Observation du théorème de Moivre-Laplace • Planche de galton Applications de l’étude des fluctuations d’échantillonnage dans les nouveaux programmes de première Animation nouveau programme de première Mai 2011 – Partie 1 – Étude de la fluctuation d’échantillonnage Un minimum de « théorie » p n tirages avec remise. X nombre de boules rouges X suit la loi binomiale de moyenne E(X) = np et d’écart type n p(1 p) F 1 X correspondant à la fréquence des n boules rouges a pour moyenne E(F) 1 E(X) p n et pour écart type p(1 p) 1 1 (F) (X) np(1 p) n n n Pour n « assez grand » la loi binomiale est proche d’une loi normale et F suit approximativement la loi normale de moyenne p et d’écart type p(1 p) n Pour une loi normale, environ 95 % des observations se font dans un intervalle de rayon 2 écarts types autour de la moyenne. Intervalle de fluctuation de 95 % des observations : p(1 p) n [p–2 p(1 p) n ; p+2 ] On peut majorer cet intervalle : p(1 p) 1 4 d’où 2 p(1 p) 1 n n Intervalle de fluctuation de plus de 95 % des observations du programme de 2nde [ p– 1 n ; p + 1 n ] Observations par simulation Échantillon n° 1 : f 1 = 0,61 ... 0,80 0,75 0,70 0,65 0,60 0,55 0,50 0,45 0,40 0 Population : p = 0,6 Roue 1 Échantillon n° 50 : f50 = 0,51 Roue 2 Roue 3 10 20 30 40 50 Fréquences f1, f2, ..., f50 obtenues sur les 50 échantillons 0 5 10 15 20 Distribution d’échantillonnage 1 0,99 0,98 0,97 0,96 0,95 0,94 0 200 400 Roue 1 600 Roue 2 800 1000 Roue 3 Observation_theorie_Echantillonnage.xls Quels obstacles, quelles questions ? · Bien distinguer population et échantillon(s). · Définition de « échantillon ». · Intérêt de certaines « images mentales » comme l’urne (de Bernoulli) ou la roulette. · Nécessité d’expérimenter, physiquement et par simulation. · La définition de l’intervalle de fluctuation s’énonce en termes de probabilité. · La formule de l’intervalle de fluctuation au seuil de 95 % n’est pas à faire apprendre aux élèves de seconde. – Partie 2 – La prise de décision Un minimum de « théorie » p = p0 ? échantillon f connu On fait l’hypothèse que la proportion de boules rouges dans l’urne est p = p0 . Si l’hypothèse est vraie, on sait que la probabilité qu’un échantillon aléatoire de taille n fournisse une fréquence dans l’intervalle (de fluctuation) [ p0 – 1 , p0 + 1 ] n n est environ (ou supérieure à) 0,95. On prélève un échantillon aléatoire de taille n dans l’urne sur lequel on observe une fréquence f de boules rouges. En 2nde, on suit la règle de décision suivante : – Si f appartient à [ p0 – 1 , p0 + 1 ], n n on accepte l’hypothèse p = p0 au seuil de 5 %. – Si f n’appartient pas à [ p0 – 1 , p0 + 1 ], n n on rejette l’hypothèse p = p0 au seuil de 5 %. •Les nouveaux programme de 1ère permettent de définir plus formellement l’intervalle de fluctuation: L’intervalle de fluctuation à 95 % d’une fréquence correspondant à la réalisation, sur un échantillon aléatoire de taille n, d’une variable aléatoire X de loi a b binomiale, est l’intervalle ; où n n • a est le plus petit entier tel que P(X a) > 0,025 ; • b est le plus petit entier tel que P(X b) 0,975. Cette définition permet donc de réinvestir: •le cours de probabilités •l’algorithmique pour trouver les bornes de l’intervalle de fluctuation. …pour résoudre des problèmes ! •Fin des apports théoriques…en attendant les questions.