ED 5 Normes et conditionnement

Alexis H´erault CSC104
ED 5
Normes et conditionnement
Objectifs :
– maitriser les notions de rayon spectral et de norme pour les
matrices
– comprendre ce qu’est le conditionnement d’un syst`eme lin´eaire
Exercice 1. Soit A= [aij ] une matrice N×N(r´eelle ou ´eventuellement
complexe, λune valeur propre de Aet Xun vecteur propre associ´e `a λtel
que max
i=1,··· ,N |xi|= 1.
1. Montrer que :
∀i∈ {1,··· , N},|λ−aii||xi| ≤ X
j6=i|aij ||xj|
Indication : ´ecrire AX =λX composante `a composante.
2. Montrer qu’il existe au moins un indice ktel que :
|λ−akk | ≤ X
j6=k|akj |
3. En d´eduire que si λest valeur propre de A,λappartient `a la r´eunion
des disques Dkdu plan complexe d´efinis par :
Dk=(z∈C,|z−akk | ≤ X
j6=k|akj |)
Remarque : il s’agit du th´eor`eme de Gerschgorin.
Appliquer ce r´esultat `a la matrice A=
1−1 2
−3−2 1
1−1 0 
4. Montrer que si λest valeur propre de A, alors :
λ∈ ∪kD0
kavec D0
k=(z∈C,|z−akk | ≤ X
j6=k|ajk|)
1

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5. Montrer que le rayon spectral de Av´erifie la relation :
ρ(A)≤max
k
N
X
j=1 |akj |
Indication :|a|≤|a−b|+|b|.
6. Montrer que si la matrice Aest `a diagonale strictement dominante 1
alors A est inversible. La r´eciproque est-elle vraie ?
Exercice 2. Soit Aune matrice r´eelle quelconque.
1. V´erifier que AA est sym´etrique, positive 2et que :
AA d´efinie positive 3⇔Ainversible.
2. Montrer que ||A||2=qρAA
Rappel :||A||2= sup
x6=0
||Ax||2
||x||2
.
3. Que se passe-t-il si Aest sym´etrique ? Que vaut alors ||Ax||2?
4. Soit Uune matrice orthogonale 4, calculer ||U||2et montrer que :
∀A∈Mn(R),||AU||2=||UA||2=||A||2
Exercice 3. Norme euclidienne des matrices
Soit A= [aij ] une matrice r´eelle. On pose :
||A||E= X
i,j |aij |2!1
2
1. Montrer que ||.||Eest une norme matricielle.
2. Est-ce une norme subordonn´ees ?
3. Montrer que ||A||E=qtr AA=qtr AA
En d´eduire que ||A||2≤ ||A||E≤√N||A||2
Remarque : ceci est la d´emonstration de l’´equivalence de ces deux
normes. Pour un espace norm´e de dimension fini ce r´esultat se g´en´eralise :
toutes les normes sont alors ´equivalentes.
1. ∀k∈ {1,··· ,},|akk |>X
j6=k|akj |
2. Apositive ⇔(x, Ax)≥0,∀x
3. Ad´efinie postive ⇔(x, Ax)>0,∀x
4. UU =U U =I
2

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4. Soit Uune matrice orthogonale, calculer ||U||Eet montrer que :
∀A∈Mn(R),||AU||E=||UA||E=||A||E
Exercice 4. Conditionnement d’un syst`eme lin´eaire
On veut r´esoudre dans Rnle syst`eme lin´eaire Ax =b, avec Ainversible. A
partir du moment ou l’on r´esout ce syst`eme sur machine ou que les donn´ees
de Aou bproviennent de mesures, il y a des erreurs commises sur Aet b
(erreurs de troncature, d’arrondis, ... issues de la repr´esentation des nombres
en machine et/ou erreurs dues `a la pr´ecision des mesures). Autrement dit on
r´esout en fait un syst`eme l´eg`erement perturb´e :
(A+δA)y=b+δb
Soit xla solution exacte de Ax =bet y=δx +x, le syst`eme pr´ec´edent
s’´ecrit :
(A+δA)(δx +x) = b+δb
Le but de l’exercice est d’´evaluer l’erreur relative commise sur la solution
||δx||
||x|| en fonction des donn´ees. Si cette erreur est importante pour de petites
perturbation le syst`eme est dit mal conditionn´e.
1. Etape 1 : on consid`ere le syst`eme perturb´e suivant :
A(δx +x) = (b+δb)
Evaluer ||δx||
||x|| en fonction de ||δb|| ||b||
2. Etape 2 : on consid`ere le syst`eme perturb´e suivant :
(A+δA)(δx +x) = b
V´erifier que ||δx||
||x+δx|| ≤ ||A||.||A−1||||δA|| ||A||
Remarque : le nombre ||A||.||A−1|| est not´e CondAet s’appelle condi-
tionnement de la matrice A. Bien sˆur il d´epend de la norme choisie.
Pour toute norme telle que ||I|| = 1 on a CondA≥1.
3. Cas g´en´eral : on consid`ere une norme matricielle telle que ||I|| = 1 et
on suppose que ||A−1||.||δA|| <1. Montrer que la solution du syst`eme
perturb´e complet :
(A+δA)(δx +x) = b+δb
v´erifie :
||δx||
||x|| ≤CondA 1− ||A−1||.||δA|| ||δb|| ||b|| +||δA|| ||A|| 
3

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On note Cond2(A) = ||A||2.||A−1||2le conditionnement associ´e `a la norme 2.
V´erifier que :
1. Cond2(A) = λmax
λmin pour toute matrice Asym´etrique r´eelle (λmax et λmin
repr´esentent respectivement la plus grande et la plus petite des valeurs
propre de A).
2. Cond2(U) = 1 pour toute matrice orthogonale U.
Exemple : on consid`ere le syst`eme Ax =bavec :
A=10 7
7−2, b =17 7
1. Etudier la r´eponse du syst`eme `a une perturbation du second membre
δb =0.5
0.5
2. Etudier la r´eponse du syst`eme `a une perturbation des coefficients du
syst`eme δA =0 0.5
−0.5 0 
3. Calculer Cond2(A)
4