4 Suites numériques

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4.1 Généralités
Définition : Une suite u de nombres réels est une fonction dont la variable est un entier
naturel. L’image par la suite u d’un entier naturel n est notée un (lire « u indice n ») ; un
est le terme général de la suite.
Exemples : • La suite u définie par un = n2 (fonction carré) ;
• La suite définie par u0 = 0 et un+1 = un + 2n + 1 pour n > 0 ;
• La suite u définie par l’algorithme suivant :
1. Choisir un nombre u0 de quatre chiffres, non tous égaux,
2. écrire le nombre formé des mêmes chiffres ordonnés dans l’ordre décroissant et lui soustraire le nombre formé des mêmes chiffres ordonnés dans l’ordre croissant ;
3. Recommencer l’étape précédente avec la différence obtenue.
• La suite u formée par les décimales du nombre π (u0 = 3 ; u1 = 1 ; u2 = 4 ; . . . ).
Exercice : Calculer les 15 premières termes de chacune des quatre suites définies ci-dessus (faire
une recherche sur internet pour la dernière) :
• u0 = 0, u1 = 1, u2 = 4, u3 = 9, u4 = 16, . . . , u13 = 169, u14 = 196, . . .
• u0 = 0, u1 = u0 +2×0+1 = 0+0+1 = 1, u2 = 1+2+1 = 4, u3 = 4+4+1, u4 = 9+6+1 = 16,
u5 = 16 + 8 + 1 = 25, u6 = 25 + 10 + 1 = 36, u7 = . . . = 49, u8 = 64, u9 = 81, u10 = 100,
u11 = 121, u12 = 144, u13 = 169, u14 = 196, u15 = 225, . . .
• u0 = 2016, u1 = 6210 − 126 = 6084, u2 = 8640 − 468 = 8172, u3 = 8721 − 1278 = 7443,
u4 = 7443−3447 = 3996, u5 = 9963−3699 = 6264, u6 = 6642−2466 = 4176, u7 = 7641−1467 =
6174, u8 = 7641 − 1467 = 6174, . . . , u14 = 6174, . . .
• u0 = 3, u1 = 1, u2 = 4, u3 = 1, u4 = 5, u5 = 9, u6 = 2, u7 = 6, u8 = 5, u9 = 3, u10 = 5,
u11 = 8, u12 = 9, u13 = 7, u14 = 9, . . . (π ≈ 3,141592653589793238 . . .).
4.2 Sens de variation d’une suite numérique
Définition : La suite u est :
• croissante (resp. strictement croissante) si pour tout n, un+1 > un (resp. un+1 > un ) ;
• décroissante (resp. strictement décroissante) si pour tout n, un+1 6 un (resp. un+1 <
un ) ;
• constante ou stationnaire si pour tout n, un+1 = un ;
• (strictement) monotone si elle est soit (strictement) croissante, soit (strictement)
décroissante.
Exemples : Pour les quatre suites définies ci-dessus, les deux premières sont strictement croissantes. Les deux dernières ne sont ni croissante, ni décroissante, puisque, par exemple, pour ces
deux suites u2 > u1 et u3 < u2 . Il est cependant intéressant de noter que la troisième suite est
stionnaire à partir du rang n = 7, puisque pour tout n > 7, un = 6174.
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Représentation graphique d’une suite : une suite numérique est représentée par des points isolés
(et non une courbe, c’est-à-dire une suite continue de points) ; les abscisses de ces points sont
des entiers naturels.
Exemple : u est la suite définie par u0 = u1 = 1 et un+2 =
un+1 + un pour n > 0.
Les premiers termes sont :
u2 = 1 + 1 = 2, u3 = 1 + 2 = 3, u4 = 2 + 3 = 5, u5 =
3 + 5 = 8, u6 = 5 + 8 = 13, u7 = 8 + 13 = 21, u8 =
13 + 21 = 34, u9 = 21 + 34 = 55, u10 = 34 + 55 = 89,
...
y
Remarque : Cette suite s’appelle la suite de Fibonacci. Leonardo Pisano,
dit Fibonacci, était un mathématicien italien du XIIIe . Cette suite inter-
0
1
2
3
4
x
5
vient dans de nombreux domaines des sciences, notamment dans √
les sciences du vivant. Elle est liée à un nombre
1+ 5
réel appelé « nombre d’or » ou « divine proportion » : Φ =
≈ 1,618.
2
4.3 Suites arithmétiques
Définition : Une suite u est dite arithmétique lorsqu’elle est définie par son premier terme
u0 et que chaque terme est calculé en ajoutant au précédent une constante r, appelée raison
de la suite arithmétique :
®
u0 = a
un+1 = un + r, pour n > 0
Exemple : • u définie par u0 = −2 et un+1 = un + 5 est la suite arithmétique de premier terme
−2 et de raison 5 ; ses premiers termes sont : −2 ; 3 ; 8 ; 13 ;
• La suite arithmétique de premier terme 20 et de raison −3 a pour premiers termes : 20 ; 17 ;
14 ; 11 ; 8 ; 5 ; 2 ; −1 ; −4 ; . . .
• La suite des multiples de 3 est la suite arithmétique de premier terme 0 et de raison 3.
Propriété : Pour une suite arithmétique u la variation absolue (un+1 − un ) est constante.
On dit que son évolution est linéaire.
Preuve : Par définition d’une suite arithmétique un+1 = un + r, d’où un+1 − un = r. Propriété : Pour une suite arithmétique u de raison r (et premier terme u0 quelconque) :
• si r > 0, alors la suite u est strictement croissante ;
• si r < 0, alors la suite u est strictement décroissante ;
• si r = 0, alors la suite u est constante.
Preuve : Si la suite u est arithmétique de premier terme u0 et de raison r, alors pour tout entier n ∈ N
un+1 = un + r, donc un+1 − un = r et par suite :
• si r > 0, un+1 − un > 0 donc pour tout entier n ∈ N, un+1 > un ce qui prouve que la suite u est
strictement croissante ;
• si r < 0, un+1 − un < 0 donc pour tout entier n ∈ N, un+1 < un ce qui prouve que la suite u est
strictement décroissante ;
• si r = 0, un+1 − un = 0 donc pour tout entier n ∈ N, un+1 = un ce qui prouve que la suite u est
constante. math4bac
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4.4 Suites géométriques
Définition : Une suite u est dite géométrique lorsqu’elle est définie par son premier terme
u0 et que chaque terme est calculé en multipliant le précédent par une constante q appelée
raison de la suite :
®
u0 = a
un+1 = un × q, pour n > 0
Exemple : • La suite u définie par u0 = 1 et un+1 = 2un est la suite géométrique de premier
terme 1 et de raison 2 ; ses premiers termes sont : 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, . . .
2
20 40
• La suite géométrique de premier terme 10 et de raison a pour premiers termes : 10,
,
,
3
3 9
80 160
,
, ...
27 81
• La suite des puissances croissantes de 10 est une suite géométrique de premier terme 1 et de
raison 10 : un = 10n (u0 = 1).
Propriété : Si u est une suite géométrique ne s’annulant pas, alors la variation relative entre
un+1 − un
= constante.
deux termes consécutifs est constante :
un
On dit que son évolution est exponentielle.
un (q − 1)
un+1 − un
q × un − un
=
=
= q − 1,
un
un
un
cette variation relative est bien constante car elle ne dépend pas de n, mais uniquement de la raison q. Preuve : On sait que un+1 = q × un , alors
Propriété : Si u est une suite géométrique de premier terme u0 et de raison q strictement
positifs :
• si q > 1, la suite u est strictement croissante ;
• si q < 1, la suite u est strictement décroissante ;
• si q = 1, la suite u est constante.
un+1 − un
= q − 1, donc, un
Preuve : On a montré que la variation relative entre deux termes consécutifs est :
un
un+1 − un
étant toujours positif, le quotient
est du signe de (un+1 − un ), et :
un
un+1 − un
• si q > 1,
> 0, alors un+1 > un ce qui prouve que u est strictement croissante ;
un
un+1 − un
• si q < 1,
< 0, alors un+1 < un ce qui prouve que u est strictement décroissante ;
un
un+1 − un
• si q = 1,
= 0, alors un+1 = un ce qui prouve que u est constante. un
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