4 Suites numériques

4 Suites numériques
4.1 Généralités
Définition : Une suite ude nombres réels est une fonction dont la variable est un entier
naturel. L’image par la suite ud’un entier naturel nest notée un(lire « uindice n») ; un
est le terme général de la suite.
Exemples :•La suite udéfinie par un=n2(fonction carré) ;
•La suite définie par u0= 0 et un+1 =un+ 2n+ 1 pour n>0 ;
•La suite udéfinie par l’algorithme suivant :
1. Choisir un nombre u0de quatre chiffres, non tous égaux,
2. écrire le nombre formé des mêmes chiffres ordonnés dans l’ordre décroissant et lui sous-
traire le nombre formé des mêmes chiffres ordonnés dans l’ordre croissant ;
3. Recommencer l’étape précédente avec la différence obtenue.
•La suite uformée par les décimales du nombre π(u0= 3 ; u1= 1 ; u2= 4 ; . . . ).
Exercice : Calculer les 15 premières termes de chacune des quatre suites définies ci-dessus (faire
une recherche sur internet pour la dernière) :
•u0= 0, u1= 1, u2= 4, u3= 9, u4= 16, . . . , u13 = 169, u14 = 196, . . .
•u0= 0, u1=u0+2×0+1 = 0+0+1 = 1, u2= 1+2+1 = 4, u3= 4+4+1, u4= 9+6+1 = 16,
u5= 16 + 8 + 1 = 25, u6= 25 + 10 + 1 = 36, u7=... = 49, u8= 64, u9= 81, u10 = 100,
u11 = 121, u12 = 144, u13 = 169, u14 = 196, u15 = 225, . . .
•u0= 2016, u1= 6210 −126 = 6084, u2= 8640 −468 = 8172, u3= 8721 −1278 = 7443,
u4= 7443−3447 = 3996, u5= 9963−3699 = 6264, u6= 6642−2466 = 4176, u7= 7641−1467 =
6174, u8= 7641 −1467 = 6174, . . . , u14 = 6174, . . .
•u0= 3, u1= 1, u2= 4, u3= 1, u4= 5, u5= 9, u6= 2, u7= 6, u8= 5, u9= 3, u10 = 5,
u11 = 8, u12 = 9, u13 = 7, u14 = 9, . . . (π≈3,141592653589793238 . . .).
4.2 Sens de variation d’une suite numérique
Définition : La suite uest :
•croissante (resp. strictement croissante) si pour tout n,un+1 >un(resp. un+1 > un) ;
•décroissante (resp. strictement décroissante) si pour tout n,un+1 6un(resp. un+1 <
un) ;
•constante ou stationnaire si pour tout n,un+1 =un;
•(strictement)monotone si elle est soit (strictement)croissante, soit (strictement)
décroissante.
Exemples : Pour les quatre suites définies ci-dessus, les deux premières sont strictement crois-
santes. Les deux dernières ne sont ni croissante, ni décroissante, puisque, par exemple, pour ces
deux suites u2> u1et u3< u2. Il est cependant intéressant de noter que la troisième suite est
stionnaire à partir du rang n= 7, puisque pour tout n>7, un= 6174.
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Maths 1stmg 4. Suites numériques prog 2012
Représentation graphique d’une suite : une suite numérique est représentée par des points isolés
(et non une courbe, c’est-à-dire une suite continue de points) ; les abscisses de ces points sont
des entiers naturels.
x
y
012345
Exemple :uest la suite définie par u0=u1= 1 et un+2 =
un+1 +unpour n>0.
Les premiers termes sont :
u2= 1 + 1 = 2, u3= 1 + 2 = 3, u4= 2 + 3 = 5, u5=
3 + 5 = 8, u6= 5 + 8 = 13, u7= 8 + 13 = 21, u8=
13 + 21 = 34, u9= 21 + 34 = 55, u10 = 34 + 55 = 89,
. . .
Remarque : Cette suite s’appelle la suite de Fibonacci.Leonardo Pisano,
dit Fibonacci, était un mathématicien italien du XIIIe. Cette suite inter-
vient dans de nombreux domaines des sciences, notamment dans les sciences du vivant. Elle est liée à un nombre
réel appelé « nombre d’or » ou « divine proportion » : Φ = 1 + √5
2≈1,618.
4.3 Suites arithmétiques
Définition : Une suite uest dite arithmétique lorsqu’elle est définie par son premier terme
u0et que chaque terme est calculé en ajoutant au précédent une constante r, appelée raison
de la suite arithmétique :
®u0=a
un+1 =un+r, pour n>0
Exemple :•udéfinie par u0=−2 et un+1 =un+ 5 est la suite arithmétique de premier terme
−2 et de raison 5 ; ses premiers termes sont : −2 ; 3 ; 8 ; 13 ;
•La suite arithmétique de premier terme 20 et de raison −3 a pour premiers termes : 20 ; 17 ;
14 ; 11 ; 8 ; 5 ; 2 ; −1 ; −4 ; . . .
•La suite des multiples de 3 est la suite arithmétique de premier terme 0 et de raison 3.
Propriété : Pour une suite arithmétique ula variation absolue (un+1 −un) est constante.
On dit que son évolution est linéaire.
Preuve : Par définition d’une suite arithmétique un+1 =un+r, d’où un+1 −un=r.
Propriété : Pour une suite arithmétique ude raison r(et premier terme u0quelconque) :
•si r > 0, alors la suite uest strictement croissante ;
•si r < 0, alors la suite uest strictement décroissante ;
•si r= 0, alors la suite uest constante.
Preuve : Si la suite uest arithmétique de premier terme u0et de raison r, alors pour tout entier n∈N
un+1 =un+r, donc un+1 −un=ret par suite :
•si r > 0, un+1 −un>0 donc pour tout entier n∈N,un+1 > unce qui prouve que la suite uest
strictement croissante ;
•si r < 0, un+1 −un<0 donc pour tout entier n∈N,un+1 < unce qui prouve que la suite uest
strictement décroissante ;
•si r= 0, un+1 −un= 0 donc pour tout entier n∈N,un+1 =unce qui prouve que la suite uest
constante.
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Maths 1stmg 4. Suites numériques prog 2012
4.4 Suites géométriques
Définition : Une suite uest dite géométrique lorsqu’elle est définie par son premier terme
u0et que chaque terme est calculé en multipliant le précédent par une constante qappelée
raison de la suite : ®u0=a
un+1 =un×q, pour n>0
Exemple :•La suite udéfinie par u0= 1 et un+1 = 2unest la suite géométrique de premier
terme 1 et de raison 2 ; ses premiers termes sont : 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, . . .
•La suite géométrique de premier terme 10 et de raison 2
3a pour premiers termes : 10, 20 3,40 9,
80
27,160 81 , . . .
•La suite des puissances croissantes de 10 est une suite géométrique de premier terme 1 et de
raison 10 : un= 10n(u0= 1).
Propriété : Si uest une suite géométrique ne s’annulant pas, alors la variation relative entre
deux termes consécutifs est constante : un+1 −un
un
= constante.
On dit que son évolution est exponentielle.
Preuve : On sait que un+1 =q×un, alors un+1 −un
un
=q×un−un
un
=un(q−1)
un
=q−1,
cette variation relative est bien constante car elle ne dépend pas de n, mais uniquement de la raison q.
Propriété : Si uest une suite géométrique de premier terme u0et de raison qstrictement
positifs :
•si q > 1, la suite uest strictement croissante ;
•si q < 1, la suite uest strictement décroissante ;
•si q= 1, la suite uest constante.
Preuve : On a montré que la variation relative entre deux termes consécutifs est : un+1 −un
un
=q−1, donc, un
étant toujours positif, le quotient un+1 −un
un
est du signe de (un+1 −un), et :
•si q > 1, un+1 −un
un
>0, alors un+1 > unce qui prouve que uest strictement croissante ;
•si q < 1, un+1 −un
un
<0, alors un+1 < unce qui prouve que uest strictement décroissante ;
•si q= 1, un+1 −un
un
= 0, alors un+1 =unce qui prouve que uest constante.
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bac – 15 – v1.618