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2. Th´eorie de la mesure
1Topologie (vocabulaire et rudiments)
2Alg`ebre et σ-alg`ebre (= tribu)
3Arithm´etique et topologie de [0,+∞]
4Mesure, mesure bor´elienne
5Mesure ext´erieure et recouvrement
6La m´ethode de Carath´eodory (pour produire des mesures bor´eliennes)
7Mesure de Lebesgue
8Mesure de Hausdorff

1. Topologie : vocabulaire et rudiments
Ωd´esigne un ensemble (quelconque).
D´efinition (topologie)
Une topologie Tsur Ωest un ensemble T ⊂ P(Ω) telle que :
(i) ∅∈T et Ω∈ T ;
(ii) Test stable par r´eunion quelconque :
(∀α∈I, Aα∈ T ) =⇒[
α∈I
Aα∈ T ;
(iii) Test stable par intersection finie :
(A∈ T et B∈ T ) =⇒A∩B∈ T
(Ω,T)s’appelle un espace topologique.

(un peu de) Vocabulaire topologique
Soit (Ω,T)un espace topologique.
D´efinitions (ouvert, ferm´e, voisinage)
Soit A⊂Ω. On dit que :
Aest ouvert si A∈ T ;
Aest ferm´e si Acd´ef = Ω \A∈ T ;
Aest (un) voisinage du point x∈Ωs’il existe U∈ T tel que
x∈U⊂A. On d´esigne par V(x)l’ensemble des voisinages de x.
Exercices :
1Aouvert ⇐⇒ (∀x∈A, A ∈ V(x)).
2Proposer une d´efinition pour “voisinage de A”, o`u Apartie quelconque
de X.
Exemples triviaux (= qui existent sur tout Ω) :
topologie grossi`ere : T={∅; Ω}
topologie discr`ete : T=P(Ω)

Autres exemples
Proposition
Une intersection (quelconque) de topologies sur Ωest encore une topologie
sur Ω.
D´efinitions (topologie engendr´ee par une partie de P(Ω))
La topologie engendr´ee par F ⊂ P(X)est l’intersection de toutes les
topologies sur Ωqui contiennent F.
(c’est donc la plus petite topologie pour laquelle les ´el´ements de Fsont
ouverts)
topologie induite sur A⊂Ω.
topologie de la norme, cas de , n,n
topologie produit

notion de continuit´e
Soient (Ω,T)et (Ω0,T0)des espaces topologiques.
D´efinitions
•f: Ω →Ω0est continue en x∈Ωsi l’image r´eciproque de tout voisinage
de f(x)(dans (Ω0,T0)) est un voisinage de x(dans (Ω,T)) :
V∈ V0(f(x)) =⇒f−1(V)∈ V(x)
•fest continue sur Ωsi fest continue en tout point x∈Ω.
• C0(Ω; Ω0)d´esigne l’ensemble des applications f: Ω →Ω0continues sur Ω.
Soit A⊂Ω.f:A→Ω0est continue si elle est continue lorsque Aest muni
de la topologie induite TA=A∩ T .