Terminale ES Intervalle de fluctuation -Estimation Intervalle de fluctuation

Terminale ES
Intervalle de fluctuation -Estimation
Intervalle de fluctuation
On considère une expérience aléatoire et un univers associé Ω muni d’une probabilité.
I Intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95%
Définition
Xn est une variable aléatoire qui suit la loi binomiale B(n;p) avec 0 < p < 1.

p(1 – p)
p(1 – p)
; p + 1,96×
 est appelé un intervalle de fluctuation
n
n 

Xn
asymptotique au seuil de 95% de la variable aléatoire fréquence Fn =
n
L’intervalle In = p – 1,96×
Remarques :
• Fn prend ses valeurs dans In avec une probabilité qui tend vers 95% lorsque n tend vers + ∞.
• On utilise cet intervalle dès que les conditions n ≥ 30, np ≥ 5 et n(1 – p) ≥ 5 sont remplies.
• Le nombre 1,96 est celui qui vérifie P(-1,96 ≤ Z ≤ 1,96) = 0,95 lorsque Z suit N(0;1).
Exemple :
Si X suit la loi binomiale B(100;0,3), alors l’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95% de la
fréquence est :

0,3×0,7
0,3×0,7
; 0,3 + 1,96×
0,3 - 1,96×
 ≈ [0,210 ; 0,390].
100
100 

Estimation
II De quoi s’agit-il ?
Pour des raisons de coût ou de faisabilité, on ne peut pas étudier toute la population.
On sélectionne alors un échantillon de taille n de cette population.
On calcule la fréquence f des individus ayant une certaine propriété.
Et on estime alors la proportion p d’individus ayant cette propriété dans la population complète à l’aide
d’un intervalle de confiance déterminé à partir de f selon un niveau de confiance 1 - α.
III Intervalle de confiance
Xn
Xn est une variable aléatoire qui suit la loi binomiale B(n;p) et Fn = .
n
1
1 

; Fn +
 contient pour n assez grand, la proportion p avec
On admet que l’intervalle aléatoire Fn –
n
n

une probabilité supérieure ou égale à 0,95.
A partir de cet intervalle aléatoire, on obtient, en calculant la fréquence f dans un échantillon de taille
n, une réalisation de cet intervalle.
Définition

1 
;f+
 est appelé un intervalle de confiance de la proportion inconnue p avec un
n
n

niveau de confiance 0,95.
L’intervalle f –
1
Exemple :
Une enseigne souhaite estimer la proportion p de clients satisfaits de ses services au niveau de
confiance de 0,95.
Elle interroge pour cela un échantillon aléatoire de 780 clients.
85% des clients de cet échantillon se déclarent satisfaits.
1
1 

; 0,85 +
0,85 –
 ≈ [0,814 ; 0,886].
780
780

On peut affirmer qu’avec un niveau de confiance de 0,95, entre 81% et 89% de ses clients sont
satisfaits.
1