DS TEE - Case des Maths

D EVOIR
SURVEILLÉ N ◦
TEE
XIV :
Mai 2014
Probabilités
Exercice 1
Une entreprise fabrique en grande quantité des médailles circulaires en argent. Un contrôle de qualité consiste à vérifier que le diamètre
et l’épaisseur (exprimés en millimètres) sont conformes afin de les ranger dans un étui spécifique.
Dans cet exercice, les valeurs approchées seront arrondies à 10−3 près.
PARTIE A
On suppose dans cette partie que la probabilité pour qu’une pièce prélevée au hasard soit conforme est égale à 0,9.
Soit X la variable aléatoire, qui à tout échantillon de 10 pièces associe le nombre de pièces conformes.
1. Justifier que la variable aléatoire X suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres.
La variable aléatoire X suit une loi binomiale de paramètres 10 et 0,9.
2. Calculer l’espérance mathématique E(X) et l’écart type σ(X) de la variable aléatoire X.
L’espérance mathématique de la variable aléatoire X qui suit la loi binomiale B(100,9) est E(X) = np = 10 × 0,9 = 9.
p
√
√
L’écart type de la variable aléatoire X qui suit la loi binomiale B(100,9) est σ(X) = npq = 10 × 0,9 × (1 − 0,9) = 0,9 ≈ 0,95
3. Calculer la probabilité que dans un échantillon de 10 pièces, au moins 8 pièces soient conformes.
10
9
1
10
8
2
P(X ≥ 8) = P(X = 8) + P(X = 9) + P(X = 10) = 10
8 × 0,9 × 0,1 + 9 × 0,9 × 0,1 + 0,9 ≈ 0,9298
remarque : Selon le modèle de calculatrice utilisée, on peut obtenir ce résultat avec P(X ≥ 8) = 1 − P(X ≤ 7) ≈ 0,9298 ou PX ≥ 8 = P(8 ≤
X ≤ 10) ≈ 0,9298
Par exemple sous TI P(X = 8) = binomFdP(10,0.9,8) ≈ 0,1937
P(X ≤ 7) = binomFdP(10,0.9,87) ≈ 0,0701
Arrondie à 10−3 près, la probabilité que dans un échantillon de 10 pièces, au moins 8 pièces soient conformes est 0,93.
PARTIE B
Les pièces sont fabriquées par une machine automatique. Soit M la variable aléatoire qui à chaque pièce prélevée au hasard associe son
diamètre.
On suppose que M suit la loi normale d’espérance 80 et d’écart type 0,6.
1. Déterminer la probabilité P (79 6 M 6 81).
P (79 6 M 6 81) ≈ 0,904
NormalFRep(79,81,80,0.6)
la probabilité que le diamètre d’une pièce prélevée au hasard soit compris entre 79 et 81 est environ 0,904.
2. Quelle est la probabilité que le diamètre d’une pièce prélevée au hasard soit supérieur à 80 ?
M suit la loi normale d’espérance 80 donc :
la probabilité que le diamètre d’une pièce prélevée au hasard soit supérieur à 80 est égale 0,5.
PARTIE C
On s’intéresse dans cette partie à l’épaisseur des médailles.
On fait l’hypothèse que le réglage de la machine est tel que 5 % des médailles fabriquées ont une épaisseur non conforme.
1. Déterminer l’intervalle de fluctuation asymptotique à 95 % de la fréquence des médailles non conformes obtenues dans un échantillon
de 300 médailles.
Théorème
Si la variable aléatoire Xn r
suit la loi B(n,p) et r
si n ≥ 30,np ≥ 5, et n(1 − p) ≥ 5


p(1 − p)
p(1 − p) 
Xn

; p + 1,96
alors l’intervalle p − 1,96
 un intervalle de fluctuation « approché » de la variable fréquence
n
n
n
au seuil de 0,95.
L’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil 0,95 de la fréquence des médailles non conformes obtenues dans un échantillon de
r
r
r
r



p(1 − p)
p(1 − p) 
0,05(1 − 0,05)
0,05(1 − 0,05)
300 médailles est : I = p − 1,96
; p + 1,96
,0,05 + 1,96
]
 = [0,05 − 1,96
n
n
300
300
Soit en arrondissant à 10−3 près les bornes de l’intervalle, l’intervalle de fluctuation asymptotique à 95 % de la fréquence des médailles
non conformes obtenues dans un échantillon de 300 médailles est I = [0,025; 0,075]
DS TEE
TEE
2. On prélève un échantillon de 300 médailles.
On constate que dans cet échantillon, 24 médailles ont une épaisseur non conforme.
Doit-on réviser le réglage de la machine ?
n = 300,n × p = 300 × 0,05 = 15 et n(1 − p) = 300 × 0,95 = 285. Les conditions d’utilisation d’un intervalle de fluctuation asymptotique
sont réunies.
24
La fréquence f de médailles qui ont une épaisseur non conforme est :f =
= 0,8
300
0,8 < [0,0250,075], au seuil de confiance de 95 % on prend la décision de réviser le réglage de la machine.
Lycée l’Oiselet
2/