Chapitre 1 Puissances d`un nombre relatif

Chapitre 1
Puissances d’un
nombre relatif
Énigme du chapitre : Compléter la grille de nombres croisés
ci-dessous :
Horizontalement
Verticalement
I : Puissance de 6
a : Multiple de 2
II : Puissance de 4
b : Multiple de 3
III : Puissance de 3
c : Multiple de 4
IV : Puissance de 2
d : Multiple de 6
I/ Puissances
1) Définition
Définition : Puissances
Soient a un nombre relatif et n un nombre positif.
I Pour n ≥ 2,
an = a × a| × .{z
. . × a}
n facteurs
I
Pour a 6= 0,
a
−n
1
= n =
a
Exemples
I
I
I
35 = 3 × 3 × 3 × 3 × 3
2, 74 = 2, 7 × 2, 7 × 2, 7 × 2, 7
2
1
1
1, 4−2 = (1,4)
=
2
1,4
n
1
.
a
Remarques
Par convention, si a est un nombre relatif, on a :
I a1 = a
I a0 = 1 pour a 6= 0
I a−1 = 1 pour a 6= 0.
a
Faire les exercices nos 1 2 3 F
2) Propriétés
a) Puissance d’un même nombre
Propriété
Soit a un nombre non nul et soient n et p deux entiers relatifs.
an × ap = an+p .
Exemple
3−12 × 35 = 3−12+5 = 3−7 .
Faire l’exercice no 4
Propriété
Soit a un nombre non nul et soient n et p deux entiers relatifs.
an
= an−p .
p
a
Exemple
2, 15
= 2, 15−(−2) = 2, 18 .
−2
2, 1
Faire l’exercice no 5
Propriété
Soit a un nombre non nul et soient n et p deux entiers relatifs.
(an )p = an×p .
Exemple
(5, 7−2 )3 = 5, 7−2×3 = 5, 7−6 .
Remarque
La somme et la différence de deux puissances de a n’est pas
une uissance de a.
Exemple
En exercice, comparer 22 + 23 et 22+3 .
Faire l’exercice no 6
b) Puissances de même exposant
Propriété
Soient a et b deux entiers relatifs non nuls et n un entier
relatif.
an × bn = (a × b)n .
Exemple
53 × 23 = (5 × 2)3 = 103 .
Faire l’exercice no 7
Propriété
Soient a et b deux nombres relatifs non nuls et n un entier
relatif.
a n a n
.
=
bn
b
Exemple
12−2
=
3−2
12
3
−2
= 4−2 .
Faire l’exercice no 8
Faire les exercices nos 9 10 F 11 F
12 F
II/ Écriture scientifique
Définition : Écriture scientifique
L’écriture (ou notation) scientifique d’un nombre est l’écriture
de ce nombre sous la forme a × 10n avec :
I 1 ≤ a < 10 ;
I n un nombre entier relatif.
Exemples
I
I
L’écriture scientifique de 123456, 8 est 1, 234568 × 105 .
L’écriture scientifique de 12, 3 × 107 est 1, 23 × 108 .
Faire les exercices nos 13 14 15 F
III/ Priorités opératoires
Règle de priorités opératoires
Dans un calcul, on effectue dans l’ordre :
I les calculs entre parenthèses ;
I les puissances ;
I les multiplications et les divisions ;
I les additions et les soustractions.
Exemple
A = 3 × (5| {z
− 3})4 + 2 − 52
A = 3 × |{z}
24 +2 − |{z}
52
A = 3| ×
{z16} +2 − 25
A = 48
+ 2} −25
| {z
A = 50
− 25} = 25
| {z
Faire les exercices nos 16 17 18 F
Vu au brevet :
Faire les exercices nos 19 F 20 F
21 F 22 F