Méthodes Chapitre 6 : Fonction Exponentielle

I) Comment utiliser la relation fonctionnelle et ses conséquences pour transformer des écritures ?
Méthode :
Applications :
Ecrire le plus simplement possible les expressions suivantes, définies pour tout réel x :
a) e
2x – 1
× e
3 – x
; b) e
1 - x
e
2 + 3x
; c) (e
2x
–e
– x
)
2
; d) e
x + 3
e
1 - x
.
II) Comment résoudre des équations comportant des exponentielles ?
Méthode :
Applications :
Résoudre dans IR les équations suivantes :
a) e
2x + 3
= e
– x + 5
; b) e
x2 + x – 2
= 1 ; c) e
4x
+ 3e
2x
– 4 = 0
III) Comment résoudre des inéquations comportant des exponentielles ?
Méthode :
Applications : résoudre dans IR les inéquations suivantes
a) e
x2 – 3
> e
2x
b) e
x(x2 – 1)
≥ 1 c) e
3x
+ e
2x
– 2e
x
≤ 0
Méthodes Chapitre 6 : Fonction Exponentielle
1) Déterminer l’ensemble de définition.
2) Se ramener à une égalité de la forme e
a
= e
b
, en utilisant les propriétés de
l’exponentielle
3) La fonction exponentielle étant strictement croissante sur IR, on en déduit que
a = b.
On peut être amené à effectuer un changement d’inconnue (ex : on pose X = e
x
).
Dans cas, ne pas oublier de revenir ensuite à x.
Aussi, dans certains cas, comme l’exponentielle est à valeurs strictement positives on
peut conclure immédiatement à l’absence de solutions.
Pour résoudre une inéquation comportant des exponentielles :
1) déterminer l’ensemble de définition ;
2) se ramener à une inégalité de la forme e
a
> e
b
3) la fonction exponentielle étant strictement croissante sur IR, on en déduit que a > b.
On peut être amené à faire un changement d’inconnue (ex : on pose X = e
x
) puis à dresser un
tableau de signes.
L’utilisation de la relation fonctionnelle e
x
×
e
y
= e
x
+ y
et de ses conséquences permet de
transformer l’écriture d’une expression contenant des exponentielles. Ces relations sont
identiques, dans la forme, aux formules de calculs sur les puissances, mais avec un
exposant qui peut prendre ici n’importe quelle valeur réelle.

IV) Comment calculer des limites de fonctions comportant des exponentielles ?
Méthode :
Applications : déterminer les limites des fonctions f suivantes :
a) f(x) = e
– 3x + 1
en – ∞ et + ∞ ; b) f(x) = e
2x – 1
e
x
+ 2
en + ∞ ; c) f(x) = e
x
– 4x en + ∞ ;
a) f(x) = e
– x
+ 2x en – ∞ ; e) f(x) = e
x
x + 1 en + ∞.
V) Comment déterminer la dérivée de fonctions s’exprimant avec une exponentielle ?
Méthode
Applications
Calculer la dérivée des fonctions suivantes.
a) f(x) = e
2
1
x x
− +
, dans IR ; b) f(x) = ( 2 – x ) e
1 – x
, dans IR ; c) f(x) = x e
x
1
, dans IR \
{
}
0
d) f(x) = x
2
e
3x
, dans IR ; e) f(x) = e
x
x + 1, dans IR \ {-1}.
VI) Comment étudier des fonctions s’exprimant avec une exponentielle ?
Méthode
Application
Etudier la fonction définie sur IR par f(x) = (x + 1 ) e
– x
( limites , variations , courbe )
Pour dériver une fonction comportant des exponentielles, il faut appliquer les formules générales
de dérivation et connaître la dérivée de e
u(x)
: (e
u(x)
)’ = u’(x) e
u(x)
.
Pour étudier une fonction s’exprimant avec une exponentielle, on applique les méthodes
générales d’étude de fonctions (limites, variations, courbe) en tenant compte des spécificités de
l’exponentielle : limites, dérivée.
Pour déterminer une limite comportant une exponentielle, on applique les règles opératoires
habituelles sur les limites en prenant en compte que :
lim
x → + ∞
e
x
= + ∞ et lim
x → – ∞
e
x
= 0.
Lorsque l’on est en présence d’une forme indéterminée, il faut se ramener par une
transformation d’écriture (factorisation, ..) aux limites démontrées dans le cours, c'est-à-
dire : ● lim
x → 0
e
x
– 1
x = 1 ●
lim
x → + ∞
e
x
x = + ∞ ●lim
x → – ∞
xe
x
= 0