Alexis Hérault CSC104 ED 5 Normes et conditionnement Objectifs : – maitriser les notions de rayon spectral et de norme pour les matrices – comprendre ce qu’est le conditionnement d’un système linéaire Exercice 1. Soit A = [aij ] une matrice N × N (réelle ou éventuellement complexe, λ une valeur propre de A et X un vecteur propre associé à λ tel que max |xi | = 1. i=1,··· ,N 1. Montrer que : ∀i ∈ {1, · · · , N }, |λ − aii ||xi | ≤ X |aij ||xj | j6=i Indication : écrire AX = λX composante à composante. 2. Montrer qu’il existe au moins un indice k tel que : X |akj | |λ − akk | ≤ j6=k 3. En déduire que si λ est valeur propre de A, λ appartient à la réunion des disques Dk du plan complexe définis par : ( ) X Dk = z ∈ C, |z − akk | ≤ |akj | j6=k Remarque : il s’agit du théorème de Gerschgorin. 1 −1 2 Appliquer ce résultat à la matrice A = −3 −2 1 1 −1 0 4. Montrer que si λ est valeur propre de A, alors : ( ) X λ ∈ ∪k Dk0 avec Dk0 = z ∈ C, |z − akk | ≤ |ajk | j6=k 1 Alexis Hérault CSC104 5. Montrer que le rayon spectral de A vérifie la relation : ρ(A) ≤ max k N X |akj | j=1 Indication : |a| ≤ |a − b| + |b|. 6. Montrer que si la matrice A est à diagonale strictement dominante 1 alors A est inversible. La réciproque est-elle vraie ? Exercice 2. Soit A une matrice réelle quelconque. 1. Vérifier que AA est symétrique, positive 2 et que : AA définie positive 3 ⇔ A inversible. q 2. Montrer que ||A||2 = ρ AA ||Ax||2 Rappel : ||A||2 = sup . x6=0 ||x||2 3. Que se passe-t-il si A est symétrique ? Que vaut alors ||Ax||2 ? 4. Soit U une matrice orthogonale 4 , calculer ||U ||2 et montrer que : ∀A ∈ Mn (R), ||AU ||2 = ||U A||2 = ||A||2 Exercice 3. Norme euclidienne des matrices Soit A = [aij ] une matrice réelle. On pose : ! 12 ||A||E = X |aij |2 i,j 1. Montrer que ||.||E est une norme matricielle. 2. Est-ce une norme subordonnées ? q q 3. Montrer que ||A||E = tr AA = tr AA √ En déduire que ||A||2 ≤ ||A||E ≤ N ||A||2 Remarque : ceci est la démonstration de l’équivalence de ces deux normes. Pour un espace normé de dimension fini ce résultat se généralise : toutes les normes sont alors équivalentes. 1. ∀k ∈ {1, · · · , }, |akk | > X |akj | j6=k 2. A positive ⇔ (x, Ax) ≥ 0, ∀x 3. A définie postive ⇔ (x, Ax) > 0, ∀x 4. U U = U U = I 2 Alexis Hérault CSC104 4. Soit U une matrice orthogonale, calculer ||U ||E et montrer que : ∀A ∈ Mn (R), ||AU ||E = ||U A||E = ||A||E Exercice 4. Conditionnement d’un système linéaire On veut résoudre dans Rn le système linéaire Ax = b, avec A inversible. A partir du moment ou l’on résout ce système sur machine ou que les données de A ou b proviennent de mesures, il y a des erreurs commises sur A et b (erreurs de troncature, d’arrondis, ... issues de la représentation des nombres en machine et/ou erreurs dues à la précision des mesures). Autrement dit on résout en fait un système légèrement perturbé : (A + δA)y = b + δb Soit x la solution exacte de Ax = b et y = δx + x, le système précédent s’écrit : (A + δA)(δx + x) = b + δb Le but de l’exercice est d’évaluer l’erreur relative commise sur la solution ||δx|| en fonction des données. Si cette erreur est importante pour de petites ||x|| perturbation le système est dit mal conditionné. 1. Etape 1 : on considère le système perturbé suivant : A(δx + x) = (b + δb) ||δb|| ||δx|| en fonction de ||x|| ||b|| 2. Etape 2 : on considère le système perturbé suivant : Evaluer (A + δA)(δx + x) = b ||δx|| ||δA|| ≤ ||A||.||A−1 || ||x + δx|| ||A|| Remarque : le nombre ||A||.||A−1 || est noté CondA et s’appelle conditionnement de la matrice A. Bien sûr il dépend de la norme choisie. Pour toute norme telle que ||I|| = 1 on a CondA ≥ 1. 3. Cas général : on considère une norme matricielle telle que ||I|| = 1 et on suppose que ||A−1 ||.||δA|| < 1. Montrer que la solution du système perturbé complet : Vérifier que (A + δA)(δx + x) = b + δb vérifie : ||δx|| CondA ||δb|| ||δA|| ≤ + ||x|| 1 − ||A−1 ||.||δA|| ||b|| ||A|| 3 Alexis Hérault CSC104 On note Cond2 (A) = ||A||2 .||A−1 ||2 le conditionnement associé à la norme 2. Vérifier que : 1. Cond2 (A) = λλmax pour toute matrice A symétrique réelle (λmax et λmin min représentent respectivement la plus grande et la plus petite des valeurs propre de A). 2. Cond2 (U ) = 1 pour toute matrice orthogonale U . Exemple : on considère le système Ax = b avec : 10 7 17 A= ,b = 7 −2 7 1. Etudier du système à une perturbation du second membre la réponse 0.5 δb = 0.5 2. Etudier la réponse du système à une perturbation des coefficients du 0 0.5 système δA = −0.5 0 3. Calculer Cond2 (A) 4