Terminale ES Intervalle de fluctuation -Estimation Intervalle de fluctuation

Terminale ES Intervalle de fluctuation -Estimation
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Intervalle de fluctuation
On considère une expérience aléatoire et un univers associé Ω muni d’une probabilité.
I Intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95%
Définition
X
n
est une variable aléatoire qui suit la loi binomiale B(n;p) avec 0 < p < 1.
L’intervalle I
n
=
p – 1,96×p(1 – p)
n; p + 1,96×p(1 – p) n est appelé un intervalle de fluctuation
asymptotique au seuil de 95% de la variable aléatoire fréquence F
n
= X
n
n
Remarques :
• F
n
prend ses valeurs dans I
n
avec une probabilité qui tend vers 95% lorsque n tend vers + ∞.
• On utilise cet intervalle dès que les conditions n ≥ 30, np ≥ 5 et n(1 – p) ≥ 5 sont remplies.
• Le nombre 1,96 est celui qui vérifie P(-1,96 ≤ Z ≤ 1,96) = 0,95 lorsque Z suit N(0;1).
Exemple :
Si X suit la loi binomiale B(100;0,3), alors l’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95% de la
fréquence est :
0,3 - 1,96×0,3×0,7
100 ; 0,3 + 1,96×0,3×0,7 100 ≈ [0,210 ; 0,390].
Estimation
II De quoi s’agit-il ?
Pour des raisons de coût ou de faisabilité, on ne peut pas étudier toute la population.
On sélectionne alors un échantillon de taille n de cette population.
On calcule la fréquence f des individus ayant une certaine propriété.
Et on estime alors la proportion p d’individus ayant cette propriété dans la population complète à l’aide
d’un intervalle de confiance déterminé à partir de f selon un niveau de confiance 1 - α.
III Intervalle de confiance
X
n
est une variable aléatoire qui suit la loi binomiale B(n;p) et F
n
=X
n
n.
On admet que l’intervalle aléatoire
F
n
– 1
n; F
n
+ 1
n contient pour n assez grand, la proportion p avec
une probabilité supérieure ou égale à 0,95.
A partir de cet intervalle aléatoire, on obtient, en calculant la fréquence f dans un échantillon de taille
n, une réalisation de cet intervalle.
Définition
L’intervalle
f – 1
n; f + 1 n est appelé un intervalle de confiance de la proportion inconnue p avec un
niveau de confiance 0,95.
Exemple :
Une enseigne souhaite estimer la proportion p de clients satisfaits de ses services au niveau de
confiance de 0,95.
Elle interroge pour cela un échantillon aléatoire de 780 clients.
85% des clients de cet échantillon se déclarent satisfaits.
0,85 – 1
780; 0,85 + 1 780 ≈ [0,814 ; 0,886].
On peut affirmer qu’avec un niveau de confiance de 0,95, entre 81% et 89% de ses clients sont
satisfaits.