Résumé « Probabilités » Etape 1 exemple exemple

Résumé « Probabilités »
expérience aléatoire
Ma3/4 Probabilités
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Etape 1
Ev.él. w1 w2 w3 … wn
Prob. p1 p2 p3 … pn
événements aléatoires
univers W
élémentaires ou non
Espace
probabilisé
fini
disjoints ou non
Axiomes
1)p
i
≥0 2)
∑
i=1
n
p
i
≥0
3)A , B deux év.al. tq p(A∩B)=∅
⇒p(A∪B)= p(A)+ p(B)
Loi de probabilité
4 « petits » théorèmes à énoncer et démontrer
exemple jet d'un dé truqué à 4 faces
Ev.él. «obt 1» «obt 2» «obt 3» «obt 4»
Prob. 0.5 0,1 0,25 0,15
Espace
probabilisé
fini
Loi de probabilité
A : «obtenir 3 » est un év. élémentaire
B : «obtenir >2 » n'est pas un év. élémentaire
A et C sont disjoints ; B et C non disjoints
C : «obtenir pair » n'est pas un év. élémentaire
arbre de l'expérience règle du produit
règle de la somme
év. complémentaire « au plus »...
« au moins »...
exemple tirage successif (sans remise)
de 2 boules parmi 3 Jaunes et 5 Noires
A : «obtenir au moins une J» →
p(A)=1−5
8⋅4 7=9 14
B : «obt. N au 2e tirage» →
p(B)= 3
8⋅5 7+5 8⋅4 7=5 8
prob. conditionnelles « sachant que »...
év. indépendants « (in)dépendants »...
Thm « indép »
p(A∣B)= p(A∩B)
p(B)=
3
8⋅5 7
5
8
=3
7
3
8
N
5
8
J
2
7
N
5
7
3
7
N
4
7
J
J
p(A∩B)= 3
8⋅5 7=15 56
≠p(A)⋅p(B)= 9
14⋅5 8=45 112
donc A et B dépendants
Déf
Mot-clé
Thm

Résumé « Probabilités »
expérience aléatoire + variable aléatoire
Ma3/4 Probabilités
Etape 2
exemple jet d'un dé
truqué à
4 faces
Ev.él. «obt 1» «obt 2» «obt 3» «obt 4»
Prob. 0.5 0,1 0,25 0,15
Loi de probabilité
W→
X
ℝ→
f
X
[0;1]
w→ x→p
x x1 x2 x3 … xn
p=fX(x) p1 p2 p3 … pn
Variable
aléatoire
discrète
Loi de probabilité
X:
fX= loi de probabilité(distribution) de X
x +10 -2
P 0.1+0,15 0,5+0,25
X : gain
Espérance mathématique
E(X)=μ=
∑
i=1
n
x
i
⋅p
i
E(X)=μ=10⋅0,25+(−2)⋅0,75=1 jeu favorable au joueur
Variance :
V(X)= E(( X−μ)
2
)=
∑
i=1
n
(x
i
−μ)
2
⋅p
i
=
∑
i=1
n
(x
i
−μ)
2
⋅f
X
(x
i
)
Thm :
V(X)= E(X
2
)−μ
2
x2 (10)2 (-2)2
P 0.25 0,75
V(X)=E(X
2
)−μ
2
=100⋅0,25+4⋅0,75−1
2
=27
Ecart-type :
σ
X
=
√
V(X)
σ
X
=
√
27
−2
10
x
p
0.25
0.75
Etape 3
Loi binomiale :
● exp. al. à 2 issues : S et S; p(S)=p [et p(S)=1-p]
● répétée indépendamment n fois
● X : nombre de succès
X∼B(n ; p)
X∼B(10 ;0,7)
exemple jet 10x d'une pièce truquée où p(«pile»)=0.3 ;
probabilité d'avoir 8 «faces» ?
X∼B(10 ;0,7)⇒ P(X=8)=C
8
10
(0.7)
8
(0.3)
2
≈23 %
P(X=k)=C
k
n
p
k
(1−p)
n−k
gain de 10.- si « pair », perte de 2.- sinon
Si X∼B(n ; p), alors on a :
E(X)=np ,
V(X)=np(1−p) et σ ( X)=
√
np (1−p)
E(X)=10⋅0.7=7
σ ( X)=
√
10⋅0.7⋅0,3=
√
2.1
«espérance, espérer, variable aléatoire, ...»
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Rem
Résumé « Probabilités » Ma3/4 Probabilités
Etape 4
si X∼B(n ; p)et P(X≤k) pour ket n−kgrands ???
exemple on tire sur une cible avec 3 zones :
centre : 10pts, milieu : 5pts, bord : 1pt
p(C)=0,1, p(M)=0,3, p(B)=0,6
X : nombre de points en deux tirs
X discrète
X continue
E(X)=μ=
∑
i=1
n
x
i
⋅p
i
V(X)= E(X
2
)−μ
2
P(a<X<b)=
∑
...
...
...
E(X)=μ=
∫
−∞
−∞
x f (x)dx et V(X)=E(X
2
)−μ
2
P(X=k)=0
P(a<X<b)=
∫
a
b
f(x)dx
f
X
fXfonction de densité
1)f
X
(x)≥0 2 )
∫
−∞
+∞
f(x)dx=1
x 2 6 10 11 15 20
p 0,36 0,36 0,09 0,12 0,06 0,01
E(X)=2⋅0,36+...+20⋅0,01=6,2
X discrète
exemple on tire sur une cible
X : distance en cm du point central
densité donnée :
X continue
p(«11»)=0,1⋅0,6+0,6⋅0,1=0.12 ;...
f
X
(x)=
{
cos(x),si 0≤x≤
π
2
0,sinon
P(X=2)=0
P(1<X<2)=
∫
1
π
2
cos(x)dx=1−sin (1)≃15 ,9%
p
i
≥0 et
∑
i=1
n
p
i
≥0
Rem
f(x)≥0 et
∫
−∞
∞
f(x)dx=1
2
10
x
p
0.09
0.36
20
6
11
15
f
X
E(X)=
∫
0
π
2
xcos(x)dx =
par parties
[
xsin (x)+cos (x)
]
∣π
2
0
=π
2−1
FXfonction de répartition
F(x)= P(X≤x)=
∫
−∞
x
f(t)dt
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Résumé « Probabilités » Ma3/4 Probabilités
Etape 5
Thm : Y∼N(μ ;σ)⇒ E(Y)=μ et σ (Y)=σ
Loi normale (cas général)
exemples Z normale centrée réduite
P(Z<1,37)=
table
0,9147=91 ,47%
F(x)= P(Z≤x)=
∫
−∞
x
f(t)dt
f(x)= 1
√
2πe
−x
2
2
f(x)= 1
σ
√
2πe
−1
2(x−μ
σ)
2
Loi normale (cas particulier centrée-réduite)
Thm : Z∼N(0;1)⇒ E(Z)=0 et σ (Z)=1
Fonction de répartition (loi centrée-réduite)
résultats via
une table
(ou une
calculatrice)
Z∼N(0;1)
P(Z<−1,37)=1−P(Z<1,37)
=
table
1−0,9147=0,0853=8,53 %
P(0,12<Z<1,37)=P(Z<1,37)−P(Z<0,12)
=
table
0,9147−0,5478=0,3669=36,69 %
Le poids moyen de 500 colis entreposés dans un
certain hangar est 100 kg et l'écart-type est 80 kg.
En supposant que ces poids sont normalement
distribués, calculer le nombre de colis pesant entre
120 et 200 kg :
Y normale quelconque → se ramener à N(0;1)
P(120<Y<200)=P(120−100
80 <Y−100 80 <200−100 80 )
=P(0.25<Y−100
80 <1,25)
=
table
0,8944−0,5987=0,2957=29,57 %
Si Y∼N(100 ;80), alors Y−100
80 ∼N(0;1)
exemple
« normale, normalement »
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Résumé « Probabilités » Ma3/4 Probabilités
Etape 6
Approximer la loi binomiale
par la loi normale
Soit et si n est assez grand,
Alors
On lance une pièce 100 fois. Quelle est la probabilité
que le nombre de faces obtenu soit compris entre
40 et 60 ?
X binomiale → →
X∼B(100 ;0,5)
exemple
X∼B(n ; p)
Y=X−n p
√
n p q ∼N(0;1)
P(a≤X≤b)≃P
(
[(a−0,5)−np]
√
n p q ≤Y≤[(b+0,5)−np]
√
n p q
)
on a alors :
Y∼N(μ ;σ )
Z∼N(0;1)
P(40≤X≤60)=?
E(X)=np=100⋅0,5=50 et
σ ( X)=
√
np (1−p)=
√
100⋅0,5⋅0.5=5
On approxime X par Y∼N(np ;
√
np (1−p))=N(50 ;5)
On pose Z=Y−50
5 et on a : Z∼N(0;1)
Ainsi P(40≤X≤60)≃P(39 ,5≤Y≤60 ,5)
≃P(39 ,5−50
5≤Y−50 5≤60 ,5−50 5)
=P(39 ,5−50
5≤Z≤60 ,5−50 5)
=P(−2,1≤Z≤2,1)
=P(Z≤2,1)− P(Z≤−2,1)
=P(Z≤2,1)−[1−P(Z≤2,1)]
=2⋅P(Z≤2,1)−1
=
table
2⋅0,9821−1
=0,9642=96 ,42 %
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