Corrigé EML 2004 par Pierre Veuillez On note M3 (R) l’espace vectoriel réel des matrices carrées d’ordre trois à éléments réels, I la matrice identité de M3 (R) , 0 la matrice nulle de M3 (R). On considère, pour toute matrice A de M3 (R), les ensembles E1 (A) et E2 (A) suivants : E1 (A) = {M ∈ M3 (R) ; A M = M } E2 (A) = M ∈ M3 (R) ; A2 M = AM Partie I 1. on vérifie les critères : • E1 (A) ⊂ M3 (R) • Comme A 0 = 0 alors 0 ∈ M3 (R) • Si M et N sont deux matrices de E1 (A) et α et β deux réels alors αM + βN ∈ M3 (R) et A (αM + βN ) = αAM + βAN = αM + βN car M et N sont dans E1 (A) Donc αM + βN ∈ E1 (A) Donc E1 (A) est bien un sous-espace vectoriel de M3 (R) . On admet que E2 (A) est aussi un sous-espace vectoriel de M3 (R) 2. a) Pour montrer l’inclusion on montre que si M ∈ E1 (A) alors M ∈ E2 (A) : Si M ∈ E1 (A) alors AM = M donc A2 M = A (AM ) = AM et donc M ∈ E2 (A) (on avait aussi M ∈ M3 (R) ) b) Si A est inversible, pour monterr l’égalité des deux ensembles, on doit montrer l’inclusion réciproque et donc que : Si M ∈ E2 (A) alors A2 M = AM et A−1 A2 M = A−1 AM d’où AM = M Alors M ∈ E1 (A) Donc E2 (A) ⊂ E1 (A) et finalement E1 (A) = E2 (A) 3. a) Comme on a déjà 0 ∈ E1 (A) , si A − I est inversible il reste à montrer que si M ∈ E1 (A) alors AM = M d’où AM − M = 0 et (A − I) M = 0 et comme A − I est inversible alors M = 0 Donc E1 (A) = {0} si A − I est inversible. −1 1 0 b) Soit B = 0 −1 1 . 0 0 2 Comme B est diagonale à coefficients diagonaux nonnuls, B est inversible donc E1 (B) = E2 (B) −2 1 0 Comme B − I = 0 −2 1 est également inversible alors E1 (B) = {0} = E2 (B) 0 0 1 Partie II 3 −2 −1 0 −1 On considère la matrice C = 1 2 −2 0 Corrigé Me006-c Page 1/ ?? 1. On recherche les valeurs propres et les sous-espaces propres de C : soit α ∈ R et (x, y, z) ∈ R3 . (3 − α) x − 2y − z = 0 (3 − α) (αy + z) − 2y − z = 0 x − αy − z = 0 x = αy + z (C − αI) U = 0 ⇐⇒ ⇐⇒ 2x − 2y − αz = 0 2 (αy + z) − 2y − αz = 0 (−α2 + α) y = 0 (−α2 + 3α − 2) y + (2 − α) z = 0 L1 − L3 x = αy + z x = αy + z ⇐⇒ ⇐⇒ (1) (2α − 2) y + (2 − α) z = 0 (2α − 2) y + (2 − α) z = 0 Or −α2 + α = 0 a pour solutions α = 0 et α = 1 donc y=0 x=z • si α 6= 0 et α 6= 1 alors (1) ⇐⇒ (2) (2 − α) z = 0 y=0 x=0 – si de plus α 6= 2 alors (1) ⇐⇒ z=0 y=0 – si α = 2 alors (2) ⇐⇒ et donc 2 est valeur propre associé au sous espace propre x=z : Vect ((1, 0, 1)) x=z x=z • si α = 0 alors (1) ⇐⇒ ⇐⇒ et donc 0 est valeur propre associé au −2y + 2z = 0 y=z sous espace propre : Vect ((1, 1, 1)) x=z+y x=y • si α = 1 alors (1) ⇐⇒ ⇐⇒ et donc 1 est valeur propre associé au sous z=0 z=0 espace propre : Vect ((1, 1, 0)) 2. Comme on a trois valeurs propre distinctes, vecteur propre associés à chacune des valeurs 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 Donc avec D = et P = 0 0 2 1 0 on a une base de vecteurs propres en concaténant 3 propres. 1 0 on a C = P D P −1 . 1 (Les conditions d’ordre des terme de D et de premièer ligne de P étant bien respectées) 3. Soit M ∈ M3 (R) . On note N = P −1 M ∈ M3 (R) . On a alors : M ∈ E1 (C) ⇐⇒ CM = M ⇐⇒ CP N = P N ⇐⇒ P −1 CP = N ⇐⇒ DN = N ⇐⇒ N ∈ E1 (D) . x y z 4. Soit N ∈ M3 (R) , dont les coefficients sont : a b c alors u v w 0 0 0 x a 0 1 0 N ∈ E1 (D) ⇐⇒ 0 0 2 u 0=x 0 = y et ⇐⇒ 0=z Corrigé Me006-c y z x b c a = v w u a=a b = b et c=c y z b c v w 2u = u 2v = v 2w = w Page 2/ ?? 0 0 0 ⇐⇒ N = a b c 0 0 0 0 0 0 Donc N ∈ E1 (D) si et seulement s’il existe trois réels a, b, c tels que N = a b c . 0 0 0 5. Donc une matrice M est dans E1 (C) si et seulement s’il existe trois 0 0 0 a b a b c a b M =P = 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 =a 1 0 0 +b 0 1 0 +c 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 réels a, b, c tels que c c 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 Donc une famille génératrice de E1 (C) et libre (échelonnée) est 1 0 0 , 0 1 0 , 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 qui est donc une base de E1 (C) qui a finalement une dimension de 3. 6. Comme D donc C n’est pas inversible on ne peut pas utiliser les réutats de la quesiotn I2.a) Par contre on peut refaire le mêm e raisonnement que précédemment : M ∈ E2 (C) ⇐⇒ C 2 M = CM ⇐⇒ P D2 P −1 N = P DP −1 M ⇐⇒ D2 N = DN ⇐⇒ N ∈ E2 (D) Comme D est diagonale, on a son carré sur les coefficients diagonaux et Et avec les mêmes coefficients que précédemment 0 0 0 x y z 0 0 0 x y z N ∈ E2 (D) ⇐⇒ 0 1 0 a b c = 0 1 0 a b c 0 0 4 u v w 0 0 2 u v w 0=0 a=a 4u = 2u 0 = 0 et b = b et 4v = 2v ⇐⇒ 0=0 c=c 4w = 2w x y z ⇐⇒ N = a b c 0 0 0 Donc les deE2 (C) sontcellesqui s’écrivent matrices 1 1 1 x y z x+a y+b 1 1 0 a b c x+a y+b M = = 1 0 1 0 0 0 x y (échelonnée) de E2 (C) est : 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 , 0 1 0 , 0 0 1 , 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 z+c z + c et une famille génératrice et libre z 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 , 0 1 0 , 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 donc une base de E2 (C) La dimension de E2 (C) est donc 6. Donc comme E1 (C) et E2 (C) , n’ont pas la même dimension, ils ne peuvent pas être égaux. Corrigé Me006-c Page 3/ ??