Puissances d`un nombre relatif

CHAPITRE
Puissances d’un
nombre relatif
Énigme du chapitre.
Compléter la grille de nombres croisés cidessous :
Horizontalement
I : Puissance de 6
II : Puissance de 4
III : Puissance de 3
IV : Puissance de 2
Verticalement
a : Multiple de 2
b : Multiple de 3
c : Multiple de 4
d : Multiple de 6
1
Objectifs du chapitre.
— Utiliser sur des exemples les égalités :
— amm × an = am+n
— aan = am−n
— (am )n = amn
— (ab)n = an bn
n
— ( ba )n = ban
où a et b sont des nombres non nuls et
m et n des entiers relatifs.
I/ Puissances et propriétés
1) Définition
Activité A. Puissances
Travail collectif sous forme de brainstorming de révisions sur les puissances.
Définition
Soient a un nombre relatif et n un nombre positif.
— Pour n ≥ 2,
an = a × |a × .{z
. . × a}
n facteurs
— Pour a 6= 0,
a
−n
n
1
1
= n =
a
a
.
Exemples
— 35 = 3 × 3 × 3 × 3 × 3
— 2,74 = 2,7 × 2,7× 2,7
2 × 2,7
1
1
−2
— 1,4 = (1,4)2 = 1,4
Remarques
Par convention, si a est un nombre relatif, on a :
— a1 = a
— a0 = 1 pour a 6= 0
— a−1 = 1a pour a 6= 0.
Faire les exercices 1 2 3 F
2) Propriétés
a) Puissance d’un même nombre
Activité B. Produit de puissances d’un même nombre
Soit a un nombre relatif non nul.
1. Écrire sous la forme d’une puissance de a les produits suivants en utilisant la définition de
la puissance d’un nombre et en détaillant les étapes de calculs.
(a) a3 × a2
(b) a−4 × a3
(c) a−3 × a−1
2. n et p désignent deux nombres entiers relatifs différents de 0 et de 1. Comment peut-on
écrire le produit an × ap sous la forme d’une puissance de a ?
3. Utiliser cette conjecture pour écrire a1977 × a−436 sous la forme d’une puissance de a.
Propriété
Soit a un nombre non nul et soient n et p deux entiers relatifs.
an × ap = an+p .
Exemple
3−12 × 35 = 3−12+5 = 3−7 .
Faire l’exercice 4
Activité C. Division de puissances d’un même nombre
Soit a un nombre relatif non nul.
1. Écrire sous la forme d’une puissance de a les quotients suivants en utilisant la définition
de la puissance d’un nombre et en détaillant les étapes de calculs.
(a)
a12
a5
(b)
a−5
a3
(c)
a2
a−3
2. n et p désignent deux nombres relatifs différents de 0 et de 1. Comment peut-on écrire le
n
quotient aap sous la forme d’une puissance de a ?
3. Utiliser cette conjecture pour écrire
a2011
a1900
sous la forme d’une puissance de a.
Propriété
Soit a un nombre non nul et soient n et p deux entiers relatifs.
an
= an−p .
ap
Exemple
2,15
= 2,15−(−2) = 2,18 .
2,1−2
Faire l’exercice 5
Activité D. Puissance d’une puissance
Soit a un nombre relatif non nul.
1. Recopier et compléter les pointillés en utilisant la définition de la puissance d’un nombre :
— (a2 )3 = . . . × . . . × . . . = a...
1
1
1
1
— (a−3 )2 = . . . × . . . = ... × ... = ...
= ... = a... .
...
a
a
a ×a
a
1
— (a−3 )−1 = ... = a... .
a
2. n et p désignent deux nombres entiers relatifs différents de 0.
Comment peut-on écrire (an )p sous la forme d’une puissance de a ?
3. Utiliser cette conjecture pour écrire (a15 )−40 .
Propriété
Soit a un nombre non nul et soient n et p deux entiers relatifs.
(an )p = an×p .
Exemple
(5,7−2 )3 = 5,7−2×3 = 5,7−6 .
Remarque
La somme et la différence de deux puissances de a n’est pas une uissance de a.
Exemple
En exercice, comparer 22 + 23 et 22+3 .
Faire l’exercice 6
3) Puissance de même exposant
Activité E. Produit de puissance de même exposant
Marie doit écrire le nombre 7013 sous la forme d’un produit de 7 par une puissance de 10.
Voici son raisonnement :
7013 = (7 × 10) × (7 × 10) × (7 × 10) × · · · × (7 × 10)
|
{z
13 fois
7013 = |7 × 7 ×{z· · · × 7} × |10 × 10 ×
· · · × 10}
{z
13 fois
7013 = 713 × 1013 .
}
13 fois
En vous inspirant du raisonnement de Marie, répondre aux questions suivantes :
1. Soient a et b des nombres relatifs non nuls, recopier et compléter
— a3 × b3 = (a × . . . × . . .) × (b × . . . × . . .) = (a × b) × (. . . × . . .) × (. . . × . . .) = (a × b)... .
1
1
— a−2 × b−2 =
×
... × ... ... × ...
1
1
=
=
= (a × b)... .
(. . . × . . .) × (. . . × . . .)
(. . . × . . .)...
2. n désigne un entier relatif et a et b deux nombres relatifs non nuls.
Écrire le produit an × bn sous la forme d’une puissance.
Propriété
Soient a et b deux entiers relatifs non nuls et n un entier relatif.
an × bn = (a × b)n .
Exemple
53 × 23 = (5 × 2)3 = 103 .
Faire l’exercice 7
Activité F. Quotient de puissances de même exposant
1. Soit b un nombre relatif non nul et n un entier relatif. Que peut-on dire des nombres
et b1n ? Justifier.
n
1
b
2. Soient a et b deux nombres relatifs non nuls et n un entier relatif. Recopier et compléter :
an
1
1
= a... ×
= a... ×
n
...
b
...
...
...
1
= ... ×
...
Propriété
Soient a et b deux nombres relatifs non nuls et n un entier relatif.
n
an
a
=
bn
b
.
Exemple
12−2
12
=
−2
3
3
Faire l’exercice 8
Faire les exercices 9 10 F 11 F 12 F
−2
= 4−2 .
n
...
=
...
...
II/ Écriture scientifique
Définition (Écriture scientifique)
L’écriture (ou notation) scientifique d’un nombre est l’écriture de ce nombre sous la forme a×10n
avec :
— 1 ≤ a < 10 ;
— n un nombre entier relatif.
Exemples
— L’écriture scientifique de 123456,8 est 1,234568 × 105 .
— L’écriture scientifique de 12,3 × 107 est 1,23 × 108 .
Faire les exercices 13 14 15 F
III/ Priorités opératoires
Propriété (Règle de priorités opératoires)
Dans un calcul, on effectue dans l’ordre :
— les calculs entre parenthèses ;
— les puissances ;
— les multiplications et les divisions ;
— les additions et les soustractions.
Exemple
A = 3 × (5
− 3)4 + 2 − 52
| {z }
A = 3 × |{z}
24 +2 − |{z}
52
A = |3 ×
16 +2 − 25
{z }
A = |48{z
+ 2} −25
A = |50 −
25 = 25
{z }
Faire les exercices 16 17 18 F
Vu au brevet :
Faire les exercices 19 F 20 F 21 F 22 F