Résumé « Probabilités » Etape 1 exemple exemple

Déf
Mot-clé
Thm
Résumé « Probabilités »
Etape 1
expérience aléatoire
univers W
événements aléatoires élémentaires ou non
Ma3/4 Probabilités
exemple
Ev.él. «obt 1» «obt 2» «obt 3» «obt 4»
Prob. 0.5
0,1
0,25
0,15
A : «obtenir 3 » est un év. élémentaire
Loi de probabilité
Ev.él. w1 w2 w3 … wn
Prob. p1 p2 p3 … pn
B : «obtenir >2 » n'est pas un év. élémentaire
C : «obtenir pair » n'est pas un év. élémentaire
Axiomes n
1 ) p i ≥0 2 ) ∑ p i ≥0 3 ) A , B deux év.al. tq p ( A∩B)=∅
i=1
Loi de probabilité
Espace
probabilisé
fini
disjoints ou non
Espace
probabilisé
fini
jet d'un dé truqué à 4 faces
A et C sont disjoints ; B et C non disjoints
⇒ p( A∪B)= p ( A)+ p (B )
4 « petits » théorèmes à énoncer et démontrer
arbre de l'expérience
règle du produit
règle de la somme
év. complémentaire
exemple
tirage successif (sans remise)
de 2 boules parmi 3 Jaunes et 5 Noires
« au plus »...
J
« au moins »...
prob. conditionnelles
« sachant que »...
év. indépendants
« (in)dépendants »...
Thm « indép »
5
8
3
8
2
7
J
3
7
5
7
N
4
7
N
5 4 9
8 7 14
3 5 5 4 5
e
B : «obt. N au 2 tirage» → p ( B)= ⋅ + ⋅ =
8 7 8 7 8
A : «obtenir au moins une J» → p ( A)=1− ⋅ =
3 5
⋅
p ( A∩ B) 8 7 3
p ( A∣B)=
=
=
5
7
p( B)
8
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J
N
3 5 15
p ( A∩ B)= ⋅ =
8 7 56
9 5 45
≠ p( A)⋅p ( B)= ⋅ =
14 8 112
donc A et B dépendants
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Ma3/4 Probabilités
Résumé « Probabilités »
expérience aléatoire + variable aléatoire
Etape 2
X
f
exemple
X
W→ ℝ → [ 0 ;1 ]
w→ x → p
Variable
aléatoire
discrète
Loi de probabilité
jet d'un dé
truqué à
4 faces
Ev.él. «obt 1» «obt 2» «obt 3» «obt 4»
Prob. 0.5
0,1
0,25
0,15
gain de 10.- si « pair », perte de 2.- sinon
Loi de probabilité
x
x x x …x
X : p=f (x) p1 p 2 p 3 … p n
1 2
3
n
X
«espérance, espérer, variable aléatoire, ...»
x
X : gain
P
fX = loi de probabilité (distribution) de X
0.75
Espérance mathématique E ( X )=μ=∑ x i⋅p i
0.25
i =1
n
−2
n
V ( X )= E (( X −μ)2 )= ∑ ( x i −μ )2⋅p i =∑ ( x i −μ )2⋅ f X ( x i )
i=1
Thm : V ( X )= E ( X 2 )−μ 2
Ecart-type : σ X = √ V ( X )
Etape 3
exp. al. à 2 issues : S et S; p(S)=p [et p(S)=1-p]
répétée indépendamment n fois
●
X : nombre de succès
●
10
x
E ( X )=μ=10⋅0,25+(−2)⋅0,75=1 jeu favorable au joueur
i= 1
Loi binomiale : X ∼ B(n ; p)
-2
0,5+0,25
p
n
Variance :
+10
0.1+0,15
2
x
P
exemple
(10)
0.25
2
2
(-2)
0,75
V ( X )=E ( X 2 )−μ 2
2
=100⋅0,25+ 4⋅0,75−1 =27
σ X = √ 27
jet 10x d'une pièce truquée où p(«pile»)=0.3 ;
probabilité d'avoir 8 «faces» ?
●
8
2
X ∼ B (10 ; 0,7)⇒ P ( X =8)=C 10
8 (0.7) (0.3) ≈23 %
P ( X =k )=C nk p k (1− p)n− k
X ∼B (10 ; 0,7)
Si X ∼ B (n ; p), alors on a :
E ( X )=np ,
V ( X )=np(1− p) et σ ( X )=√ np (1− p)
E ( X )=10⋅0.7=7
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σ ( X )=√ 10⋅0.7⋅0,3= √ 2.1
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Ma3/4 Probabilités
Résumé « Probabilités »
exemple
Etape 4
X discrète
p(« 11»)=0,1⋅0,6+0,6⋅0,1=0.12 ;...
...
P (a < X <b )=∑ ...
n
on tire sur une cible avec 3 zones : X discrète
centre : 10pts, milieu : 5pts, bord : 1pt
p(C)=0,1, p(M)=0,3, p(B)=0,6
X : nombre de points en deux tirs
x
...
p
E ( X )=μ=∑ x i⋅p i
Rem
2
6
10 11 15 20
0,36 0,36 0,09 0,12 0,06 0,01
p
i =1
V ( X )= E ( X 2 )−μ 2
n
p i ≥0 et
∑ pi ≥0
i =1
0.36
0.09
si X ∼ B(n ; p)et P ( X ≤k ) pour k et n−k grands ???
2
6
10 11
x
20
15
E ( X )=2⋅0,36+...+20⋅0,01=6,2
f
X continue
X
exemple
X continue
on tire sur une cible
X : distance en cm du point central
densité donnée :
cos( x) , si 0≤x ≤π
f X ( x)=
fX fonction de densité
{
2
0,sinon
+∞
1 ) f X ( x)≥0
2 ) ∫ f ( x)dx=1
Rem
f
−∞
f ( x )≥0 et
∞
X
∫
b
P (a < X <b )=∫ f ( x ) dx
f ( x) dx=1
−∞
a
P ( X =k)=0
−∞
2
E ( X )=μ= ∫ x f ( x) dx et V ( X )=E ( X )−μ
2
P ( X =2 )=0
−∞
FX fonction de répartition
x
F (x )= P ( X ≤ x)=∫ f (t) dt
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−∞
π
2
P (1< X <2)=∫ cos ( x) dx=1−sin (1)≃15 , 9 %
1
π
2
E ( X )=∫ x cos( x) dx
0
par parties
=
π
x
sin
(x
)+cos(
x)
∣
[
] 2 = π −1
2
0
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Ma3/4 Probabilités
Résumé « Probabilités »
exemples
Loi normale (cas particulier centrée-réduite)
Etape 5
x
Z normale centrée réduite
Z ∼N (0 ;1)
table
2
1 −2
f ( x)=
e
√2π
P (Z <1 , 37) = 0 ,9147=91 , 47%
P ( Z <−1,37)=1− P (Z <1,37)
table
= 1−0,9147=0,0853=8,53 %
Thm : Z ∼N (0 ;1)⇒ E (Z )=0 et σ (Z )=1
P (0,12<Z <1,37)=P ( Z <1,37)−P (Z <0,12)
Loi normale (cas général)
table
= 0,9147−0,5478=0,3669=36,69 %
f ( x)=
1
e
σ √2 π
2
1 x−μ
− ( σ )
2
« normale, normalement »
exemple
Thm : Y ∼ N (μ ;σ)⇒ E (Y )=μ et σ (Y )=σ
Fonction de répartition (loi centrée-réduite)
x
Y normale quelconque → se ramener à N(0;1)
Le poids moyen de 500 colis entreposés dans un
certain hangar est 100 kg et l'écart-type est 80 kg.
En supposant que ces poids sont normalement
distribués, calculer le nombre de colis pesant entre
120 et 200 kg :
Si Y ∼N (100 ;80), alors
F (x )= P (Z ≤x )= ∫ f (t)dt
−∞
résultats via
une table
(ou une
calculatrice)
P (120<Y <200)=P (
=P (0.25<
Y −100
∼N (0 ;1)
80
120−100 Y −100 200−100
<
<
)
80
80
80
Y −100
<1,25)
80
table
= 0,8944−0,5987=0,2957=29,57 %
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Ma3/4 Probabilités
Résumé « Probabilités »
Etape 6
Approximer la loi binomiale
par la loi normale
exemple
Soit X ∼ B(n ; p) et si n est assez grand,
Alors Y =
X −n p
∼ N (0 ;1)
√n p q
X binomiale → Y ∼N (μ ;σ ) → Z ∼N (0 ;1)
On lance une pièce 100 fois. Quelle est la probabilité
que le nombre de faces obtenu soit compris entre
40 et 60 ?
X ∼B (100 ;0,5)
E ( X )=np=100⋅0,5=50 et
σ ( X )=√ np (1− p )=√ 100⋅0,5⋅0.5=5
P (40≤ X ≤60)=?
on a alors :
[(a−0,5)−np]
[(b+0,5)−np]
P (a≤ X ≤b)≃ P
≤Y ≤
√n p q
√n p q
(
)
On approxime X par Y ∼N (np ; √ np (1− p ))=N (50 ;5)
On pose Z =
Y −50
et on a : Z ∼N (0 ;1)
5
Ainsi P (40≤ X ≤60)≃P (39 ,5≤Y ≤60 ,5)
39 , 5−50 Y −50 60 , 5−50
≃P (
≤
≤
)
5
5
5
39 , 5−50
60 , 5−50
=P (
≤Z ≤
)
5
5
=P (−2 ,1≤Z ≤2 ,1)
=P (Z ≤2 , 1)− P(Z ≤−2 , 1)
=P (Z ≤2 , 1)−[1−P (Z ≤2 , 1)]
=2⋅P (Z ≤2 ,1)−1
table
= 2⋅0 , 9821−1
=0 , 9642=96 , 42 %
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