Terminale ES Intervalle de fluctuation -Estimation Intervalle de fluctuation On considère une expérience aléatoire et un univers associé Ω muni d’une probabilité. I Intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95% Définition Xn est une variable aléatoire qui suit la loi binomiale B(n;p) avec 0 < p < 1. p(1 – p) p(1 – p) ; p + 1,96× est appelé un intervalle de fluctuation n n Xn asymptotique au seuil de 95% de la variable aléatoire fréquence Fn = n L’intervalle In = p – 1,96× Remarques : • Fn prend ses valeurs dans In avec une probabilité qui tend vers 95% lorsque n tend vers + ∞. • On utilise cet intervalle dès que les conditions n ≥ 30, np ≥ 5 et n(1 – p) ≥ 5 sont remplies. • Le nombre 1,96 est celui qui vérifie P(-1,96 ≤ Z ≤ 1,96) = 0,95 lorsque Z suit N(0;1). Exemple : Si X suit la loi binomiale B(100;0,3), alors l’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95% de la fréquence est : 0,3×0,7 0,3×0,7 ; 0,3 + 1,96× 0,3 - 1,96× ≈ [0,210 ; 0,390]. 100 100 Estimation II De quoi s’agit-il ? Pour des raisons de coût ou de faisabilité, on ne peut pas étudier toute la population. On sélectionne alors un échantillon de taille n de cette population. On calcule la fréquence f des individus ayant une certaine propriété. Et on estime alors la proportion p d’individus ayant cette propriété dans la population complète à l’aide d’un intervalle de confiance déterminé à partir de f selon un niveau de confiance 1 - α. III Intervalle de confiance Xn Xn est une variable aléatoire qui suit la loi binomiale B(n;p) et Fn = . n 1 1 ; Fn + contient pour n assez grand, la proportion p avec On admet que l’intervalle aléatoire Fn – n n une probabilité supérieure ou égale à 0,95. A partir de cet intervalle aléatoire, on obtient, en calculant la fréquence f dans un échantillon de taille n, une réalisation de cet intervalle. Définition 1 ;f+ est appelé un intervalle de confiance de la proportion inconnue p avec un n n niveau de confiance 0,95. L’intervalle f – 1 Exemple : Une enseigne souhaite estimer la proportion p de clients satisfaits de ses services au niveau de confiance de 0,95. Elle interroge pour cela un échantillon aléatoire de 780 clients. 85% des clients de cet échantillon se déclarent satisfaits. 1 1 ; 0,85 + 0,85 – ≈ [0,814 ; 0,886]. 780 780 On peut affirmer qu’avec un niveau de confiance de 0,95, entre 81% et 89% de ses clients sont satisfaits. 1