Mathématiques L3 MIAGE TD 6 1 Loi uniforme Exercice 1 : Loi uniforme – Cours Soit X une variable aléatoire qui suit une loi uniforme sur le segment [0; 1]. a. Calculer sa moyenne E[X] et sa variance Var(X). b. De façon générale, calculer E[X n ], moment d’ordre n de X. c. Soit a et b deux réels tels que a < b. Comment définiriez-vous la densité d’une variable aléatoire X uniforme sur le segment [a; b] ? Donner alors E[X] et Var(X). Exercice 2 : Tirages uniformes sur un segment Soit X un point au hasard sur le segment [0; 1], c’est-à-dire que X ∼ U[0;1] . a. Quelle est la probabilité que X soit supérieur à 3/4 ? b. Quelle est la probabilité que X soit supérieur à 3/4, sachant qu’il est supérieur à 1/3 ? c. Le point X définit les deux segments [0; X] et [X; 1]. Quelle est la probabilité pour que le rapport entre le plus grand et le plus petit des deux segments soit supérieur à 4 ? Exercice 3 : Minimum d’uniformes Soit n variables aléatoires U1 , . . . , Un indépendantes et de même loi uniforme sur [0; 1]. On considère la variable X = min(U1 , . . . , Un ). a. Que vaut P(U > t) lorsque U ∼ U[0;1] et t ∈ [0, 1] ? b. Calculer la fonction de répartition F de la variable X. c. En déduire la densité et l’espérance de X. Exercice 4 : Ambulance et accidents Une station d’ambulances se situe au kilomètre 30 d’une route de 100 kms de long. Les accidents sont supposés arriver uniformément sur cette route. L’ambulance roule à 100 km/h pour intervenir sur le lieu d’un accident. Notons T le temps écoulé (en minutes) entre l’appel à la station et l’arrivée de l’ambulance sur le lieu de l’accident. a. Quelles valeurs peut prendre la variable aléatoire T ? b. Que vaut P(T > 30) ? c. Plus généralement, calculer P(T > t) en fonction de t. d. Déterminer la densité de T , sa moyenne et sa variance. Mathématiques 2 L3 MIAGE Loi exponentielle Exercice 5 : Loi exponentielle – Cours Soit λ > 0 fixé. On dit que X suit une loi exponentielle de paramètre λ si X admet pour densité f (x) = λe−λx 1x≥0 . On note alors X ∼ E(λ). a. Représenter f . Vérifier que f est bien une densité. b. Calculer et représenter la fonction de répartition F . c. Calculer espérance et variance de X. d. La durée de vie T en années d’une télévision suit une loi de densité f (t) = 81 e−t/8 1t≥0 . 1. Quelle est la durée de vie moyenne d’une telle télévision ? Et l’écart-type de cette durée de vie ? 2. Calculer la probabilité que votre télévision ait une durée de vie supérieure à 8 ans. Exercice 6 : Minimum d’exponentielles a. On considère deux variables aléatoires indépendantes X1 et X2 exponentielles de paramètres respectifs λ1 et λ2 . Soit Y = min(X1 , X2 ) le minimum de ces deux variables. 1. Pour tout réel y, calculer P(X1 > y). 2. En déduire P(Y > y), puis la fonction de répartition F de la variable Y . 3. En déduire que Y suit une loi exponentielle de paramètre λ1 + λ2 . b. Deux guichets sont ouverts à une banque : le temps de service au premier (respectivement second) guichet suit une loi exponentielle de moyenne 20 (respectivement 30) minutes. Alice et Bob arrivent ensemble à la banque : Alice choisit le guichet 1, Bob le 2. En moyenne, au bout de combien de temps sort le premier ? c. En moyenne, combien de temps faut-il pour que les deux soient sortis ? (Indication : le max de deux nombres, c’est la somme moins le min.) Exercice 7 : Lien entre lois exponentielle et géométrique Soit X une variable aléatoire suivant une loi exponentielle E(1), et Y = dXe la variable égale à sa partie entière supérieure (c’est-à-dire que d2.8e = 3 et d4e = 4). a. Quelles valeurs peut prendre Y ? Avec quelles probabilités ? Quelle loi reconnaissez-vous ? En déduire E[Y ] et Var(Y ). b. Soit alors Z = Y − X. Dans quel intervalle Z prend-elle ses valeurs ? Déterminer sa fonction de répartition F (elle fait intervenir une série). c. En déduire que sa densité vaut f (z) = d. Préciser E[Z]. ez 1 (z). z − 1 [0;1]