TD 6

Mathématiques L3 MIAGE
TD 6
1 Loi uniforme
Exercice 1 : Loi uniforme – Cours
Soit Xune variable aléatoire qui suit une loi uniforme sur le segment [0; 1].
a. Calculer sa moyenne E[X]et sa variance Var(X).
b. De façon générale, calculer E[Xn], moment d’ordre nde X.
c. Soit aet bdeux réels tels que a < b. Comment définiriez-vous la densité d’une variable
aléatoire Xuniforme sur le segment [a;b]? Donner alors E[X]et Var(X).
Exercice 2 : Tirages uniformes sur un segment
Soit Xun point au hasard sur le segment [0; 1], c’est-à-dire que X∼U[0;1].
a. Quelle est la probabilité que Xsoit supérieur à 3/4?
b. Quelle est la probabilité que Xsoit supérieur à 3/4, sachant qu’il est supérieur à 1/3?
c. Le point Xdéfinit les deux segments [0; X]et [X; 1]. Quelle est la probabilité pour que le
rapport entre le plus grand et le plus petit des deux segments soit supérieur à 4 ?
Exercice 3 : Minimum d’uniformes
Soit nvariables aléatoires U1, . . . , Unindépendantes et de même loi uniforme sur [0; 1]. On
considère la variable X= min(U1, . . . , Un).
a. Que vaut P(U > t)lorsque U∼ U[0;1] et t∈[0,1] ?
b. Calculer la fonction de répartition Fde la variable X.
c. En déduire la densité et l’espérance de X.
Exercice 4 : Ambulance et accidents
Une station d’ambulances se situe au kilomètre 30 d’une route de 100 kms de long. Les acci-
dents sont supposés arriver uniformément sur cette route. L’ambulance roule à 100 km/h pour
intervenir sur le lieu d’un accident. Notons Tle temps écoulé (en minutes) entre l’appel à la
station et l’arrivée de l’ambulance sur le lieu de l’accident.
a. Quelles valeurs peut prendre la variable aléatoire T?
b. Que vaut P(T > 30) ?
c. Plus généralement, calculer P(T > t)en fonction de t.
d. Déterminer la densité de T, sa moyenne et sa variance.

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2 Loi exponentielle
Exercice 5 : Loi exponentielle – Cours
Soit λ > 0fixé. On dit que Xsuit une loi exponentielle de paramètre λsi Xadmet pour densité
f(x) = λe−λx1x≥0. On note alors X∼E(λ).
a. Représenter f. Vérifier que fest bien une densité.
b. Calculer et représenter la fonction de répartition F.
c. Calculer espérance et variance de X.
d. La durée de vie Ten années d’une télévision suit une loi de densité f(t) = 1
8e−t/81t≥0.
1. Quelle est la durée de vie moyenne d’une telle télévision ? Et l’écart-type de cette
durée de vie ?
2. Calculer la probabilité que votre télévision ait une durée de vie supérieure à 8 ans.
Exercice 6 : Minimum d’exponentielles
a. On considère deux variables aléatoires indépendantes X1et X2exponentielles de paramètres
respectifs λ1et λ2. Soit Y= min(X1, X2)le minimum de ces deux variables.
1. Pour tout réel y, calculer P(X1> y).
2. En déduire P(Y > y), puis la fonction de répartition Fde la variable Y.
3. En déduire que Ysuit une loi exponentielle de paramètre λ1+λ2.
b. Deux guichets sont ouverts à une banque : le temps de service au premier (respectivement
second) guichet suit une loi exponentielle de moyenne 20 (respectivement 30) minutes.
Alice et Bob arrivent ensemble à la banque : Alice choisit le guichet 1, Bob le 2. En
moyenne, au bout de combien de temps sort le premier ?
c. En moyenne, combien de temps faut-il pour que les deux soient sortis ? (Indication : le
max de deux nombres, c’est la somme moins le min.)
Exercice 7 : Lien entre lois exponentielle et géométrique
Soit Xune variable aléatoire suivant une loi exponentielle E(1), et Y=dXela variable égale à
sa partie entière supérieure (c’est-à-dire que d2.8e= 3 et d4e= 4).
a. Quelles valeurs peut prendre Y? Avec quelles probabilités ? Quelle loi reconnaissez-vous
? En déduire E[Y]et Var(Y).
b. Soit alors Z=Y−X. Dans quel intervalle Zprend-elle ses valeurs ? Déterminer sa
fonction de répartition F(elle fait intervenir une série).
c. En déduire que sa densité vaut f(z) = ez
z−11[0;1](z).
d. Préciser E[Z].