Terminale S – 2013 Démonstrations exigibles

Cité Scolaire
Gambetta
Terminale S – 2013
Année scolaire
2012-2013
Démonstrations exigibles
1) Théorèmes de comparaison :
(un) et (vn) sont deux suites

Si, à partir d’un certain rang, u n  vn , et si lim vn  -, alors lim u n  

Si, à partir d’un certain rang, vn  u n , et si lim u n  , alors lim vn  
n 
n 
n 
n 
2) Théorème :


Si une suite (un) est croissante et admet pour limite l, alors pour tout entier naturel n, u n  l
Si une suite (un) est décroissante et admet pour limite l, alors pour tout entier naturel n, u n  l
3) Limite d’une suite géométrique :
4) Théorème :
Toute suite croissante non majorée a pour limite +∞.
Toute suite décroissante non minorée a pour limite - ∞.
Démonstration : pour une suite croissante non majorée :
Il faut prouver que pour tout réel A aussi grand soit-il, il existe un rang à partir duquel tous
les termes de la suite sont supérieurs à A.
(un) n’est pas majorée, donc A ne peut être un majorant de la suite.
Il existe donc un entier naturel p tel que up > A.
Or (un) est croissante, donc pour tout entier n ≥ p, u n  u p  A .
Ceci étant vrai quel que soit A, on a donc lim u n  .
n 
5) Fonction exponentielle :
Théorème :
Il existe une et une seule solution f définie et dérivable sur
telle que : f '  f et
f (0)  1 . Cette fonction est appelée fonction exponentielle et on la note exp.
Démonstration :(exigible)
Existence : ADMIS
 Unicité

Soit f une fonction dérivable sur telle que f ‘= f et f (0)  1
Pour tout réel x, on pose  ( x)  f ( x) f ( x)
f étant dérivable sur , alors  l’est aussi e t on a pour tout réel x
 '( x)  f '( x) f ( x)  f ( x)   f '( x) 
 '( x)  f ( x) f ( x)  f ( x) f ( x)
 '( x)  0
Donc  est constante sur
et  (0)  1 et, par conséquent, pour tout réel x,
 ( x)  1  f ( x) f ( x) et donc f ( x)  0
 Raisonnons par l’absurde
Soit g une autre fonction dérivable sur
telle que g '( x)  g ( x) et g (0)  1 .
g
On a vu précédemment que f ( x)  0 ( également g ( x)  0 ) alors la fonction   est
 f 
'
dérivable sur
 g  g '( x) f ( x)  g ( x) f '( x)
et   
0
2
f 
 f ( x) 
g
La fonction quotient   est alors constante sur
 f 
g
Or   (0)  1 donc f  g . Et, par conséquent, f est unique.
f 
6) Limites de la fonction exponentielle :
Propriété :
lim e x  0 et xlim
e x   .

x
Démonstration :(exigible)
On considère la fonction f définie sur
f est une fonction dérivable sur
décroissante et sur  0,  ,
par f ( x)  e x  x
. On a f '( x)  e x  1. Sur ;0 , f '( x)  0 donc f est
f est croissante.
De plus, f (0)  1 , donc f admet en 0 un minimum égal à 1. Par suite f ( x)  1 ,
donc f ( x)  0 sur , d’où e x  x De plus lim x   donc, par comparaison, lim e x  
x 
x 
Pour déterminer l’autre limite, on pose X   x , alors lim X  
x 
lim e x  Xlim
e X  Xlim


x
1
 0 car Xlim
e X  
X

e
7) Indépendance :
Théorème :
Si deux événements A et B sont indépendants, alors il en est de même pour les événements :
1) A et B
2) A et B
3) A et B
Démonstration exigible :
A et B sont indépendants, donc P  A  B   P  A  P  B  (*)
Or, A et A sont deux événements incompatibles dont la réunion est l’univers, donc d’après la
formule des probabilités totales : P  B   P  A  B   P A  B .


 
 
Ainsi P  A  B   P  B  1  P  A   P  A  P  B  ; donc A et B sont indépendants.
D’où P A  B  P  B   P  A  B  soit d’après (*) P A  B  P  B   P  A  P  B  .
Pour le 2) il suffit de changer les rôles de A et B.
Pour le 3), d’après 1) A et B sont indépendants, donc d’après 2) A et B sont indépendants.
8) Théorème du toit :
9) Loi de durée de vie sans vieillissement ou sans mémoire :
10) Espérance de la loi exponentielle :
11) Loi normale :
Théorème : si X est une variable aléatoire qui suit la loi normale N(0 ; 1), alors pour tout réel
  0;1 , il existe un unique réel u   0 tel que P  u   X  u    1  .
Démonstration :
u
Par symétrie de la courbe de f, P  u  X  u   2  P  0  X  u   2 f  x  dx  2G  u 
0
où G est la primitive de f sur qui s’annule en 0.
G est continue et strictement croissante (car f > 0) sur 0;  .
1
2
De plus lim G  u   (vu précédemment).
u 
Donc la fonction 2G est continue strictement croissante sur 0; à valeurs dans [0 ; 1].
Or pour tout   0;1 , 1   0;1 , donc d’après le théorème de la bijection, il existe un unique
réel u   0 tel que 2G  u   P  u   X  u    1  .