PDF_MT12_ChapI2a Fichier - UTC

2. Théorie de la mesure
1
Topologie (vocabulaire et rudiments)
2
Algèbre et σ-algèbre (= tribu)
3
Arithmétique et topologie de [0, +∞]
4
Mesure, mesure borélienne
5
Mesure extérieure et recouvrement
6
La méthode de Carathéodory (pour produire des mesures boréliennes)
7
Mesure de Lebesgue
8
Mesure de Hausdorff
1. Topologie : vocabulaire et rudiments
Ω désigne un ensemble (quelconque).
Définition (topologie)
Une topologie T sur Ω est un ensemble T ⊂ P(Ω) telle que :
(i) ∅ ∈ T et Ω ∈ T ;
(ii) T est stable par réunion quelconque :
(∀α ∈ I,
Aα ∈ T ) =⇒
[
Aα ∈ T ;
α∈I
(iii) T est stable par intersection finie :
(A ∈ T et B ∈ T ) =⇒ A ∩ B ∈ T
(Ω, T ) s’appelle un espace topologique.
(un peu de) Vocabulaire topologique
Soit (Ω, T ) un espace topologique.
Définitions (ouvert, fermé, voisinage)
Soit A ⊂ Ω. On dit que :
A est ouvert si A ∈ T ;
déf
A est fermé si Ac = Ω \ A ∈ T ;
A est (un) voisinage du point x ∈ Ω s’il existe U ∈ T tel que
x ∈ U ⊂ A. On désigne par V(x) l’ensemble des voisinages de x.
Exercices :
1 A ouvert ⇐⇒ (∀x ∈ A, A ∈ V(x)).
2 Proposer une définition pour “voisinage de A”, où A partie quelconque
de X.
Exemples triviaux (= qui existent sur tout Ω) :
topologie grossière : T = {∅; Ω}
topologie discrète : T = P(Ω)
Autres exemples
Proposition
Une intersection (quelconque) de topologies sur Ω est encore une topologie
sur Ω.
Définitions (topologie engendrée par une partie de P(Ω))
La topologie engendrée par F ⊂ P(X) est l’intersection de toutes les
topologies sur Ω qui contiennent F.
(c’est donc la plus petite topologie pour laquelle les éléments de F sont
ouverts)
topologie induite sur A ⊂ Ω.
topologie de la norme, cas de
topologie produit
R, Rn, Cn
notion de continuité
Soient (Ω, T ) et (Ω0 , T 0 ) des espaces topologiques.
Définitions
• f : Ω → Ω0 est continue en x ∈ Ω si l’image réciproque de tout voisinage
de f (x) (dans (Ω0 , T 0 )) est un voisinage de x (dans (Ω, T )) :
V ∈ V 0 (f (x)) =⇒ f −1 (V ) ∈ V(x)
• f est continue sur Ω si f est continue en tout point x ∈ Ω.
• C 0 (Ω; Ω0 ) désigne l’ensemble des applications f : Ω → Ω0 continues sur Ω.
Soit A ⊂ Ω. f : A → Ω0 est continue si elle est continue lorsque A est muni
de la topologie induite TA = A ∩ T .
Comment choisir une topologie qui rende continues
certaines applications
Théorème
f : Ω → Ω0 continue sur Ω ⇐⇒ f −1 (T 0 ) ⊂ T .
parfois pris comme définition !
Soient (Ω, T ) et (Ω0 , T 0 ) des espaces topologiques et fi : Ω → Ω0 , i ∈ I, des
applications.
T (fi , i ∈ I) plus petite topologie sur Ω qui rendent les fi continues : c’est
la topologie engendrée par les fi−1 (T 0 ).
2. Algèbre et σ-algèbre (=tribu)
Ω désigne un ensemble (quelconque).
Définition (algèbre)
Un ensemble A de parties de Ω, i.e. A ⊂ P(Ω) est une algèbre si :
(i) ∅ ∈ A ;
(ii) A est stable par complémentaire :
déf
A ∈ A =⇒ Ac = X \ A ∈ A;
(iii) A est stable par réunion :
(∀A, B ∈ A)
A ∪ B ∈ A.
Une algèbre est donc aussi stable par intersection.
Définition (σ-algèbre ou tribu)
Une σ-algèbre (ou tribu) sur Ω est une algèbre A ⊂ P(Ω) qui est stable par
réunion dénombrable :
[
((∀k ∈ )
Ak ∈ A) =⇒
Ak ∈ A.
N
k∈
N
(Ω, A) s’appelle un espace mesurable. Les éléments de A s’appellent les
(sous-) ensembles mesurables de Ω.
Exemples
Exemples triviaux (= qui existent sur tout Ω) :
tribu grossière : A = {∅; Ω}
tribu discrète : A = P(Ω)
Proposition
Une intersection (quelconque) de tribus sur Ω est encore une tribu sur Ω.
Définitions (tribu engendrée par une partie de P(Ω))
La tribu σ(F) engendrée par F ⊂ P(Ω) est l’intersection de toutes les tribus
sur Ω qui contiennent F.
(c’est donc la plus petite tribu pour laquelle les éléments de F sont
mesurables)
Exemple : tribu de Borel, ou tribu borélienne B = σ(T ) sur un espace
topologique (Ω, T )
3. Arithmétique et topologie usuelle de [0, +∞]
∀x ∈ [0, +∞],
déf
déf
x + (+∞) = (+∞) + x = +∞
déf
déf +∞ si
x · (+∞) = (+∞) · x = 0
si
x 6= 0
x=0
voisinages de l’infini
déf
V ∈ V(+∞) ⇐⇒ ∃a ∈
R
: ]a, +∞] ⊂ V
4. Mesure, mesure borélienne
Soit (Ω, A) un espace mesurable.
Définition (mesure)
Une mesure sur (Ω, A) est une application
µ : A −→ [0, +∞]
A 7−→ µ(A)
telle que :
(i) µ(∅) = 0
(ii) σ-additivité :
N
(∀k ∈ )
Ak ∈ A
k 6= k 0 =⇒ Ak ∩ Ak0 = ∅
(Ω, A, µ) s’appelle un espace mesuré.
!
=⇒ µ
[
k∈
N
Ak
=
X
k∈
N
µ(Ak ).
mesure borélienne
R
Soit (Ω, T ) un espace topologique, par exemple d muni de la topologie
usuelle (= celle de la norme euclidienne).
On demandera à une “bonne” mesure sur Ω d’être capable de mesurer les
ouverts.
Définition (mesure borélienne sur un espace topologique (Ω, T ))
Une mesure borélienne sur Ω est une mesure définie sur une tribu A ⊂ P(Ω)
qui contient la tribu borélienne B(Ω).
Si µ est une mesure borélienne sur Ω, on a un espace mesuré (Ω, A, µ) tel
que B(Ω) ⊂ A.
Exemples de mesures
mesure(s) de comptage
mesure(s) de Dirac
(mesures de) probabilité
mesure de Lebesgue sur
Rd (d entier ≥ 1)
mesure(s) de Hausdorff
On verra que les mesures de Lebesgue et de Hausdorff sur
mesures boréliennes.
Rd sont des
Propriétés importantes des mesures
(Ω, A, µ) désigne un espace mesuré.
Propriétés
(i) croissance
(∀A, B ∈ A)
A ⊂ B =⇒ µ(A) ≤ µ(B)
(ii) continuité : pour toute suite croissante A0 ⊂ A1 ⊂ · · · d’éléments de A,
on a
!
[
An = lim µ(An ).
µ
n∈
(Voir TD)
N
n→+∞