Terminale S – 2013 Démonstrations exigibles

Terminale S – 2013
Démonstrations exigibles
1) Théorèmes de comparaison :
(un) et (vn) sont deux suites
 Si, à partir d’un certain rang,
n n n n
nn
u v , et si lim v - , alors lim u
 Si, à partir d’un certain rang,
n n n n
nn
v u vu , et si lim , alors lim
2) Théorème :
 Si une suite (un) est croissante et admet pour limite l, alors pour tout entier naturel n,
n
ul
 Si une suite (un) est décroissante et admet pour limite l, alors pour tout entier naturel n,
n
ul
Cité Scolaire
Gambetta
Année scolaire
2012-2013

3) Limite d’une suite géométrique :
4) Théorème :
Toute suite croissante non majorée a pour limite +∞.
Toute suite décroissante non minorée a pour limite - ∞.
Démonstration : pour une suite croissante non majorée :
Il faut prouver que pour tout réel A aussi grand soit-il, il existe un rang à partir duquel tous
les termes de la suite sont supérieurs à A.
(un) n’est pas majorée, donc A ne peut être un majorant de la suite.
Il existe donc un entier naturel p tel que up > A.
Or (un) est croissante, donc pour tout entier n ≥ p,
np
u u A
.
Ceci étant vrai quel que soit A, on a donc
n
n
lim u .

5) Fonction exponentielle :
Théorème :
Il existe une et une seule solution f définie et dérivable sur telle que :
'ff
et
(0) 1f
. Cette fonction est appelée fonction exponentielle et on la note exp.
Démonstration :(exigible)
Existence : ADMIS
 Unicité
 Soit f une fonction dérivable sur telle que f ‘= f et
(0) 1f
Pour tout réel x, on pose
( ) ( ) ( )x f x f x
f étant dérivable sur , alors l’est aussi e t on a pour tout réel x
'( ) '( ) ( ) ( ) '( )
'( ) ( ) ( ) ( ) ( )
'( ) 0
x f x f x f x f x
x f x f x f x f x
x
Donc est constante sur et
(0) 1
et, par conséquent, pour tout réel x,
( ) 1 ( ) ( )x f x f x
et donc
( ) 0fx
 Raisonnons par l’absurde
Soit g une autre fonction dérivable sur telle que
'( ) ( )g x g x
et
(0) 1g
.
On a vu précédemment que
( ) 0fx
( également
( ) 0gx
) alors la fonction
g
f
est
dérivable sur et
2
''( ) ( ) ( ) '( ) 0
()
g g x f x g x f x
ffx
La fonction quotient
g
f
est alors constante sur
Or
(0) 1
g
f
donc
fg
. Et, par conséquent, f est unique.
6) Limites de la fonction exponentielle :
Propriété :
lim 0
x
xe
et
lim x
xe
.
Démonstration :(exigible)
On considère la fonction f définie sur par
() x f x e x
f est une fonction dérivable sur . On a
'( ) 1
x
f x e
. Sur
;0
,
'( ) 0fx
donc f est
décroissante et sur
0,
, f est croissante.
De plus,
(0) 1f
, donc f admet en 0 un minimum égal à 1. Par suite
( ) 1fx
,
donc
( ) 0fx
sur , d’où
x
ex
De plus
lim
xx
donc, par comparaison,
lim x
xe
Pour déterminer l’autre limite, on pose
Xx
, alors
lim
xX
1
lim lim lim 0
xX
X
x X X
ee e
car
lim X
Xe

7) Indépendance :
Théorème :
Si deux événements A et B sont indépendants, alors il en est de même pour les événements :
1)
A
et B 2) A et
B
3)
A
et
B
Démonstration exigible :
A et B sont indépendants, donc
P A B P A P B  
(*)
Or, A et
A
sont deux événements incompatibles dont la réunion est l’univers, donc d’après la
formule des probabilités totales :
P B P A B P A B   
.
D’où
P A B P B P A B   
soit d’après (*)
P A B P B P A P B   
.
Ainsi
1P A B P B P A P A P B    
; donc
A
et B sont indépendants.
Pour le 2) il suffit de changer les rôles de A et B.
Pour le 3), d’après 1)
A
et B sont indépendants, donc d’après 2)
A
et
B
sont indépendants.
8) Théorème du toit :

9) Loi de durée de vie sans vieillissement ou sans mémoire :
10) Espérance de la loi exponentielle :