Puissances d`un nombre relatif

1
Puissances d’un
nombre relatif
CHAPITRE
Compléter la grille de nombres croisés ci-
dessous :
Horizontalement
I : Puissance de 6
II : Puissance de 4
III : Puissance de 3
IV : Puissance de 2
Verticalement
a : Multiple de 2
b : Multiple de 3
c : Multiple de 4
d : Multiple de 6
Énigme du chapitre.
— Utiliser sur des exemples les égalités :
—am×an=am+n
—am
an=am−n
—(am)n=amn
—(ab)n=anbn
—(a
b)n=an bn
où aet bsont des nombres non nuls et
met ndes entiers relatifs.
Objectifs du chapitre.

I/ Puissances et propriétés
1) Définition
Activité A. Puissances
Travail collectif sous forme de brainstorming de révisions sur les puissances.
Définition
Soient aun nombre relatif et nun nombre positif.
— Pour n≥2,
an=a×a×. . . ×a
| {z }
nfacteurs
— Pour a6= 0,
a−n=1
an=1 an
.
Exemples
—35= 3 ×3×3×3×3
—2,74= 2,7×2,7×2,7×2,7
—1,4−2=1
(1,4)2=1 1,42
Remarques
Par convention, si aest un nombre relatif, on a :
—a1=a
—a0= 1 pour a6= 0
—a−1=1
apour a6= 0.
Faire les exercices 12 3 F
2) Propriétés
a) Puissance d’un même nombre
Activité B. Produit de puissances d’un même nombre
Soit aun nombre relatif non nul.
1. Écrire sous la forme d’une puissance de ales produits suivants en utilisant la définition de
la puissance d’un nombre et en détaillant les étapes de calculs.

(a) a3×a2(b) a−4×a3(c) a−3×a−1
2. net pdésignent deux nombres entiers relatifs différents de 0et de 1. Comment peut-on
écrire le produit an×apsous la forme d’une puissance de a?
3. Utiliser cette conjecture pour écrire a1977 ×a−436 sous la forme d’une puissance de a.
Propriété
Soit aun nombre non nul et soient net pdeux entiers relatifs.
an×ap=an+p.
Exemple
3−12 ×35= 3−12+5 = 3−7.
Faire l’exercice 4
Activité C. Division de puissances d’un même nombre
Soit aun nombre relatif non nul.
1. Écrire sous la forme d’une puissance de ales quotients suivants en utilisant la définition
de la puissance d’un nombre et en détaillant les étapes de calculs.
(a) a12
a5(b) a−5 a3(c) a2 a−3
2. net pdésignent deux nombres relatifs différents de 0et de 1. Comment peut-on écrire le
quotient an
apsous la forme d’une puissance de a?
3. Utiliser cette conjecture pour écrire a2011
a1900 sous la forme d’une puissance de a.
Propriété
Soit aun nombre non nul et soient net pdeux entiers relatifs.
an
ap=an−p.
Exemple
2,15
2,1−2= 2,15−(−2) = 2,18.

Faire l’exercice 5
Activité D. Puissance d’une puissance
Soit aun nombre relatif non nul.
1. Recopier et compléter les pointillés en utilisant la définition de la puissance d’un nombre :
—(a2)3=. . . ×. . . ×. . . =a...
—(a−3)2=. . . ×. . . =1
a... ×1 a... =1 a... ×a... =1 a... =a....
—(a−3)−1=1
a... =a....
2. net pdésignent deux nombres entiers relatifs différents de 0.
Comment peut-on écrire (an)psous la forme d’une puissance de a?
3. Utiliser cette conjecture pour écrire (a15)−40.
Propriété
Soit aun nombre non nul et soient net pdeux entiers relatifs.
(an)p=an×p.
Exemple
(5,7−2)3= 5,7−2×3= 5,7−6.
Remarque
La somme et la différence de deux puissances de an’est pas une uissance de a.
Exemple
En exercice, comparer 22+ 23et 22+3.
Faire l’exercice 6
3) Puissance de même exposant
Activité E. Produit de puissance de même exposant
Marie doit écrire le nombre 7013 sous la forme d’un produit de 7par une puissance de 10.
Voici son raisonnement :
7013 = (7 ×10) ×(7 ×10) ×(7 ×10) × · · · × (7 ×10)
|{z }
13 fois
7013 = 7 ×7× · · · × 7
| {z }
13 fois
×10 ×10 × · · · × 10
| {z }
13 fois
7013 = 713 ×1013.
En vous inspirant du raisonnement de Marie, répondre aux questions suivantes :

1. Soient aet bdes nombres relatifs non nuls, recopier et compléter
—a3×b3= (a×. . .×. . .)×(b×. . .×. . .)=(a×b)×(. . .×. . .)×(. . .×. . .)=(a×b)....
—a−2×b−2=1
. . . ×. . . ×1 . . . ×. . .
=1
(. . . ×. . .)×(. . . ×. . .)=1 (. . . ×. . .)... = (a×b)....
2. ndésigne un entier relatif et aet bdeux nombres relatifs non nuls.
Écrire le produit an×bnsous la forme d’une puissance.
Propriété
Soient aet bdeux entiers relatifs non nuls et nun entier relatif.
an×bn= (a×b)n.
Exemple
53×23= (5 ×2)3= 103.
Faire l’exercice 7
Activité F. Quotient de puissances de même exposant
1. Soit bun nombre relatif non nul et nun entier relatif. Que peut-on dire des nombres 1
bn
et 1
bn? Justifier.
2. Soient aet bdeux nombres relatifs non nuls et nun entier relatif. Recopier et compléter :
an
bn=a... ×1 . . .... =a... ×1 . . ....
=. . . ×1
. . .n
=. . .
. . ....
Propriété
Soient aet bdeux nombres relatifs non nuls et nun entier relatif.
an
bn=a bn
.
Exemple
12−2
3−2=12 3−2
= 4−2.
Faire l’exercice 8
Faire les exercices 9 10 F11 F12 F