xztl) à la place des variables xi9 x2, x3 et par -~^ le résultat de la substitution dans la dérivée par rapport à t de (f)n des fonctions q$l\ q{2n\ qP a la
place de les variables qL, q2, q3.
N.
GüNTHER:
Mouvement
d'un liquide,
enfermé dans un vase
191
On démontre aisément que
est une différentieMe exacte d'une certaine fonction Tn.
Si on fait subir chaque uff la transformation, mentionnée dans l'aMnéa 6,
et si on pose
Hfr>-Zfr>+ gf,
Vn-Vn-On + Bf,
s=m
Off- 2 0 , ^ / ^ **
yjn étant continue, on trouve
£fc+
d'où suit, la première somme étant la différentieMe d'une fonction Tn:
in
V^-in
V+ ^
**i
+
ôa.g
U>2 +
ôa.3
*»
+
bt
bt+
bt '
La fonction Tn—tp peut être polydrome, prenant sur les bords opposées de
la coupure (2£8) les valeurs, qui se différent par une fonction de t seul de la
forme c(il)(t). Si on pose
t
Cr\t)=-\êil)(f)dt+c8,
ó
où c8 sont constantes, on trouve que Tn — \p est continue dans (Rt).
Comme, à la Mmite, dTn devient égale à - dn-\-- d(u\ + u\ + u2^), il suit de
là qu'on obtient pour p une fonction continue.
On obtient la démonstration de la convergence du procédé en démonstrant
l'existence des Mmites chez C^n)(t),
(s=l,2,....,m).
Les constantes c8, (s=l, 2,...., m), sont déterminées, quand on donne les
valeurs initiales des uL, u2, u3 au Meu des valeurs initiales des composantes
du tourbiMon.