énoncé

ECE 2 - Mathématiques
DS no 2
Quentin Dunstetter - ENC-Bessières 2016\2017
DS no 2
Exercice 1
Partie I. Étude d'une fonction
f.
On considère la fonction dénie sur l'ensemble des réels positifs par :


1 − e−x
 f (0) = 1 x
f (x) =
1. Ecrire le développement limité de
sur
f (x)
si
x>0
l'ordre 1, au voisinage de
2. Montrer que
f
est dérivable en
3. Justier la dérivabilité de
f
0
et donner la valeur de
sur l'intervalle
]0, +∞[
En déduire que
f
est continue
4. Étudier les variations de
en
ϕ.
f 0 (0).
puis déterminer la fonction
∀x > 0 f 0 (x) =
f
0.
[0, +∞[ .
ϕ
telle que :
ϕ (x)
x2
En déduire le tableau de variation
f
qui sera complété par la limite de
+∞.
Partie II. Étude d'une suite.
On introduit la suite
(un )n∈N∗
dénie par :
Z
∀n ∈ N∗
n
un =
0
n
1. Démontrer que pour tout entier naturel
u
e− n
du
1+u
non nul :
un >
1
ln (n + 1)
e
(un )n∈N∗ .
R1
l'intégrale
f (x) dx'.
0
Donner la limite de la suite
2. Prouver l'existence de
3. Utiliser un changement de variable ane pour montrer que, pour tout entier naturel
Z
06
0
4. Donner alors un équivalent simple de
n
1
du − un 6
1+u
un
lorsque
n
Z
n
non nul :
1
f (x) dx
0
tend vers
+∞.
1
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Exercice 2
M3 (R) l'espace vectoriel réel des matrices
M3 (R) , 0 la matrice nulle de M3 (R).
On note
carrées d'ordre trois à éléments réels,
I
la matrice
identité de
On considère, pour toute matrice
A
de
M3 (R),
E1 (A)
=
E2 (A)
=
les ensembles
E1 (A)
et
E2 (A)
suivants :
{M ∈ M3 (R) ; A M = M }
M ∈ M3 (R) ; A2 M = AM
Partie I
1. Montrer que
E1 (A)
On admettra que
2.
(a) Établir :
est un sous-espace vectoriel de
E2 (A)
est aussi un sous-espace vectoriel de
M3 (R)
E1 (A) ⊂ E2 (A)
(b) Montrer que, si
3.
M3 (R)
(a) Établir que, si
A
est inversible, alors
A−I
E1 (A) = {0}

est inversible, alors

(b) Un exemple : Soit
E1 (A) = E2 (A)
−1
0
0
B=
1 0
−1 1  .
0 2
Déterminer
E1 (B)
et
E2 (B)
Partie II

On considère la matrice
3
C= 1
2
λ
1. Déterminer les valeurs de
2. Pour chaque valeur de
λ

−2 −1
0 −1 
−2
0
(C − λI)
réelles telles que
Ker(C − λI).
trouvée, déterminer
3. Déterminer une matrice diagonale
D
n'est pas inversible.
On en donnera une base et sa dimension.
dont la diagonale est constituée des solutions de la question 1,
dans l'ordre croissant.
4. Déterminer une matrice
•
chaque colonne de
la valeur de
•
On
P
telle que :
est constituée d'une base de la solution de la question 2 correspondant à
écrite dans
D, dans la même colonne.
Les éléments de la première ligne de
admet
5. Soit
λ
P
alors que
M ∈ M3 (R).
P
sont tous égaux à 1.
C = P DP −1 .
On note
N = P −1 M.
M ∈ E1 (C) ⇐⇒ N ∈ E1 (D).
Montrer :

6. Montrer que
N ∈ E1 (D)
si et seulement s'il existe trois réels
7. En déduire l'expression générale des matrices de
E1 (C)
a, b, c
tels que

0 0 0
N =  a b c .
0 0 0
et déterminer une base et la dimension de
E1 (C).
8. Donner l'expression générale des matrices de
E2 (C)
et déterminer une base et la dimension de
E2 (C).
Est-ce que
E1 (C) = E2 (C) ?
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Exercice 3
Sous diverses hypothèses, l'exercice étudie diérentes situations probabilistes concernant une entreprise de
construction produisant des objets sur deux chaînes de montage
A et B
qui fonctionnent indépendemment
l'une de l'autre.
Pour une chaîne donnée, les fabrications des pièces sont indépendantes.
Partie 1.
On suppose que
A
produit
construit par la chaine
B
chaine
A
60%
soit défectueux est
B
des objets et
soit défectueux est
0.1
produit
40%
des objets. La probabilité qu'un objet
alors que la probabilité pour qu'un objet construit par la
0.2.
1. On choisit au hasard un objet à la sortie de l'entreprise. On constate que cet objet est défectueux.
Calculer la probabilité de l'évènement l'objet provient de la chaîne A .
2. On suppose de plus que le nombre d'objets produits en une heure par
Y
On considère la variable aléatoire
chaîne
A
X
A
est une variable aléatoire
λ = 20.
qui suit une loi de Poisson de paramètre
représentant le nombre d'objets défectueux produits par la
en une heure.
(a) Rappeler la loi de
(b) Soient
k
et
n
Y
ainsi que la valeur de l'espérance et de la variance de
Y.
deux entiers naturels, déterminer la probabilité conditionnelle
(On distinguera les cas
k6n
et
k>n
P [X = k/Y = n].
).
(c) En déduire, en utilisant le système complet d'évènements
(Y = i)i∈N ,
que
X
suit une loi de
Poisson de paramètre 2.
(d) Compléter la procédure suivante pour qu'elle réalise 2000 simulations des variables
Y
puis
X
:
Y=grand(---,---,'poi',---)
X=zeros(1,2000)
for i=1:2000 do
X(i)=grand(1,1,'---',---,---)
end
Partie 2.
Soit
f
la fonction dénie sur
R
par :

2
 f (t) =
3
(1 + t)

f (t) = 0
1. Montrer que
f
si
t>0
si
t<0
est une densité d'une variable aléatoire
2. Déterminer la fonction de répartition
FZ
de
Z.
Z.
3. Justier la convergence de l'intégrale :
+∞
Z
0
2t
La calculer en eectuant le changement de variable
4. Prouver que
5. (CUBE)
Z
Z
3 dt
(1 + t)
u = t + 1.
admet une espérance et la déterminer.
admet-elle une variance ?
6. Dans cette partie, on suppose que le temps de fabrication, exprimé en minutes d'un pièce par la
chaîne
A
(respectivement
B)
est une variable aléatoire
Z1
( respectivement
deux variables aléatoires indépendantes suivant la même loi que que
Z2 )
où
Z1
etZ2 sont
Z.
(a) On considère les évènements :
C = le temps de fabrication d'une pièce sur la chaîne B est supérieur à 2 minutes.
D = le temps de fabrication d'une pièce sur la chaîne B est inférieur à 3 minutes.
Calculer les probabilités suivante : P (C) , P (D) , P (D/C) .
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(b) On note
T = max(Z1 , Z2 )
i. Exprimer l'évènement
et
GT
T.
la fonction de répartition de
(T 6 x)
en fonction des évènements
ii. Montrer que :
(Z1 6 x)
et
(Z2 6 x).
2
∀x ∈ R, GT (x) = [FZ (x)]
(c) En déduire que
T
est une variable aléatoire à densité dont on donnera une densité.
Partie 3.
On suppose maintenant que pour qu'une pièce soit terminée, il faut qu'elle passe par la chaîne
la chaîne
A
puis par
B.
Le temps de passage exprimé en minutes pour un objet sur la chaîne
A
est une variable aléatoire
M
suivant une loi exponentielle de paramètre 2.
Le temps de passage exprimé en minutes pour un objet sur la chaîne
[0, 1].
N sont
B
est une variable aléatoire
N
suivant
une loi uniforme sur
Les variables
M
et
indépendantes.
1. Rappeler l'expression d'une densité de probabilité
2. On note
S
Exprimer
v
de
M
et d'une densité
w
de
N.
la variable aléatoire représentant le temps total de fabrication d'une pièce.
S
en fonction de
M
et de
N
et déterminer le temps moyen de fabrication d'une pièce.
3. Ecrire une procédure scilab réalisant 500 simulations des variables aléatoires
M, N
et
S.
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