3. rappels de géométrie analytique

(O,~ı,~)
d
(~ı,~)
v=x~ı +y~ v=x
yM(xM, yM)
−−→
OM =xM~ı +yM~ =xM
yMMxM yM
x= 2t+ 1
y= 3t−2
xy = 1

M=xM
yM
P=xP
yP−−→
MP =xP−xM
yP−yM
−→
OP =−−→ OM +−−→ MP
x
y+x0 y0=x+x0 y+y0kx y=kx ky 
M=xM
yM
R= (O,~ı,~, ) (x0
M, y0 M)M
R0= (C,~ı, ~)M=
R0
x0
M
y0
M
x0
M=xM−xC
y0
M=yM−yCxCCR
M AB −→ OA +−→ OB =
2−−→ OM
M=(xA+xB)/2
(yA+yB)/2.
(AB) (CD)−→ AB
−→
CD −→ AB =k−→ CD v=
kuk=v/u
M(AB)−−→ AM =k−→ AB
(AB)
M
xM
yM
zMxM=xA+k(xB−xA) = (1 −k)xA+kxB
yM=yA+k(yB−yA) = (1 −k)yA+kyB
kRM
(AB)M A B 0< k < 1

→
↑
x
O
y
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cos α
sin α
tan α
cos ˆ A A sin ˆ Atan ˆ A
π/6π/4π/3
M
Od (Ox, OM) = α α
cos αsin α
αtan α= sin α/ cos α α 6=π/2 + kπ
(OM)X= 1 tan α
α
d
(u,v)_ AB
−→
OA =u/kuk−→ OB =v/kvkd
(u,v) = _ AB
d
(u,v) = 180
π
_
AB
α α + 2π
R
2π
d
(u,v) + d (v,w)d (u,w) 2π
~ı ~ −→ k
cos2α+ sin2α= 1
cos(−α) = cos αsin(−α) = −sin α
sin(π/2−α) = cos α

uα=d (u,−−→ OM)
H M (O, u)
OH =OM. cos α
u=x
yv=x0 y0u v
u.vxx0+yy0
u.v=v.u(ku).v=
k(u.v)u.(v+w) = u.v+u.w
u.(v.w)v.w
u.v= 0 u v
u.v= 0 ⇐⇒ u v
u.u=u2ukuk
kuk=√u2u=x
y
kuk=px2+y2d (u,v) = αu.v=
kuk×kvk×cos α(O, u)H
Mu.−−→ OM =OH × kuk
k−→ ABk=AB
AB =p(xB−xA)2+ (yB−yA)2.
ukuk= 1
v v/kvk −v/kvk
v
cos α=u.v
kuk.kvk
αcos α
arc cos . . .
cos(−α) = cos α
d
(u,v) = αu=x
y
v=x0
y0α xy0−yx0(u,v)
x x0
y y0
. . .
AB
O AB M
−−→
AM.−−→ MB = (−→ AO +−−→ OM).(−−→ MO +−→ OB)−−→ MO =−−−→ OM =−u

−→
AO =−→ OB =v−−→ AM.−−→ MB = (v−u).(v+u) = v2−u2=OB2−OM2= 0
AMB
M
∆−→ d−→ d=
−→
AB A B ∆u=c
d
AxA
yA
Mx
y
−−→
AM =ku−dx +cy =−dxA+dyA
∆
ax +by =c a b
kax +kby =kc
−→
d=−b
a∆
u=−→ d /k−→ dk=
−b/√a2+b2
a/√a2+b2−u
a
b.−b a=−ab +ab = 0 −→
n=a
b
−→
d∆−→ n∆
k−→ n k
∆
a
√a2+b2x+b √a2+b2y=c √a2+b2−→
n0=a/√a2+b2
b/√a2+b2
α=d (~ı, −→ n0)−→ n0=cos α
sin α
∆ (cos α)x+ (sin α)y=C
sin αx −cos αy = 0 −→ d=cos α
sin α=
−→
n0∆ ∆ P
O∆(cos α)x+ (sin α)y=C
sin αx −cos αy = 0
P=Ccos α
Csin αOP =|C|
O∆ax +by =c d(O, ∆)
d(O, ∆) = |c|/√a2+b2
y=ax +b
x7→ ax +b
y=ax +b
∆−→ d=1
aα=d
(Ox, ∆) a
∆a= tan α